人教版九年级下册第二十八章 锐角三角函数综合与测试课后复习题

这是一份人教版九年级下册第二十八章 锐角三角函数综合与测试课后复习题，共5页。试卷主要包含了测量计算是日常生活中常见的问题等内容，欢迎下载使用。
方法归纳：


1．解直角三角形的实际应用题时，要灵活运用转化思想，通常是根据以下方法和步骤解决：(1)有图的要将题干中的已知量在图中表示出来，找到与已知量和未知量相关联的三角形，画出平面几何图形，弄清楚已知条件中各量之间的关系；(2)若三角形是直角三角形，根据边角关系进行计算．若三角形不是直角三角形，可通过添加辅助线构造直角三角形来解决，其中作某边上的高是常用的辅助线．


2．解直角三角形的实际应用题常见图形类型及辅助线作法如图所示：





类型1 构造单一直角三角形解决实际问题


1．平放在地面上的直角三角形铁板ABC的一部分被沙堆掩埋，其示意图如图所示．量得∠A为54°，∠B为36°，斜边AB的长为2.1 m，BC边上露出部分的长为0.9 m．求铁板BC边被掩埋部分CD的长．(结果精确到0.1 m，参考数据：sin54°≈0.81，cs54°≈0.59，tan54°≈1.38)





解：由题意，得∠C＝180°－∠B－∠A＝180°－36°－54°＝90°.


在Rt△ABC中，sinA＝eq \f(BC,AB)，


则BC＝AB·sinA＝2.1sin54°≈2.1×0.81＝1.701，


则CD＝BC－BD＝1.701－0.9＝0.801≈0.8(m)．


答：CD的长约为0.8 m.





2．(湘潭中考)为了增强学生体质，学校鼓励学生多参加体育锻炼，小胖同学马上行动，每天围绕小区进行晨跑锻炼．该小区外围道路近似为如图所示四边形ABCD.已知四边形ABED是正方形，∠DCE＝45°，AB＝100米．小胖同学某天绕该道路晨跑5圈，时间约为20分钟，求小胖同学该天晨跑的平均速度约为多少米/分？(结果保留整数，AB＝eq \r(2)≈1.41)





解：由题意可知：DE⊥BC于E，四边形ABED是正方形，


∴AD＝DE＝BE＝AB＝100米．


∵在Rt△DEC中，∠C＝45°，


∴EC＝DE＝100米，DC＝eq \r(2)DE≈1.41×100＝141(米)．


∴四边形ABCD的周长为100＋100＋200＋141＝541(米)．


∴小胖的速度为(5×541)÷20≈135(米/分)．


答：小胖同学该天晨跑的平均速度约为135米/分．








类型2 背靠背三角形


3．(邵阳中考)如图为放置在水平桌面上的台灯的平面示意图，灯臂AO长为40 cm，与水平面所形成的夹角∠OAM为75°.由光源O射出的边缘光线OC，OB与水平面所形成的夹角∠OCA，∠OBA分别为90°和30°，求该台灯照亮水平面的宽度BC(不考虑其他因素，结果精确到0.1 cm.温馨提示：sin75°≈0.97，cs75°≈0.26，eq \r(3)≈1.73)．





解：在Rt△ACO中，sin75°＝eq \f(OC,OA)＝eq \f(OC,40)≈0.97，


解得OC≈38.8.


在Rt△BCO中，tan30°＝eq \f(OC,BC)＝eq \f(38.8,BC)≈eq \f(1.73,3)，


解得BC≈67.3.


答：该台灯照亮水平面的宽度BC大约是67.3 cm.





