2021学年第五章 一元函数的导数及其应用本章综合与测试精练

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章末测试
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
单选题（每题只有一个选项为正确答案，每题5分，共40分）
1．（2020·广东高二期末（理））函数的导函数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】，故选：.
2．（2020·广东高二期末（理））曲线在点处切线的斜率为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】的导数为，
可得曲线在点处切线的斜率为.故选：C.
3．（2020·甘肃城关·兰州一中高二期中（理））如图是函数的导函数的图像，则下面判断正确的是( )
A．在区间（-2,1）上是增函数
B．在区间（1,3）上是减函数
C．在区间（4,5）上是增函数
D．当时，取极大值
【答案】C
【解析】选项A, 区间（-2,1）导函数先是负后是正,所以原函数先减后增,A错误
选项B, 区间（1,3）导函数先是正后是负, 所以原函数先增后减,B错误
选项C, 区间（4,5）导函数恒大于0，原函数单调递增，C正确
选项D，当处，左边减右边增，取极小值，D错误
答案是C
4．（2020·甘肃城关·兰州一中高二期中（理））设曲线在x＝0处的切线方程为2x－y＋1＝0，则a＝( )
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【解析】，，
当x＝0时，y′＝a－1.
故曲线在x＝0处的切线方程为2x－y＋1＝0，
即：，从而a－1＝2，即a＝3.
本题选择D选项.
5．（2020·山西运城·高三月考（文））已知定义在上函数的导函数为，，有，且.设，，，则（ ）.
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设，
，即，
所以函数是偶函数，
并且，所以函数在单调递减，
，，
，
因为，所以，
即.
故选：D
6．（2020·江苏省江浦高级中学高三月考）直线是曲线和曲线的公切线，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设直线与曲线相切于点，直线与曲线相切于点，
，则，由，可得，
则，即点，
将点的坐标代入直线的方程可得，可得，①
，则，由，可得，
，即点，
将点的坐标代入直线的方程可得，，②
联立①②可得，.故选：C.
7．（2020·江西省信丰中学高三月考（文））设函数，若是函数是极大值点，则函数的极小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】∵，∴，
∵是函数的极大值点，∴，解得，
∴，
∴当时，单调递增；当时，单调递减；当时，单调递增；
∴当时，有极小值，且极小值为．
故选A．
8．（2020·四川巴中·高三零模（文））若函数在区间上有最小值，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由，可得，
当，，当或时，，
所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，在区间上单调递减，可得，令，可得或，则的图像如图所示，
因为函数在区间上有最小值，故，
解得：，
故选：C.
二、多选题（每题有多个选项为正确答案，少选且正确得3分，每题5分，共20分）
9．（2020·江苏淮安·高三月考）若直线是函数图像的一条切线，则函数可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【解析】直线的斜率为，
由的导数为，即切线的斜率小于0，故A不正确；
由的导数为，而，解得，故B正确；
由的导数为，而有解，故C正确；
由的导数为，而，解得，故D正确，
故选：BCD
10．（2020·四川省绵阳江油中学高二月考（理））对于函数，下列说法正确的是（ ）
A．在处取得极大值B．有两个不同的零点
C．D．若在上恒成立，则
【答案】ACD
【解析】由已知，，令得，令得，故
在上单调递增，在单调递减，所以的极大值为，
A正确；
又令得，即，只有1个零点，B不正确；
函数在上单调递减，因为，所以，故C正确；
若在上恒成立，即在上恒成立，设，
，令得，令得，故
在上单调递增，在单调递减，所以，，
故D正确.
故选：ACD
11．（2020·泉州第十六中学高二月考）如果函数的导函数的图象如图所示，则下述判断正确的是（ ）
A．函数在区间内单调递增
B．函数在区间内单调递减
C．函数在区间内单调递增
D．当时，函数有极大值
【答案】CD
【解析】对于A选项，当时，，则函数在区间上单调递减，A选项错误；
对于B选项，当时，，则函数在区间上单调递增，B选项错误；
对于C选项，当时，，则函数在区间上单调递增，C选项正确；
对于D选项，当时，，当时，，所以，函数在处取得极大值，D选项正确.
故选：CD.
12．（2020·湖北黄石港·黄石一中高二期末）已知函数，若在区间上的最大值为28，则实数k的值可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AB
【解析】因为，所以，
令，解得，
所以在和时，，在时，，
所以函数在和上单调递增，函数在上单调递减，
则在内单调递增，所以在内，最大；
在时单调递减，所以在内，最大；
在时单调递增，所以在内，最大；
因为，且在区间上的最大值为28，
所以，即k的取值范围是，
故选：AB.
