第1章 章末综合提升-【新教材】人教B版（2019）高中数学选择性必修第一册讲义

这是一份第1章 章末综合提升-【新教材】人教B版（2019）高中数学选择性必修第一册讲义，共3页。

[提升层·题型探究]
【例1】 (1)在空间四边形O­ABC中，其对角线为OB，AC，M是OA的中点，G为△ABC的重心，用基向量eq \(OA,\s\up7(→))，eq \(OB,\s\up7(→))，eq \(OC,\s\up7(→))表示向量eq \(MG,\s\up7(→))．
(2)已知三点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)．
①求以AB，AC为邻边的平行四边形的面积．
②若|a|＝eq \r(3)，且a分别与eq \(AB,\s\up7(→))，eq \(AC,\s\up7(→))垂直，求向量a的坐标．
[解] (1)如图，连接AG并延长交BC于点D．
∴D为BC的中点，
∴eq \(AD,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(AC,\s\up7(→)))．
∵G为△ABC的重心，∴eq \(AG,\s\up7(→))＝eq \f(2,3)eq \(AD,\s\up7(→))＝eq \f(1,3)(eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(AC,\s\up7(→)))，
又∵eq \(AB,\s\up7(→))＝eq \(OB,\s\up7(→))－eq \(OA,\s\up7(→))，eq \(AC,\s\up7(→))＝eq \(OC,\s\up7(→))－eq \(OA,\s\up7(→))，
∴eq \(AG,\s\up7(→))＝eq \f(1,3)(eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(AC,\s\up7(→)))＝eq \f(1,3)(－2eq \(OA,\s\up7(→))＋eq \(OB,\s\up7(→))＋eq \(OC,\s\up7(→)))．
∵M为OA的中点，∴eq \(AM,\s\up7(→))＝－eq \f(1,2)eq \(OA,\s\up7(→))．
∴eq \(MG,\s\up7(→))＝eq \(AG,\s\up7(→))－eq \(AM,\s\up7(→))＝eq \f(1,3)(－2eq \(OA,\s\up7(→))＋eq \(OB,\s\up7(→))＋eq \(OC,\s\up7(→)))＋eq \f(1,2)eq \(OA,\s\up7(→))＝－eq \f(1,6)eq \(OA,\s\up7(→))＋eq \f(1,3)eq \(OB,\s\up7(→))＋eq \f(1,3)eq \(OC,\s\up7(→))．
(2)①由题意，可得eq \(AB,\s\up7(→))＝(－2，－1,3)，eq \(AC,\s\up7(→))＝(1，－3,2)，
所以cs〈eq \(AB,\s\up7(→))，eq \(AC,\s\up7(→))〉＝eq \f(\(AB,\s\up7(→))·\(AC,\s\up7(→)),|\(AB,\s\up7(→))||\(AC,\s\up7(→))|)＝eq \f(－2＋3＋6,\r(14)×\r(14))＝eq \f(7,14)＝eq \f(1,2)，所以sin〈eq \(AB,\s\up7(→))，eq \(AC,\s\up7(→))〉＝eq \f(\r(3),2)，所以以AB，AC为邻边的平行四边形的面积为S＝2×eq \f(1,2)|eq \(AB,\s\up7(→))|·|eq \(AC,\s\up7(→))|·sin〈eq \(AB,\s\up7(→))，eq \(AC,\s\up7(→))〉＝14×eq \f(\r(3),2)＝7eq \r(3)．
②设a＝(x，y，z)，由题意，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋y2＋z2＝3，,－2x－y＋3z＝0,x－3y＋2z＝0.))，
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝1，,z＝1，))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－1，,y＝－1，,z＝－1.))
