人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直优秀第1课时学案

这是一份人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直优秀第1课时学案，共8页。

A.l和平面α相互平行
B.l和平面α相互垂直
C.l在平面α内
D.不能确定
2.直线l与平面α所成的角为70°,若直线l∥m,则m与α所成的角等于( )
A.20° B.70° C.90° D.110°
3.如图所示,已知四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,若PA⊥平面ABCD,则图中共有4个直角三角形.
4.如图所示,AB是☉O的直径,PA⊥☉O所在的平面,C是☉O上一点,若∠ABC=30°,PA=AB,则直线PC与平面ABC所成角的正切值为2.
5.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,BC=CD,
∠ACB=∠ACD. 求证:BD⊥平面PAC.
6.如图所示,在正方形ABCD中,E,F分别是BC,CD的中点,G是EF的中点.如果沿AE,AF及EF把这个正方形折成一个空间图形,使B,C,D三点重合,重合后的点记为H,那么在这个空间图形中必有( )
⇒
A.AH⊥△EFH所在平面
B.AG⊥△EFH所在平面
C.HF⊥△AEF所在平面
D.HG⊥△AEF所在平面
7.如图所示,在空间四边形ABCD中,AB,BC,CD,DA和两条对角线AC,BD都相等,若E为AD的中点,F为BC的中点,则直线BE和平面ADF所成的角的正弦值为___.
8.如图所示,直三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC为等腰直角三角形,∠ACB=90°,点C到AB1的距离为CE,D为AB的中点.
求证:(1)CD⊥AA1;(2)AB1⊥平面CED.
9.如图所示,AB是圆柱的一条母线,BD是圆柱底面圆的一条直径,C是底面圆周上一点,且AB=BC=2,∠CBD=45°,求直线BD与平
面ACD所成角的大小.
10.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P在侧面BCC1B1及其边界上移动,若点P总是满足AP⊥BD1,则动点P满足的条件是什么?并说明理由.
第八章 立体几何初步
1.若直线l与平面α内的无数条直线垂直,则直线l与平面α的关系是( )
A.l和平面α相互平行
B.l和平面α相互垂直
C.l在平面α内
D.不能确定
解析:如图所示,直线l和平面α相互平行,或直线l和平面α相互垂直或直线l在平面α内都有可能.
答案:D
2.直线l与平面α所成的角为70°,若直线l∥m,则m与α所成的角等于( )
A.20° B.70° C.90° D.110°
解析:因为l∥m,所以直线l与平面α所成的角等于直线m与平
面α所成的角.因为直线l与平面α所成的角为70°,所以直线m与平面α所成的角为70°.
答案:B
3.如图所示,已知四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,若PA⊥平面ABCD,则图中共有4个直角三角形.
解析:因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥BC,
所以△PAB,△PAD都是直角三角形.
因为BC⊥AB,所以BC⊥平面PAB,所以BC⊥PB,
所以△PBC为直角三角形.
同理得CD⊥PD,所以△PCD是直角三角形.
故共有4个直角三角形.
4.如图所示,AB是☉O的直径,PA⊥☉O所在的平面,C是☉O上一点,若∠ABC=30°,PA=AB,则直线PC与平面ABC所成角的正切值为2.
解析:因为PA⊥平面ABC,所以AC为斜线PC在平面ABC上的射影,所以∠PCA即为直线PC与平面ABC所成的角.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,所以AC=12AB.在Rt△PAC中,AC=12AB=12PA,所以tan∠PCA=PAAC=2.
5.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,BC=CD,
∠ACB=∠ACD. 求证:BD⊥平面PAC.
证明:因为BC=CD,所以△BCD为等腰三角形.
因为∠ACB=∠ACD,所以BD⊥AC.
因为PA⊥底面ABCD,所以PA⊥BD.
从而BD与平面PAC内两条相交直线PA,AC都垂直,
所以BD⊥平面PAC.
