人教版七年级上册第四章 几何图形初步4.3 角4.3.1 角导学案

【新教材】5.1.1 任意角（人教A版）

1.了解任意角的概念.

2.理解象限角的概念及终边相同的角的含义．

3.掌握判断象限角及表示终边相同的角的方法．

1.数学抽象：理解任意角的概念，能区分各类角；

2.逻辑推理：求区域角；

3.数学运算：会判断象限角及终边相同的角.

重点：理解象限角的概念及终边相同的角的含义；

难点：掌握判断象限角及表示终边相同的角的方法．

一、 预习导入

阅读课本168-170页，填写。

1．任意角

(1)角的概念

角可以看成平面内一条        绕着端点从一个位置        到另一个位置所成的        ．

(2)角的表示

如图，OA是角α的始边，OB是角α的终边，O是角的顶点．角α可记为“角α”或“∠α”或简记为“α”．

(3)角的分类

按旋转方向，角可以分为三类：

2．象限角

在平面直角坐标系中，若角的顶点与        重合，角的始边与        轴的非负半轴重合，那么，角的        在第几象限，就说这个角是第几        ；如果角的终边        上，就认为这个角不属于任何一个象限．

3．终边相同的角

所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝                        ，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与        的和．

1.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)小于90°的角都是锐角．(　　)

(2)终边相同的角一定相等．(　　)

(3)锐角都是第一象限角．(　　)

(4)第二象限角是钝角．(　　)

2、2 020°是(　　)

A．第一象限角　　　　　　　

B．第二象限角

C．第三象限角

D．第四象限角

3、与30°角终边相同的角的集合是(　　)

A．{α|α＝30°＋k·360°，k∈Z}

B．{α|α＝－30°＋k·360°，k∈Z}

C．{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}

D．{α|α＝－30°＋k·180°，k∈Z}

4、将35°角的终边按顺时针方向旋转60°所得的角度数为________，将35°角的终边按逆时针方向旋转一周后的角度数为________．

题型一    任意角和象限角的概念

例1 　(1)给出下列说法：

①锐角都是第一象限角；②第一象限角一定不是负角；③小于180°的角是钝角、直角或锐角；④始边和终边重合的角是零角．其中正确说法的序号为________(把正确说法的序号都写上)．

(2)已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，作出下列各角，并指出它们是第几象限角．

①420°，②855°，③－510°.

跟踪训练一

1．已知集合A＝{第一象限角}，B＝{锐角}，C＝{小于90°的角}，则下面关系正确的是(　　)

A．A＝B＝C　 B．A⊆C

C．A∩C＝B D．B∪C⊆C

2．给出下列四个命题：①－75°是第四象限角；②225°是第三象限角；③475°是第二象限角；④－315°是第一象限角．其中正确的命题有(　　)

A．1个  B．2个  C．3个  D．4个

题型二   终边相同的角的表示及应用

例2　(1)将－885°化为k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式是________．

(2)写出与α＝－910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°＜β＜360°的元素β写出来．

跟踪训练二

1.下面与－850°12′终边相同的角是(　　)

A．230°12′　　 B．229°48′

C．129°48′ D．130°12′

2．写出角α的终边落在第二、四象限角平分线上的角的集合为________．

题型三    任意角终边位置的确定和表示

例3 (1)若α是第一象限角，则是(　　)