所以向量a的坐标为(1,1,1)或(－1，－1，－1)．
1．向量的表示与运算的关键是熟练掌握向量加减运算的平行四边形法则、三角形法则及各运算公式，理解向量运算法则、运算律及其几何意义．
2．熟记空间向量的坐标运算公式
设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，
(1)加减运算：a±b＝(x1±x2，y1±y2，z1±z2)．
(2)数量积运算：a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2．
(3)向量夹角：cs〈a，b〉＝
eq \f(x1x2＋y1y2＋z1z2,\r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1)＋z\\al(2,1))·\r(x\\al(2,2)＋y\\al(2,2)＋z\\al(2,2)))．
(4)向量长度：设M1(x1，y1，z1)，M2(x2，y2，z2)，
则|eq \(M1M2,\s\up7(→))|＝eq \r(x1－x22＋y1－y22＋z1－z22)．
提醒：在利用坐标运算公式时注意先对向量式子进行化简再运算．
eq \([跟进训练])
1．已知向量eq \(AB,\s\up7(→))＝(4,3)，eq \(AD,\s\up7(→))＝(－3，－1)，点A(－1，－2)．
(1)求线段BD的中点M的坐标；
(2)若点P(2，y)满足eq \(PB,\s\up7(→))＝λeq \(BD,\s\up7(→))，求y与λ的值．
[解] (1)设B(x，y)，∵A(－1，－2)，∴eq \(AB,\s\up7(→))＝(x＋1，y＋2)＝(4,3)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1＝4，,y＋2＝3，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3，,y＝1，))即B(3,1)，
同理可得D(－4，－3)．
∴线段BD的中点M的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，－1))．
(2)∵eq \(PB,\s\up7(→))＝(1,1－y)，eq \(BD,\s\up7(→))＝(－7，－4)，
由eq \(PB,\s\up7(→))＝λeq \(BD,\s\up7(→))得(1,1－y)＝λ(－7，－4)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－7λ＝1，,1－y＝－4λ，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝\f(3,7)，,λ＝－\f(1,7).))
【例2】 四棱锥P­ABCD中，PD⊥平面ABCD，ABCD是正方形，E是PA的中点，求证：
(1)PC∥平面EBD；
(2)平面PBC⊥平面PCD．
[证明] 如图，以D为坐标原点，分别以DC，DA，DP所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．
设DC＝a，PD＝b，则D(0,0,0)，C(a,0,0)，B(a，a,0)，P(0,0，b)，Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(a,2)，\f(b,2)))．
(1)eq \(DE,\s\up7(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(a,2)，\f(b,2)))，eq \(DB,\s\up7(→))＝(a，a,0)．
设平面EBD的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\(DE,\s\up7(→))·n＝0，,\(DB,\s\up7(→))·n＝0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(a,2)y＋\f(b,2)z＝0，,ax＋ay＝0.))
令x＝1，得n＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－1，\f(a,b)))，
因为eq \(PC,\s\up7(→))·n＝(a,0，－b)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－1，\f(a,b)))＝0，
所以eq \(PC,\s\up7(→))⊥n，故PC∥平面EBD．
(2)由题意得平面PDC的一个法向量为eq \(DA,\s\up7(→))＝(0，a,0)，
又eq \(PB,\s\up7(→))＝(a，a，－b)，eq \(PC,\s\up7(→))＝(a,0，－b)，
设平面PBC的一个法向量为m＝(x1，y1，z1)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\(PB,\s\up7(→))·m＝0，,\(PC,\s\up7(→))·m＝0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ax1＋ay1－bz1＝0，,ax1－bz1＝0，))
得y1＝0，令x1＝1，则z1＝eq \f(a,b)，
所以m＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，0，\f(a,b)))，
因为eq \(DA,\s\up7(→))·m＝(0，a,0)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，0，\f(a,b)))＝0，
所以eq \(DA,\s\up7(→))⊥m，即平面PBC⊥平面PCD．
1．证明两条直线平行，只需证明这两条直线的方向向量是共线向量．
2．证明线面平行的方法
(1)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直．