6.如图所示,在正方形ABCD中,E,F分别是BC,CD的中点,G是EF的中点.如果沿AE,AF及EF把这个正方形折成一个空间图形,使B,C,D三点重合,重合后的点记为H,那么在这个空间图形中必有( )
⇒
A.AH⊥△EFH所在平面
B.AG⊥△EFH所在平面
C.HF⊥△AEF所在平面
D.HG⊥△AEF所在平面
解析:由题意知原图中AD⊥DF,AB⊥BE,
所以折起后AH⊥FH,AH⊥EH.
因为FH∩EH=H,所以AH⊥△EFH所在平面.
答案:A
7.如图所示,在空间四边形ABCD中,AB,BC,CD,DA和两条对角线AC,BD都相等,若E为AD的中点,F为BC的中点,则直线BE和平面ADF所成的角的正弦值为33.
解析:如图所示,连接EF.根据题意知BC⊥AF,BC⊥DF.
因为AF∩DF=F,所以BC⊥平面ADF,所以∠BEF是直线BE和平面ADF所成的角.设BC=2,则BF=1,BE=3,所以sin∠BEF=13=33.
8.如图所示,直三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC为等腰直角三角形,∠ACB=90°,点C到AB1的距离为CE,D为AB的中点.
求证:(1)CD⊥AA1;(2)AB1⊥平面CED.
证明:(1)由题意知,AA1⊥平面ABC,CD⊂平面ABC,所以CD⊥AA1.
(2)因为D是AB的中点,△ABC为等腰直角三角形,∠ACB=90°,
所以CD⊥AB.
因为CD⊥AA1,AB∩A1A=A,AB⊂平面A1B1BA,A1A⊂平面A1B1BA,
所以CD⊥平面A1B1BA.
因为AB1⊂平面A1B1BA,所以CD⊥AB1.
由题意知CE⊥AB1.
因为CD∩CE=C,CD⊂平面CED,CE⊂平面CED,
所以AB1⊥平面CED.
9.如图所示,AB是圆柱的一条母线,BD是圆柱底面圆的一条直径,C是底面圆周上一点,且AB=BC=2,∠CBD=45°,求直线BD与平
面ACD所成角的大小.
解:如图所示,取AC的中点E,连接BE,DE.
由题意知AB⊥平面BCD,所以AB⊥CD.
因为BD是底面圆的直径,
所以∠BCD=90°,即CD⊥BC.
因为AB∩BC=B,AB⊂平面ABC,BC⊂平面ABC,
所以CD⊥平面ABC.
因为BE⊂平面ABC,所以CD⊥BE.
因为AB=BC=2,AB⊥BC,E为AC中点,
所以BE⊥AC,且BE=2.
因为AC∩CD=C,AC⊂平面ACD,CD⊂平面ACD,
所以BE⊥平面ACD,
所以∠BDE是BD与平面ACD所成的角.
因为BD=2BC=22,
所以sin∠BDE=BEBD=222=12,
所以∠BDE=30°,即BD与平面ACD所成的角为30°.
10.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P在侧面BCC1B1及其边界上移动,若点P总是满足AP⊥BD1,则动点P满足的条件是什么?并说明理由.
解:当点P在线段B1C上时,可以总是满足AP⊥BD1.
理由如下:
如图所示,连接AC,BD,AB1,B1C,B1D1.
因为ABCD-A1B1C1D1是正方体,
所以BB1⊥平面ABCD.
因为AC⊂平面ABCD,所以BB1⊥AC.
因为四边形ABCD是正方形,所以BD⊥AC.
因为BD⊂平面BDD1B1,BB1⊂平面BDD1B1,BB1∩BD=B,
所以AC⊥平面BDD1B1.
因为BD1⊂平面BDD1B1,
所以BD1⊥AC.同理可证BD1⊥AB1.
因为AC⊂平面AB1C,AB1⊂平面AB1C,AC∩AB1=A,
所以BD1⊥平面AB1C.
因为点P在线段B1C上,
所以AP⊂平面AB1C,所以AP⊥BD1.