第28章 锐角三角函数 九年级数学下册达标测试卷(含答案)

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第二十八章达标测试卷时间：100分钟　满分：120分一、选择题(每题3分，共30分)1．cos 45°的值为(　　)A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(2),2) C.eq \f(\r(3),2) D．12．如图，CD是Rt△ABC斜边上的高．若AB＝5，AC＝3，则tan ∠BCD为(　　)A.eq \f(4,3) B.eq \f(3,4) C.eq \f(4,5) D.eq \f(3,5) (第2题) (第4题)　 (第5题) 　 (第6题)3．在△ABC中，若eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos A－\f(1,2)))＋(1－tan B)2＝0，则∠C的度数是(　　)A．45° B．60° C．75° D．105°4．如图，A，B，C三点在正方形网格线的交点处，若将△ACB绕着点A逆时针旋转得到△AC′B′，则tan B′的值为(　　)A.eq \f(1,2) B.eq \f(1,3) C.eq \f(1,4) D.eq \f(\r(2),4)5．课外活动小组测量学校旗杆的高度．如图，当太阳光线与地面成30°角时，测得旗杆AB在地面上的影长BC为24 m，那么旗杆AB的高度是(　　)A．12 m B．8eq \r(3) m C．24 m D．24eq \r(3) m6．如图，一河坝的横断面为等腰梯形ABCD，坝顶宽10 m，坝高12 m，斜坡AB的坡度i＝1∶1.5，则坝底AD的长度为(　　)A．26 m B．28 m C．30 m D．46 m7．如图，长4 m的楼梯AB的倾斜角∠ABD为60°，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD为45°，则调整后的楼梯AC的长为(　　)A．2eq \r(3) m B．2eq \r(6) m C．(2eq \r(3)－2)m D．(2eq \r(6)－2)m (第7题)　　 (第8题)8．如图，过点C(－2，5)的直线AB分别交坐标轴于A(0，2)，B两点，则tan ∠OAB等于(　　)A.eq \f(2,5) B.eq \f(2,3) C.eq \f(5,2) D.eq \f(3,2)9．如图，菱形ABCD的周长为20 cm，DE⊥AB，垂足为E，sin A＝eq \f(3,5)，则下列结论中正确的有(　　)①DE＝3 cm；②BE＝1 cm；③菱形的面积为15 cm2；④BD＝2eq \r(10) cm.A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 (第9题)　　　 　 (第10题) (第12题)10．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC＝30°，以点A为圆心，BC长为半径画弧交AB于点D，分别以点A，D为圆心，AB的长为半径画弧，两弧交于点E，连接AE，DE，则∠EAD的余弦值是(　　)A.eq \f(\r(3),12) B.eq \f(\r(3),6) C.eq \f(\r(3),3) D.eq \f(\r(3),2)二、填空题(每题3分，共24分)11．已知α为锐角，sin(α－20°)＝eq \f(\r(3),2)，则α＝________.12．如图，若点A的坐标为(1，eq \r(3))，则∠1＝________.13．已知锐角A的正弦sin A是一元二次方程2x2－7x＋3＝0的根，则sin A＝________． (第14题) (第15题)　 (第16题)　 (第18题)14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AM是BC边上的中线，若sin∠CAM＝eq \f(3,5)，则tan B＝________．15．如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为30°，测得底部C的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为90 m，那么该建筑物的高度BC约为________m(精确到1 m，参考数据：eq \r(3)≈1.73)．16．