高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直导学案

   8.6.1直线与直线垂直

导学案

编写：廖云波      初审：谭光垠      终审：谭光垠  廖云波

【学习目标】

1.了解空间中两条直线的三种位置关系，理解异面直线的定义，会用平面衬托来画异面直线．

2.会用异面直线所成的角的定义找出或作出异面直线所成的角，会在直角三角形中求简单异面直线所成的角

【自主学习】

知识点1  异面直线所成的角

(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．

(2)异面直线所成的角θ的取值范围：0°<θ≤90°.

(3)当θ＝      时，a与b互相垂直，记作      .

【合作探究】

探究一  异面直线所成的角

【例1】如图，已知正方体ABCD­A′B′C′D′.

(1)哪些棱所在直线与直线BA′是异面直线？

(2)直线BA′和CC′的夹角是多少？

(3)哪些棱所在的直线与直线AA′垂直？

归纳总结：

【练习1】如图，已知在长方体ABCD­A′B′C′D′中，AB＝2，AD＝2，AA′＝2.

(1)BC和A′C′所成的角是多少度？

(2)AA′和BC′所成的角是多少度？

探究二  直线与直线垂直的证明

【例2】如图所示，正方体AC1中，E、F分别是A1B1、B1C1的中点，求证：DB1⊥EF.

归纳总结：

【练习2】空间四边形ABCD，E，F，G分别是BC，AD，DC的中点，FG＝2，GE＝，EF＝3.

求证：AC⊥BD．

课后作业

A组 基础题

一、选择题

1．已知直线a，b，c，下列三个命题：

①若a与b异面，b与c异面，则a与c异面；

②若a∥b，a和c相交，则b和c也相交；

③若a⊥b，a⊥c，则b∥c.

其中，正确命题的个数是(　　)

A．0 B．1 

C．2 D．3

2．如图正方体ABCD­A1B1C1D1中，异面直线A1B与AD1所成角为(　　)

A．30° B．45° 

C．60° D．90°

3．如图，三棱柱ABC­A1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是(　　)

A．CC1与B1E是异面直线

B．C1C与AE共面

C．AE，B1C1是异面直线

D．AE与B1C1所成的角为60°

4．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，面对角线中与AD1成60°的有(　　)

A．4条 B．6条 

C．8条 D．10条

5．在正三棱柱ABC­A1B1C1中，若AB＝BB1，则AB1与BC1所成的角的大小是(　　)

A．60° B．75° 

C．90° D．105°

二、填空题

6．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成的角的大小是________．

7．如图，空间四边形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6，M，N分别为AB，CD的中点，并且异面直线AC与BD所成的角为90°，则MN等于________．

8.一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：

①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD．

以上结论中正确结论的序号为________．

三、解答题

9．如图所示，空间四边形ABCD中，AB＝CD，AB⊥CD，E，F分别为BC，AD

的中点，求EF和AB所成的角．

10．如图，已知长方体ABCD­A1B1C1D1中，A1A＝AB，E，F分别是BD1和AD中点．求证：CD1⊥EF.

B组 能力提升

一、选择题

1．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，点P在线段AD1上运动，则异面直线CP与BA1所成的角θ的取值范围是(　　)

A．0°<θ<60° B．0°≤θ<60°

C．0°≤θ≤60° D．0°<θ≤60°

2．(多选题)如图所示，在空间四边形ABCD中，AB＝CD，且AB与CD所成的角为30°，E，F分别为BC，AD的中点，则EF与AB所成角的大小可以是(　　)

A．15° B．30°

C．60° D．75°

二、填空题

3.如图所示，正方体ABCD­A1B1C1D1中， E，F分别是棱BC，CC1的中点，则异面直线EF与B1D1所成的角为________．

三、解答题

4.如图，在四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，侧面都是矩形，底面四边形ABCD是菱形且AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，若异面直线A1B和AD1所成的角为90°，试求AA1的长．

5.如图，空间四边形ABCD的对棱AD，BC成60°的角，且AD＝BC＝a，平行于AD与BC的截面分别交AB，AC，CD，BD于点E，F，G，H.E在AB的何处时截面EFGH的面积最大？最大面积是多少？