数学必修 第一册第五章 三角函数5.5 三角恒等变换教学设计

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二倍角的正弦、余弦、正切公式如下表
[知识点拨]1.倍角的含义：
对于“二倍角”应该有广义的理解，如2α是α的二倍角，4α是2α的二倍角，8α是4α的二倍角，α是eq \f(α,2)的二倍角……这里的蓄含着换元思想．这就是说，“倍”是相对而言的，是描述两个数量之间的关系的．
2．公式的适用条件：
在S2α，C2α中，α∈R，在T2α中，α≠eq \f(kπ,2)＋eq \f(π,4)且α≠kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，当α＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)时，tanα不存在，求tan2α的值可采用诱导公式．
3．二倍角公式的逆用、变形用
(1)逆用形式：
2sinαcsα＝sin2α；sinαcsα＝eq \f(1,2)sin2α；csα＝eq \f(sin2α,2sinα)；cs2α－sin2α＝2cs2α－1＝1－2sin2α＝cs2α；
eq \f(2tanα,1－tan2α)＝tan2α．
(2)变形用形式：
1±sin2α＝sin2α＋cs2α±2sinαcsα＝(sinα±csα)2；
1＋cs2α＝2cs2α；
1－cs2α＝2sin2α；cs2α＝eq \f(1＋cs2α,2)；
sin2α＝eq \f(1－cs2α,2)．
1．已知sin（x），则sin2x＝ ．
【解析】解：∵sin（x），
∴sin2x＝cs（2x）＝cs2（x）＝1﹣2sin2（x）＝1﹣2，
故答案为：．
2．已知sin（α），则sin2α＝ ．
【解析】解：∵，
∴sin2α＝﹣cs（2α）＝﹣cs2（α）＝21，
故答案为．
3．设α为第四象限的角，若，则tan2α＝ ．
【解析】解：∵sin3α＝sin（2α+α）＝sin2αcsα+cs2αsinα，
∴2cs2α+cs2α＝2cs2α+2cs2α﹣1，
整理得：4cs2α﹣1，解得：csα或csα，
∵α是第四象限角，∴csα，
∴sinα，
∴tanα，
则tan2α．
故答案为：
4．2sin222.5°﹣1＝ ．
【解析】解：根据题意，原式＝2sin222.5°﹣1＝﹣（1﹣2sin222.5°）＝﹣cs45°，
故答案为：．
5．求cscscscscs ．
【解析】解：cscscscscscscscscscs

，
故答案为：．
重要考点一：二倍角公式的正用
【典型例题】已知α、β均为锐角，且sinα，cs（α+β），则cs2β＝ ．
【解析】解：∵α、β均为锐角，且sinα，故csα，
∴sin2α＝2sinαcsα，cs2α＝2cs2α﹣1．
∵cs（α+β），∴sin（α+β），
∴sin2（α+β）＝2sin（α+β）cs（α+β），cs2（α+β）＝2cs2（α+β）﹣1，
则cs2β＝cs[2（α+β）﹣2α]＝cs2（α+β）cs2α+sin2（α+β）sin2α，
故答案为：．
【题型强化】若sinx+csx（0≤x＜π），则cs2x＝ ．
【解析】解：因为sinx+csx（0≤x＜π），
两边平方，可得1+2sinxcsx，可得2sinxcsx0，
所以sinx≥0，csx＜0，
可得csx﹣sinx，
所以cs2x＝cs2x﹣sin2x＝（csx+sinx）（csx﹣sinx）（）．
故答案为：．
【收官验收】已知θ∈（，0），sin（θ），则tan2θ的值为 ．
【解析】解：因为sin（θ）csθsinθ，
可得sinθ+csθ①，两边平方，可得1+2sinθcsθ，可得2sinθcsθ，
因为θ∈（，0），
可得sinθ＜0，csθ＞0，
可得csθ﹣sinθ②，
所以由①②可得csθ，sinθ，可得tanθ，
可得tan2θ．
故答案为：．
【名师点睛】
对于给值求值问题，即由给出的某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变角”使“目标角”变成“已知角”，另外角的范围应根据所给条件进一步缩小，避免出现增解．
重要考点二：二倍角公式的逆用
【典型例题】已知函数．
（1）求f（x）在区间上的值域；
（2）若，且，求cs2α的值．
【解析】解：（1）．
因为，所以，
所以．
故f（x）在区间上的值域是[﹣1，2]．
（2）由，知，
又因为 ，所以，．
故
．
【题型强化】已知函数f（x）＝2sinxcsx+2cs2x﹣1（x∈R）．
