高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.3 导数在研究函数中的应用当堂达标检测题

专题23 导数在研究函数中的应用（1）

一、单选题

1．（2020·江西省奉新县第一中学高二月考（理））函数的定义域为，导函数在内的图象如图所示．则函数在内有几个极小值点（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】A

【解析】

因为极小值点两侧函数的单调性是先减后增，对应导函数值是先负后正，

由图得：导函数值先负后正的点只有一个，

故函数在内极小值点的个数是1.

故选：A

2．（2020·江西省奉新县第一中学高二月考（理））将和的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是(    )

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】

根据，则单调递增；，单调递减，

容易判断正确；

对选项：取与轴的两个交点的横坐标为

数形结合可知当时，，

故此时函数应该在此区间单调递减，

但从图象上看不是单调递减函数，故该选项错误.

故选：D.

3．（2020·蚌埠田家炳中学高二开学考试（理））如图是函数的导函数的图象，下列关于函数的极值和单调性的说法中，正确的个数是（    ）

①，，都是函数的极值点；

②，都是函数的极值点；

③函数在区间，上是单调的；

④函数在区间上，上是单调的．

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【解析】

由图象得：在递增，在，递减，在，递增，

故，都是函数的极值点，

故②③④正确，

故选：C．

4．（2020·鸡泽县第一中学高二开学考试）如图是函数的导数的图象，则下面判断正确的是（    ）

A．在内是增函数

B．在时取得极大值

C．在内是增函数

D．在时取得极小值

【答案】C

【解析】

对A，由导函数的图象可知，在区间内函数先减后增，在不单调，故A错误；

对B，当时，，此时不是极大值，故B错误；

对C，在内，此时函数单调递增，故C正确．

对D，当时，，但此时不是极小值，而是极大值，故D错误；

故选：C．

5．（2020·黄冈中学第五师分校高二期中（理））已知函数在处取得极大值，则c的值为（    ）

A．2 B．6 C．4 D．

【答案】B

【解析】

由题意得：，

由，解得：或.

当时，，

当时，，单调递增；当时，，单调递减；

在处取得极大值，符合题意；

当时，，

当时，，单调递减；当时，，单调递增；

在处取得极小值，不合题意；

综上所述：.

故选：.

6．（2020·蚌埠田家炳中学高二开学考试（理））已知函数在处有极值10，则等于(   )

A．1 B．2 C．—2 D．—1

【答案】B

【解析】

，

，

函数 在处有极值为10，

，解得．

经检验知，符合题意．

，

．选B．

点睛：

由于导函数的零点是函数极值点的必要不充分条件，故在求出导函数的零点后还要判断在该零点两侧导函数的值的符号是否发生变化，然后才能作出判断．同样在已知函数的极值点求参数的值时，根据求得参数的值后应要进行检验，判断所求参数是否符合题意，最终作出取舍．

7．（2020·江西省石城中学高二月考（文））已知函数，，若，，则的大小为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

，所以是上的增函数.

，

所以，故本题选C.

8.（2020·蚌埠田家炳中学高二开学考试（理））若函数在上是单调函数，则a的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】

由题意得，f′（x），

因为在[1，+∞）上是单调函数，

所以f′（x）≥0或f′（x）≤0在[1，+∞）上恒成立，

①当f′（x）≥0时，则在[1，+∞）上恒成立，

即a，设g（x），

因为x∈[1，+∞），所以∈（0，1]，

当1时，g（x）取到最大值是：0，

所以a≥0，

②当f′（x）≤0时，则在[1，+∞）上恒成立，

即a，设g（x），

因为x∈[1，+∞），所以∈（0，1]，

当时，g（x）取到最大值是：，

所以a，

综上可得，a或a≥0，

所以数a的取值范围是（﹣∞，]∪[0，+∞），

故选：B．

二、多选题

9．（2020·江苏省扬州中学高二期中）定义在上的可导函数的导函数的图象如图所示，以下结论正确的是（    ）

A．-3是的一个极小值点；

B．-2和-1都是的极大值点；

C．的单调递增区间是；

D．的单调递减区间是．

【答案】ACD

【解析】

当时，，时，

∴是极小值点，无极大值点，增区间是，减区间是．

故选：ACD.

10．（2020·山东省高二期中）已知函数的导函数的图象如图所示，那么下列图象中不可能是函数的图象的是（    ）

A．　　B．　　C．　　D．

【答案】BCD

【解析】

由导函数图像可得：

当时，，即函数在上单调递增；

当时，，即函数在上单调递减；

当时，，即函数在上单调递增；

故BCD错误，A正确.

故选：BCD.

11．（2020·海南省高三其他）已知函数的定义域为，则（    ）

A．为奇函数

B．在上单调递增

C．恰有4个极大值点

D．有且仅有4个极值点

【答案】BD

【解析】

因为的定义域为，所以是非奇非偶函数，

，

当时，，则在上单调递增.

显然，令，得，

分别作出，在区间上的图象，

由图可知，这两个函数的图象在区间上共有4个公共点，且两图象在这些公共点上都不相切，故在区间上的极值点的个数为4，且只有2个极大值点.

