初中数学人教版八年级上册第十一章 三角形11.2 与三角形有关的角11.2.2 三角形的外角第2课时导学案

2　与三角形有关的角

第2课时 三角形的外角导学案

学习目标

1.了解三角形外角的概念.

2.探索并证明三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.

3.运用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和解决简单问题.

学习策略

3.通过合作探究证明三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；

4.牢记三角形三角形的外角和定理，应用其进行相关的计算.

学习过程 

一.复习回顾：

1.如图,已知BD∥CE,∠A=45°,∠C=65°,求∠1和∠2的度数.

2.在问题1中,∠2被称为三角形的外角,根据∠2的构成,你能说明什么叫三角形的外角吗?

二.新课学习：

探究1:根据定义探索三角形外角的个数

1.根据定义,画出三角形的外角.你能画出多少个?

2.这几个角有什么关系?(位置关系和数量关系)

探究2:手脑并用探索三角形外角的性质及外角和

1.如图,在△ABC中,∠ABC=65°,∠ACB=40°,求∠BAC的度数及三角形的外角∠1,∠2,∠3的度数.

2.观察你的结论,你能发现三角形的三个内角与它的外角有什么关系吗?三个外角又有什么关系?

3.试证明三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.

4.试证明三角形的外角和等于360°.

三.尝试应用：

1.如图,∠BDC是          的外角,∠BDC=       +        ,∠EFC是       的外角,∠EFC=       +      ,∠BFC是       的外角,∠BFC=          +         ,∠BFC>            . 

2.说出下列各图中∠1和∠2的度数.

(1)　           　(2)

3.如图,CE是△ABC的外角∠ACD的平分线,且CE交BA的延长线于点E,证明∠BAC>∠B.

4.如图,点D是△ABC内的一点,连接BD和CD,证明∠BDC>∠A.

5.如图,在△ABC中,∠ABC与∠ACB的平分线交于点P.试证明∠P=90°+∠A.

6.如图,在上题中,如果CP是△ABC外角∠ACD的平分线,那么∠P与∠A有什么关系?试证明你的结论.

7.如图,在上题中,如果BP,CP分别是∠CBD与∠BCE的平分线,那么∠P与∠A有什么关系?试证明你的结论.

四.自主总结：

1. 三角形的一边与另一边的___________组成的角叫做三角形的外角.

2. 三角形的外角等于与它___________的两个内角的和.

3. 三角形的外角和等于             .

五.达标测试

一、选择题

1. 如图，∠1=55°，∠3=108°，则∠2的度数为（　　）

A．52° B．53° C．54° D．55°

2.如图，直线m∥n，∠1=70°，∠2=30°，则∠A等于（　　）

A．30° B．35° C．40° D．50°

3.如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP=20°，∠ACP=50°，则∠A+∠P=（　　）

A．70° B．80° C．90° D．100°

第1题图                 第2题图                    第3题图

二、填空题

4. 如图，点D，B，C点在同一条直线上，∠A=60°，∠C=50°，∠D=25°，则∠1=__度．

5.一副三角板如图所示叠放在一起，则图中∠α是_________．

6.如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，将其折叠，使点A落在边BC上A1处，折痕为CD，则∠A1DB=_________度．

            第4题图                 第5题图                   第6题图

三、解答题

7. 如图，在锐角三角形ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，且CD、BE交于一点P，若∠A=50°，求∠BPC的度数．

8.如图所示，在△ABC中，D是BC边上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=63°，求∠DAC的度数．

9.如图，在△ABC中，AB=AC，D、E分别在AC、AB边上，且BC=BD，AD=DE=EB，求∠A的度数．

10.如图，△ABC的∠ABC、∠ACB的外角的平分线交于点P．

（1）若∠ABC=50°，∠A=70°，求∠P的度数；

（2）若∠A=68°，求∠P的度数；

（3）根据以上计算，试写出∠P与∠A的数量关系．

参考答案

1.B  解析：∵∠3是△ABC的外角，∠1=55°，∠3=108°，∴∠2=∠3-∠1=108°-55°=53°．

2.C  解析：如图，∵直线m∥n，∴∠1=∠3，∵∠1=70°，∴∠3=70°，∵∠3=∠2+∠A，∠2=30°，∴∠A=40°.

3.C解析：∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，∵∠ABP=20°，∠ACP=50°，∴∠ABC=2∠ABP=40°，∠ACM=2∠ACP=100°，∴∠A=∠ACM-∠ABC=60°，∠ACB=180°-∠ACM=80°，∴∠BCP=∠ACB+∠ACP=130°，∵∠BPC=20°，∴∠P=180°-∠PBC-∠BCP=30°，∴∠A+∠P=90°．

4.45  解析：∵∠ABD是△ABC的外角，∴∠ABD=∠A+∠C=60°+50°=110°，∴∠1=180°-∠ABD-∠D=180°-110°-25°=45°．

5.75°  解析：如图，∠1=45°-30°=15°，∠α=90°-∠1=90°-15°=75°．

6.10  解析：∵∠ACB=90°，∠A=50°，∴∠B=90°-50°=40°，由翻折的性质得，∠CA1D=∠A=50°，所以∠A1DB=∠CA1D-∠B=50°-40°=10°．

7.解：∵∠A=50°，BE⊥AC，∴∠ABE=90°-50°=40°，又∵CD⊥AB，∴∠BPC=90°+∠ABE=130°．

8.解：设∠1=∠2=x，则∠3=∠4=2x．因为∠BAC=63°，所以∠2+∠4=117°，即x+2x=117°，所以x=39°；所以∠3=∠4=78°，∠DAC=180°-∠3-∠4=24°．

9.解：∵DE=EB，∴设∠BDE=∠ABD=x，∴∠AED=∠BDE+∠ABD=2x，∵AD=DE，∴∠AED=∠A=2x，∴∠BDC=∠A+∠ABD=3x，∵BD=BC，

∴∠C=∠BDC=3x，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=3x，在△ABC中，3x+3x+2x=180°，解得x=22.5°，∴∠A=2x=22.5°×2=45°．

10.解：（1）∵∠CBD=∠A+∠ACB，∠BCE=∠A+∠ABC，∴∠CBD+∠BCE=∠A+∠ACB+∠A+∠ACB=180°+∠A=180°+70°=250°，∵BP、CP分别是∠CBD、∠BCE的平分线，∴∠CBP=∠CBD，∠BCP=∠BCE，∴∠CBP+∠BCP=（∠CBD+∠BCE）÷2=250°÷2=125°，∴∠P=180°-125°=55°，即∠P的度数是55°．

（2）∵∠CBD=∠A+∠ACB，∠BCE=∠A+∠ABC，∴∠CBD+∠BCE=∠A+∠ACB+∠A+∠ACB=180°+∠A=180°+68°=248°，∵BP、CP分别是∠CBD、∠BCE的平分线，∴∠CBP=∠CBD，∠BCP=∠BCE，∴∠CBP+∠BCP=（∠CBD+∠BCE）÷2=248°÷2=124°，

∴∠P=180°-124°=56°，即∠P的度数是56°；（3）∵∠CBD=∠A+∠ACB，∠BCE=∠A+∠ABC，∴∠CBD+∠BCE=∠A+∠ACB+∠A+∠ACB=180°+∠A，∵BP、CP分别是∠CBD、∠BCE的平分线，∴∠CBP=∠CBD，∠BCP=∠BCE，∴∠CBP+∠BCP=（∠CBD+∠BCE）÷2=（180°+∠A）÷2=90°+∠A，∴∠P=180°-（90°+∠A）=90°-∠A，即∠P与∠A的数量关系为：∠P=90°-∠A．