北师大版八年级上册1 探索勾股定理图文ppt课件

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勾股定理勾股定理与图形的面积
相传2500年前，一次毕达哥拉斯去朋友家作客，发现朋友家用砖铺成的地面反映直角三角形三边的某种数量关系，同学们，我们也来观察下面的图案，看看你能发现什么？
A、B、C的面积有什么关系？直角三角形三边有什么关系？
让我们一起探索这个古老的定理吧！
我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦. 图1称为“弦图”，最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作法时给出的. 　　
(1)观察图2-1 正方形A中含有 个 小方格，即A的面积 是 个单位面积.
正方形B的面积是 个单位面积.
正方形C的面积是 个单位面积.
分“割”成若干个直角边为整数的三角形.
(2)在图2-2中，正方形A，B， C中各含有多少个小方格？ 它们的面积各是多少？
(3)你能发现图2-1中三个正方 形A，B，C的面积之间有 什么关系吗？
即：两条直角边上的正方形面积之和等于 斜边上的正方形的面积.
观察所得到的各组数据，你有什么发现？
猜想:两直角边a、b与斜边c 之间的关系？
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
定理： 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边 和斜边，那么a2＋b2＝c2.数学表达式： 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c， AC＝b，BC＝a，则a2＋b2＝c2.
在Rt△ABC中， ∠A，∠B，∠C 的对边分 别为a，b，c， ∠ C=90°． （1）已知a=3，b=4, 求c； （2）已知c=13，a=5，求b； （3）已知a ∶ b=3 ∶ 4，c=10，求b. 导引： 紧扣勾股定理及其变形公式解答.
解：（1）因为∠C=90°，a=3，b=4， 所以由勾股定理，得c2=a2+b2=32+42=25，所以c=5. （2）因为∠C=90°，c=13，a=5， 所以由勾股定理，得b2=c2-a2=132-52=144，所以b=12. （3）因为a ∶ b=3 ∶ 4， 所以b= a. 因为∠C=90°，c=10，b= a，所以由勾股定理，得 a2+（ a）2= 102，解得a=6（负值舍去）. 所以b=8.
分清待求的是斜边还是直角边，以便合理选择直接用勾股定理， 还是用变形公式. 若求斜边，则直接用勾股定理；若求直角边，则用变形公式.
观察如图所示的图形，回答问题： （1）如图①，△ DEF 为直角三角形，正方形P 的面积 为9，正方形Q 的面积为15，则正方形M 的面积为____ ； （2）如图②，分别以直角三角形ABC 的三边为直径向三角形外作三个半圆，则这三个半圆形的面积之间的关系式是_________ （用图中字母表示）；
（3）如图③，如果直角三角形两直角边的长分别为3 和 4，分别以直角三角形的三边为直径作 半圆，请你利用 （2）中得出的结论求阴 影部分的面积． 导引：紧扣勾股定理所揭示的图形面积之间的关系解答.
解：（1）24 （2）S1+S2=S3 （3）设两个小半圆形的面积分别为S1，S2，大半圆 形的面积为S3， 三角形的面积为S△，则S阴影=S1+S2+S△ -S3=S△ = ×3×4=6.
与直角三角形三边相连的正方形、半圆及正多边形、圆都具有相同的结论：两直角边上图形面积的和等于斜边上图形的面积．