A．第一象限角 B．第一、三象限角

C．第二象限角 D．第二、四象限角

(2)已知，如图所示．

①分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合；

②写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．

跟踪训练三

1．如图所示的图形，那么终边落在阴影部分的角的集合如何表示？

1．若角的终边相同，则的终边在（）

A.轴的正半轴上

B.轴的负半轴上

C.轴的正半轴上

D.轴的负半轴上

2．在~0范围内所有与30角终边相同的角为（    ）

A． B． C．或 D．或

3．下列叙述正确的是（    ）

A．第一或第二象限的角都可作为三角形的内角

B．始边相同而终边不同的角一定不相等

C．若是第一象限角，则2是第二象限角

D．钝角比第三象限角小

4．（多选）若角是第二象限角，则是（）

A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角

5．角的终边在第二象限，则的终边在第______________象限。

6．写出在-360°到360°之间与-120°的角终边相同的角。

7．在角的集合，

（1）有几种终边不同的角？

（2）写出区间内的角？

（3）写出第二象限的角的一般表示法．

答案

小试牛刀

1．(1)×　(2)×　(3)√　(4)×

2．C

3．A

4. －25°　395°

自主探究

例1 　【答案】（1）①  （2）图略，①420°是第一象限角．②855°是第二象限角．③－510°是第三象限角．

【解析】(1)①锐角是大于0°且小于90°的角，终边落在第一象限，是第一象限角，所以①正确；

②－350°角是第一象限角，但它是负角，所以②错误；

③0°角是小于180°的角，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，所以③错误；

④360°角的始边与终边重合，但它不是零角，所以④错误．

(2)　作出各角的终边，如图所示：

由图可知：

①420°是第一象限角．

②855°是第二象限角．

③－510°是第三象限角．

跟踪训练一

1．【答案】D

【解析】由已知得B C，所以B∪C⊆C，故D正确．

2．【答案】D

【解析】－90°＜－75°＜0°，180°＜225°＜270°，

360°＋90°＜475°＜360°＋180°，－315°＝－360°＋45°且0°＜45°＜90°.所以这四个命题都是正确的．

例2　【答案】（1）(－3)×360°＋195°，  （2）终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°－910°，k∈Z}，适合不等式－720°＜β＜360°的元素－550°、－190°、170°.

【解析】(1)－885°＝－1 080°＋195°＝(－3)×360°＋195°.

(2)与α＝－910°终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°－910°，k∈Z}，

∵－720°＜β＜360°，即－720°＜k·360°－910°＜360°，k∈Z，

∴k取1，2，3.

当k＝1时，β＝360°－910°＝－550°；

当k＝2时，β＝2×360°－910°＝－190°；

当k＝3时，β＝3×360°－910°＝170°.

跟踪训练二

1.【答案】B

【解析】与－850°12′终边相同的角可表示为α＝－850°12′＋k·360°(k∈Z)，当k＝3时，α＝－850°12′＋1 080°＝229°48′.

2．【答案】{α|α＝k·180°＋135°，k∈Z}．

【解析】落在第二象限时，表示为k·360°＋135°.落在第四象限时，表示为k·360°＋180°＋135°，故可合并为{α|α＝k·180°＋135°，k∈Z}．

例3 【答案】(1)B  (2) ①终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}；终边落在OB位置上的角的集合为{β|β＝－30°＋k·360°，k∈Z}．

  ②故该区域可表示为{γ|－30°＋k·360°≤γ≤135°＋k·360°，k∈Z}．

【解析】(1)　因为α是第一象限角，所以k·360°＜α＜k·360°＋90°，k∈Z，所以k·180°＜＜k·180°＋45°，k∈Z，当k为偶数时，为第一象限角；当k为奇数时，为第三象限角．所以是第一、三象限角．

(2)　①终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}；

终边落在OB位置上的角的集合为{β|β＝－30°＋k·360°，k∈Z}．

②由题干图可知，阴影部分(包括边界)的角的集合是由所有介于[－30°，135°]之间的与之终边相同的角组成的集合，故该区域可表示

为{γ|－30°＋k·360°≤γ≤135°＋k·360°，k∈Z}．

跟踪训练三

1．【答案】角β的取值集合为{β|n·180°＋60°≤β<n·180°＋105°，n∈Z}．

【解析】在0°～360°范围内，终边落在阴影部分(包括边界)的角为60°≤β<105°与240°≤β<285°，所以所有满足题意的角β为{β|k·360°＋60°≤β<k·360°＋105°，k∈Z}∪{β|k·360°＋240°≤β<k·360°

＋285°，k∈Z}＝{β|2k·180°＋60°≤β<2k·180°＋105°，k∈Z}

∪{β|(2k＋1)·180°＋60°≤β<(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z}＝

{β|n·180°＋60°≤β<n·180°＋105°，n∈Z}．

故角β的取值集合为{β|n·180°＋60°≤β<n·180°＋105°，n∈Z}．

当堂检测 

1-3．ACB

4．AC

5．三

6. 240°

7．【答案】(1) 4种．(2) ．(3) ．

【解析】（1）由题知，令，则，

∴在给定的角的集各中，终边不同的角共有4种．

（2）由，得，∴，

∴在区间内的角有．

（3）由（1）知，第二象限的角可表示为．