4．如图，某天上午9时，向阳号轮船位于A处，观测到某港口城市P位于轮船的北偏西67.5°方向，轮船以21海里/时的速度向正北方向行驶，下午2时该船到达B处，这时观测到城市P位于该船的南偏西36.9°方向，求此时轮船所处位置B与城市P的距离．(参考数据：sin36.9°≈eq \f(3,5)，tan36.9°≈eq \f(3,4)，sin67.5°≈eq \f(12,13)，tan67.5°≈eq \f(12,5))





解：设BC＝x海里，由题意，易得


AB＝21×(14－9)＝105(海里)，


则AC＝(105－x)海里．


在Rt△BCP中，tan36.9°＝eq \f(PC,BC)，


∴PC＝BC·tan36.9°＝eq \f(3,4)x.


在Rt△ACP中，tan67.5°＝eq \f(PC,AC)，


∴PC＝AC·tan67.5°＝eq \f(12,5)(105－x)．


∴eq \f(3,4)x＝eq \f(12,5)(105－x)．解得x＝80.


∴PC＝eq \f(3,4)x＝60海里．


∴PB＝eq \r(PC2＋BC2)＝100海里．


答：此时轮船所处位置B与城市P的距离约为100海里．


类型3 母子三角形


5．(张家界中考)如图，我渔政310船在南海海面上沿正东方向匀速航行，在A点观测到我渔船C在北偏东60°方向的我国某传统渔场捕鱼作业．若渔政310船航向不变，航行半小时后到达B点，观测我渔船C在东北方向上．问：渔政310船再按原航向航行多长时间，离渔船C的距离最近？(渔船C捕鱼时移动距离忽略不计，结果不取近似值)





解：作CD⊥AB，交AB的延长线于D，则当渔政310船航行到D处时，离渔船C的距离最近．设CD＝x，


在Rt△ACD中，∵∠ACD＝60°，tan∠ACD＝eq \f(AD,CD)，∴AD＝eq \r(3)x.


在Rt△BCD中，∵∠CBD＝∠BCD＝45°，


∴BD＝CD＝x.


∴AB＝AD－BD＝eq \r(3)x－x＝(eq \r(3)－1)x.


设渔政船从B航行到D需要t小时，则eq \f(AB,0.5)＝eq \f(BD,t)，


∴eq \f(（\r(3)－1）x,0.5)＝eq \f(x,t).


∴t＝eq \f(0.5,\r(3)－1)＝eq \f(\r(3)＋1,4).


答：渔政310船再航行eq \f(\r(3)＋1,4)小时，离渔船C的距离最近．





6．(湘西中考)测量计算是日常生活中常见的问题．如图，建筑物BC的屋顶有一根旗杆AB，从地面上D点处观测旗杆顶点A的仰角为50°，观测旗杆底部B点的仰角为45°.(可用参考数据：sin50°≈0.8，tan50°≈1.2)





(1)若已知CD＝20米，求建筑物BC的高度；


(2)若已知旗杆的高度AB＝5米，求建筑物BC的高度．


解：(1)由题意，得∠ACD＝90°，∠BDC＝45°，


∴BC＝CD＝20.


答：建筑物BC的高度约为20米．


(2)设CD＝x米，同(1)得BC＝CD＝x米，AC≈1.2x米，


∵AB＝5米，


∴x＋5＝1.2x，解得x＝25.


∴BC＝25米．


答：建筑物BC的高度约为25米．





7．(常德中考)如图，A，B，C表示修建在一座山上的三个缆车站的位置，AB，BC表示连接缆车站的钢缆．已知A，B，C所处位置的海拔AA1，BB1，CC1分别为160米，400米，1 000米，钢缆AB，BC分别与水平线AA2，BB2所成的夹角为30°，45°，求钢缆AB和BC的总长度．(结果精确到1米)





解：在Rt△ABD中，BD＝400－160＝240(米)，∠BAD＝30°，


则AB＝eq \f(BD,sin30°)＝480(米)．


在Rt△BCB2中，CB2＝1 000－400＝600(米)，∠CBB2＝45°.


则CB＝eq \f(CB2,sin45°)＝600eq \r(2)(米)．


∴AB＋BC＝480＋600eq \r(2)≈1 329(米)．


答：钢缆AB和BC的总长度约为1 329米．