故选：BD.

12．（2020·江苏省高二期中）若函数在定义域上单调递增，则称函数具有性质.下列函数中所有具有性质的函数为（    ）.

A． B． C． D．

【答案】AD

【解析】

对于A，定义域为，则恒成立，故满足条件；

对于B，定义域为，则，又，，即当时，函数在上单调递减，当时，函数在上单调递增，故不满足条件；

对于C，定义域为，，又，即在定义域上单调递减，且，故不满足函数在定义域上单调递增，故错误；

对于D，定义域为，，令，，

则时，；当时，即在上单调递减，在上单调递增，在处取得极小值即最小值，所以恒成立，即在定义域上单调递增，故D正确；

故选：AD

三、填空题

13．（2020·江苏省邗江中学高一期中）函数的极小值为_______________．

【答案】

【解析】

，故，

取得到，故函数在上单调递减；

取得到或，故函数在和上单调递增.

故极小值为.

故答案为：.

14．（2020·蚌埠田家炳中学高二开学考试（理））已知函数的图象如图所示，则不等式的解集为______．

【答案】．

【解析】

由图象特征可得，

导数，在上，在上，

所以等价于或，解得或，

即不等式的解集为．

15．（2020·周口市中英文学校高二月考（理））如图是的导函数的图象，现有四种说法．

（1）在上是增函数，（2）是的极小值点

（3） 在上是增函数，（4）是的极小值点

以上说法正确的序号是_________

【答案】（2），（3）

【解析】

由函数的图象可知：，，

在上不是增函数，不正确；

时，函数在递减，

在递增，是的极小值点；所以正确；

在上，函数是增函数，所以正确；

函数在递增，在递减，是的极大值点，所以D不正确．

故答案为：

16．（2020·山东省高二期中）若函数在区间单调递增，则的取值范围是______；若函数在区间内不单调，则的取值范围是______.

【答案】       

【解析】

若在区间单调递增，所以在上恒成立，

即在上恒成立，又时，，所以；

若函数在区间内不单调，则方程在区间有解，

因为时，，因此只需.

故答案为：；.

四、解答题

17．（2020·横峰中学高二开学考试（文））已知函数．

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）求函数的极值．

【答案】（1）；（2）极小值为，无极大值．

【解析】

（1），则，切点坐标为．

由题意知，，

，由直线的点斜式方程有：

即．

（2）由（1）知，，

令，得；令，得．

则在上单调递减，在上单调递增，

所以的极小值为，无极大值．

18．（2020·黄冈中学第五师分校高二期中（理））已知函数.

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）求的单调区间；

【答案】（1）（2）详见解析

【解析】

（1），，，

，又，

在处的切线方程为.

（2），

令，解得：，.

①当时，若和时，；若时，；

的单调递增区间为，；单调递减区间为；

②当时，在上恒成立，

的单调递增区间为，无单调递减区间；

③当时，若和时，；若时，；

的单调递增区间为，；单调递减区间为；

综上所述：当时，的单调递增区间为，；单调递减区间为；

当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；

当时，的单调递增区间为，；单调递减区间为.

19．（2020·阳江市第三中学高二期中）已知函数在处有极值．

（1）求a,b的值；

（2）求的单调区间．

【答案】(1),．(2) 单调减区间是,单调增区间是．

【解析】

（1）又在处有极值,

即解得,．

（2）由（1）可知,其定义域是,

．

由,得；由,得．

函数的单调减区间是,单调增区间是．

20．（2020·山东省高二期中）已知函数在与时都取得极值.

（1）求，的值；

（2）求函数的单调区间，并指出与是极大值还是极小值.

【答案】（1），.（2）函数的单调递增区间是和，单调递减区间是，是极大值，是极小值

【解析】

（1）由，所以.

由题意可知，，

整理列方程组

解得，.

（2）由（1）知

当变化时，､的变化情况如下表：

所以函数的单调递增区间是和，单调递减区间是

当时，有极大值；

当时，有极小值.

21．（2020·江苏省扬州中学高二期中）已知函数f（x）＝ax3+bx2﹣3x在x＝﹣1和x＝3处取得极值.

（1）求a，b的值

（2）求f（x）在[﹣4，4]内的最值.

【答案】（1）a，b＝﹣1（2）f（x）min＝，f（x）max＝

【解析】

（1）＝3ax2+2bx﹣3，

由题意可得＝3ax2+2bx﹣3＝0的两个根为﹣1和3，

则，

解可得a，b＝-1，

（2）由（1），

易得f（x）在，单调递增，在上单调递减，

又f（﹣4），f（﹣1），f（3）＝﹣9，f（4），

所以f（x）min＝f（﹣4），f（x）max＝f（﹣1）.

22．（2020·安徽省池州一中高二期中（文））已知函数

（1）求函数的极值

（2）求函数在区间上的最值．

【答案】（1）极小值为；无极大值（2）最小值为，最大值为．

【解析】

（1）由题意得：定义域为，，

当时，；当时，，

在上单调递减，在上单调递增，

的极小值为，无极大值；

（2）由（1）知：在上单调递减，在上单调递增，

，，

又，，，.