第II卷（非选择题）
三、填空题（每题5分，共20分）
13．（2018·福建高二期末（文））已知函数f(x)=exlnx，为f(x)的导函数，则的值为__________．
【答案】e
【解析】由函数的解析式可得：，
则，即的值为e，故答案为.
14．（2020·四川省绵阳江油中学高二月考（理））已知函数在处有极小值10，则___________．
【答案】
【解析】因为，所以，
又函数在处有极小值10，
且，
解得，或，
当时，
此时，是函数的极小值点，
当时，
，
此时，不是函数的极小值点，
，
，
故答案为：
15．（2020·开鲁县第一中学高二期末（理））已知函数，若正实数满足，则的最小值是__________．
【答案】
【解析】因为，所以函数为单调递增奇函数，因此由，得
因此，当且仅当时取等号.
16．（2020·河南南阳·高二期末（理））已知函数有且仅有一个极值点，则实数的取值范围是_____.
【答案】
【解析】因为函数有且仅有一个极值点，
所以只有一个解，
即，只有一个解，
即与只有一个交点，
因为，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
所以，
当时，；当时，，
画出函数的草图如下：
结合图象可得或，
解得或，
当时，，
所以，
令，
所以，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
所以恒成立，
所以在上单调递减，
所以函数没有极值点.
所以实数的取值范围是.
故答案为：
四、解答题（17题10分，其余每题12分，共6题70分）
17．（2020·广东高二期末（理））已知，在与处都取得极值.
（1）求实数，的值；
（2）若对任意，，都有成立，求实数的取值范围.
【答案】（1），；（2），，.
【解析】（1），，
在与处都取得极值，
与是的两根，即，
解得，.
（2）由（1）知，，，
令，则或，
和随在，上的变化情况如下表所示：
，极大值为（1），
在，上的最大值为，
对任意，，都有成立，
，解得或.
故实数的取值范围为，，.
18．（2020·民勤县第一中学高二期末（文））已知函数.
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）若恒成立，求的取值范围.
【答案】Ⅰ；Ⅱ.
【解析】时，函数，可得，所以，时，．
曲线则处的切线方程；
即：；
由条件可得，
则当时，恒成立，
令，则，
令，
则当时，，所以在上为减函数．
又，
所以在上，；在上，．
所以在上为增函数；在上为减函数．
所以，所以．
19．（2020·江西高二期末（理））设函数.
（1）求函数的极大值点；
（2）若关于x的方程在区间上有两个不同的实数解，求实数m的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1），
所以在，上单调递增，在上单调递减，
故在处取得极大值，函数的极大值点为.
（2），可化为，
即在区间上有两个不同的实数根，
令，，
则在上，函数单调递增，在上，函数单调递减，
所以，又，，
故原方程有两个不同实数解时的的取值范围为.
20．（2020·北京高二期末）已知函数，其中.曲线在点处的切线斜率为.
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求证：.
【答案】（Ⅰ）0；（Ⅱ）证明见解析.
【解析】（Ⅰ），
由题意可知，，
故；
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知，
易得，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，
故当时，函数取得极大值也是最大值，
故.
21．（2020·北京交通大学附属中学高二期末）已知函数（a为常数）.
（1）当时，求过原点的切线方程；
（2）讨论的单调区间和极值；
（3）若，恒成立，求a的取值范围.
【答案】（1）；（2）答案见解析；（3）.
【解析】（1）当时，，
则，
设切点坐标为，
∴，解得，
∴，
∴过原点的切线方程；
（2），
∴，
当时，恒成立，函数在上单调递增，无极值；
当时，令，解得，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
∴，无极大值；
（3），恒成立，即在上恒成立，
当时，恒成立，
当时，，
设，，
∴恒成立，
∴在上单调递减，
∴，
∴，
综上所述.
22．（2020·吉林梅河口·高二月考（文））已知函数.
（1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求函数的单调区间；
（2）若对都有成立，试求实数的取值范围；
【答案】（1）的单调增区间是，单调减区间是;（2）.
【解析】（1）直线的斜率1.函数的定义域为，，
所以，解得.所以，.
由解得；由解得，
所以的单调增区间是，单调减区间是.
（2），由解得；由解得.
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以当时，函数取得最小值，，
因为对于都有成立，所以只须即可，
即，解得.，
，
，
1
，
0
0
极小值
极大值