（1）求函数f （x）的最小正周期及在区间[0，]上的单调区间；
（2）若f（x0），x0∈[，]，求cs2x0的值．
【解析】解：（1）∵函数 f（x）＝2sinxcsx+2cs2x﹣1sin2x+cs2x＝2sin（2x），
故它的最小正周期为π．
令2kπ2x2kπ，求得kπx≤kπ，
可得函数的增区间为[kπ，kπ]，k∈Z．
故函数在区间[0，]上的增区间为[0，]．
（2）∵f（x0）2sin（2x0），∴sin（2x0），
∵x0∈[，]，∴cs（2x0），
∴cs2x0＝cs[（2x0）]＝cs（2x0）cssin（2x0）sin
．
【收官验收】已知0＜x＜π，sinx+csx．
（1）求sinx﹣csx的值；
（2）求的值．
【解析】解：（1）∵sinx+csx，
∴（sinx+csx）2＝1+2sinxcsx，
∴sinxcsx，
∵0＜x＜π，
∴sinx＞0，csx＜0
∴（sinx﹣csx）2＝1﹣2sinxcsx＝1，
∴sinx﹣csx，
（2）由sinx+csx，sinx﹣csx，
解得sinx，csx，
∴tanx
∵sin2x，sin2x，
∴．
【名师点睛】
(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看是很难的，但仔细观察，非特殊角与特殊角总有一定的关系．解题时，要利用观察得到的关系，结合倍角公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．
(2)当公式出现2sinαcsα时，要逆用公式，然后再寻找关系解决．
重要考点三：二倍角公式的变形应用
【典型例题】已知函数f（x）＝2x+a．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期，单调减区间；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间上的最大值为3，锐角α满足f（α），求sin2α的值．
【解析】解：（Ⅰ）∵f（x）＝2x+a
sin2x﹣cs2x﹣1+a
＝2sin（2x）+a﹣1，
∴函数f（x）的最小正周期Tπ，
令2kπ2x2kπ，k∈Z，解得：kπx≤kπ，k∈Z，可得f（x）的单调减区间为：[kπ，kπ]，k∈Z．
（Ⅱ）∵f（x）＝2sin（2x）+a﹣1，x∈，
∴2x∈[，]，
∴当2x，即x时，f（x）有最大值为3，即1+a＝3，解得a＝2，
∴f（x）＝2sin（2x）+1，
∵f（α），即2sin（2α）+1，可得：sin（2α），
∵α为锐角，即α∈（0，），可得2α∈（，），
∴cs（2α），
∴sin2α＝sin[（2α）]＝sin（2α）cscs（2α）sin．
【题型强化】已知函数．
（1）已知，，求cs2α的值；
（2）已知ω＞0，函数，若函数g（x）在区间上是增函数，求ω的最大值．
【解析】解：（1）∵sinxcsx+cs2xsin2xcs2x＝sin（2x），
∴，可得sin（2α），
∵，可得2x∈（，π），
∴cs（2x），
∴cs2α＝cs（2x）＝cs（2x）cssin（2x）sin．
（2）∵f（x）＝sin（2x），
∴sin（ωx），
当x∈[，]，ωx∈[，]，
∵函数g（x）在区间[，]上是增函数，且ω＞0，
则[，]⊆[2kπ，2kπ]，k∈Z，
即 ，则 ，
∵ω＞0，
∴k，k∈Z，
∴k＝0，
∴ω≤1，
则ω的最大值为1．
【收官验收】已知函数，且．
（1）求a的值及f（x）的最小正周期；
（2）若，，求sin2α．
【解析】解：（1）由，且，
得，解得a＝2．
∴
．
∴的最小正周期为π；
（2）由，得，
∵，∴，
又，∴．
∴．
则
．
【名师点睛】
二倍角公式的变形应用
(1)公式的逆用、变形用十分重要．特别是1＋cs2α＝2cs2α，1－cs2α＝2sin2α形式相似极易出错．应用时要加强“目标意识”．
(2)公式变形的主要形式有1±sin2α＝sin2α＋cs2α±2sinαcsα＝(sinα±csα)2,1＋cs2α＝2cs2α，1－cs2α＝2sin2α，cs2α＝eq \f(1＋cs2α,2)，sin2α＝eq \f(1－cs2α,2)．
知识点课前预习与精讲精析
三角函数
公式
简记
正弦
sin2α＝2sinαcsα
S(α＋β)
S2α
余弦
cs2α＝cs2α－sin2α＝2cs2α－1＝1－2sin2α
C(α＋β)
C2α
正切
tan2α＝ eq \f(2tanα,1－tan2α)
T(α＋β)
T2α
典型题型与解题方法