(2)能够在平面内找到一个向量与已知直线的方向向量共线．
(3)利用共面向量定理，即证明直线的方向向量与平面内的两个不共线向量是共面向量．
3．证明面面平行的方法
(1)转化为线线平行、线面平行处理．
(2)证明这两个平面的法向量是共线向量．
4．证明两条直线垂直，只需证明这两条直线的方向向量垂直．
5．证明线面垂直的方法
(1)证明直线的方向向量与平面的法向量是共线向量．
(2)证明直线的方向向量与平面内的两个不共线的向量互相垂直．
6．证明面面垂直的方法
(1)转化为证明线面垂直．
(2)证明两个平面的法向量互相垂直．
eq \([跟进训练])
2．如图，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB与底面成45°角，底面ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，PA＝BC＝eq \f(1,2)AD＝1，问在棱PD上是否存在一点E，使CE∥平面PAB？若存在，求出点E的位置；若不存在，说明理由．
[解] 分别以AB、AD、AP为x、y、z轴建立空间直角坐标系
∴P(0,0,1)，C(1,1,0)，
D(0,2,0)．
设E(0，y，z), 则eq \(PE,\s\up7(→))＝(0，y，z－1)，eq \(PD,\s\up7(→))＝(0,2，－1)．
∵eq \(PE,\s\up7(→))∥eq \(PD,\s\up7(→))，
∴y×(－1)－2(z－1)＝0．①
∵eq \(AD,\s\up7(→))＝(0,2,0)是平面PAB的法向量．
又eq \(CE,\s\up7(→))＝(－1，y－1，z)，由CE∥平面PAB．
∴eq \(CE,\s\up7(→))⊥eq \(AD,\s\up7(→))，∴(－1，y－1，z)·(0,2,0)＝0，∴y＝1，代入①得z＝eq \f(1,2)，∴E是PD的中点，∴存在E点为PD中点时，CE∥平面PAB．
【例3】 正三棱柱ABC­A1B1C1的底面边长为a，侧棱长为eq \r(2)a，求AC1与侧面ABB1A1所成的角．
[解] 建立以A点为坐标原点，以过A垂直于AB的直线，AB、AA1为x，y，z轴的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(0，a,0)，A1(0,0，eq \r(2)a)，C1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)a，\f(a,2)，\r(2)a))．
法一：取A1B1的中点M，则Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(a,2)，\r(2)a))，连接AM、MC1，
有eq \(MC1,\s\up7(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)a，0，0))，eq \(AB,\s\up7(→))＝(0，a,0)，
eq \(AA1,\s\up7(→))＝(0,0，eq \r(2)a)，
∴eq \(MC1,\s\up7(→))·eq \(AB,\s\up7(→))＝0，
eq \(MC1,\s\up7(→))·eq \(AA1,\s\up7(→))＝0，∴eq \(MC1,\s\up7(→))⊥eq \(AB,\s\up7(→))，eq \(MC1,\s\up7(→))⊥eq \(AA1,\s\up7(→))，
则MC1⊥AB，MC1⊥AA1，又AB∩AA1＝A，
∴MC1⊥平面ABB1A1，
∴∠C1AM是AC1与侧面A1ABB1所成的角．
由于eq \(AC1,\s\up7(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)a，\f(a,2)，\r(2)a))，eq \(AM,\s\up7(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(a,2)，\r(2)a))，
∴eq \(AC1,\s\up7(→))·eq \(AM,\s\up7(→))＝0＋eq \f(a2,4)＋2a2＝eq \f(9a2,4)．
∵|eq \(AC1,\s\up7(→))|＝eq \r(\f(3,4)a2＋\f(a2,4)＋2a2)＝eq \r(3)a，
|eq \(AM,\s\up7(→))|＝eq \r(\f(a2,4)＋2a2)＝eq \f(3,2)a，
∴cs〈eq \(AC1,\s\up7(→))，eq \(AM,\s\up7(→))〉＝eq \f(\f(9a2,4),\r(3)a·\f(3,2)a)＝eq \f(\r(3),2)，∴〈eq \(AC1,\s\up7(→))，eq \(AM,\s\up7(→))〉＝30°，
即AC1与侧面ABB1A1所成的角为30°．
法二：eq \(AB,\s\up7(→))＝(0，a,0)，eq \(AA1,\s\up7(→))＝(0,0，eq \r(2)a)，eq \(AC1,\s\up7(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)a，\f(a,2)，\r(2)a))，
设侧面ABB1A1的法向量n＝(λ，x，y)，
∴n·eq \(AB,\s\up7(→))＝0，且n·eq \(AA1,\s\up7(→))＝0，
∴ax＝0且eq \r(2)ay＝0，
∴x＝y＝0，故n＝(λ，0,0)．
∵eq \(AC1,\s\up7(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)a，\f(a,2)，\r(2)a))，
∴cs〈eq \(AC1,\s\up7(→))，n〉＝eq \f(n·\(AC1,\s\up7(→)),|n|·|\(AC1,\s\up7(→))|)＝－eq \f(λ,2|λ|)，
∴|cs〈eq \(AC1,\s\up7(→))，n〉|＝eq \f(1,2)，∴AC1与侧面ABB1A1所成的角为30°．
用向量法求空间角的注意点
(1)异面直线所成角：两异面直线所成角范围为0°