如图，在半径为3的⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，连接AC，BD，若AC＝2，则tan D＝________．17．△ABC中，若AB＝6，BC＝8，∠B＝120°，则△ABC的面积为________．18．在综合实践课上，小聪所在小组要测量一条河的宽度，如图，河岸EF∥MN，小聪在河岸MN上点A处用测角仪测得河对岸小树C位于东北方向，然后沿河岸走了30 m，到达B处，测得河对岸电线杆D位于北偏东30°方向，此时，其他同学测得CD＝10 m．请根据这些数据求出河的宽度为______________m.三、解答题(19，21，24题每题12分，其余每题10分，共66分)19．计算：(1)(－2)3＋eq \r(16)－2sin 30°＋(2 019－π)0；　　(2)sin2 45°－cos 60°－eq \f(cos 30°,tan 45°)＋2sin2 60°·tan 60°.20．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.已知2a＝3b，求∠B的正弦、余弦和正切值．21．如图，已知四边形ABCD中，∠ABC＝90°，∠ADC＝90°，AB＝6，CD＝4，BC的延长线与AD的延长线交于点E.(1)若∠A＝60°，求BC的长；(2)若sin A＝eq \f(4,5)，求AD的长．(第21题)22．数学拓展课程《玩转学具》课堂中，小陆同学发现，一副三角尺中，含45°角的三角尺的斜边与含30°角的三角尺的长直角边相等，于是，小陆同学提出一个问题：如图，将一副三角尺直角顶点重合拼放在一起，点B，C，E在同一直线上，若BC＝2，求AF的长．请你运用所学的数学知识解决这个问题．(第22题)23．如图，天星山山脚下西端A处与东端B处相距800(1＋eq \r(3))m，小军和小明同时分别从A处和B处向山顶C匀速行走．已知山的西端的坡角是45°，东端的坡角是30°，小军的行走速度为eq \f(\r(2),2) m/s.若小明与小军同时到达山顶C处，则小明的行走速度是多少？(第23题)24．如图，小明想要测量学校食堂和食堂正前方一棵树的高度，他从食堂楼底M处出发，向前走3 m到达A处，测得树顶端E的仰角为30°，他又继续走下台阶到达C处，测得树的顶端E的仰角是60°，再继续向前走到大树底D处，测得食堂楼顶N的仰角为45°.已知A点离地面的高度AB＝2 m，∠BCA＝30°，且B，C，D三点在同一直线上．求：(1)树DE的高度；(2)食堂MN的高度．(第24题)答案一、1. B　2. A　3. C　4. B　5. B　6. D7．B　8. B 　9. C10．B　点拨：如图，设BC＝x.在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC＝30°，∴AC＝2BC＝2x，AB＝eq \r(3)BC＝eq \r(3)x.根据题意，得AD＝BC＝x，AE＝DE＝AB＝eq \r(3)x，过点E作EM⊥AD于点M，则AM＝eq \f(1,2)AD＝eq \f(1,2)x.在Rt△AEM中，cos ∠EAD＝eq \f(AM,AE)＝eq \f(\f(1,2)x,\r(3)x)＝eq \f(\r(3),6).　(第10题)二、11. 80°　12. 60°　13. eq \f(1,2)　14. eq \f(2,3)　15. 20816．2eq \r(2)　点拨：如图，连接BC，易知∠D＝∠A.∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∵AB＝3×2＝6，AC＝2，∴BC2＝62－22＝32, ∴BC＝4eq \r(2).∴tan D＝tan A＝eq \f(BC,AC)＝eq \f(4\r(2),2)＝2eq \r(2). 　 (第16题)17．12eq \r(3)　点拨：如图，过A点作AD⊥CB，交CB的延长线于点D，则∠ABD＝180°－120°＝60°.在Rt△ABD中，AD＝AB·sin ∠ABD＝6×eq \f(\r(3),2)＝3eq \r(3)，∴S△ABC＝eq \f(1,2)AD·BC＝eq \f(1,2)×3eq \r(3)×8＝12eq \r(3).(第17题)18．(30＋10eq \r(3))三、19.解：(1)原式＝－8＋4－2×eq \f(1,2)＋1＝－8＋4－1＋1＝－4；(2)原式＝(eq \f(\r(2),2))2－eq \f(1,2)－eq \f(\r(3),2)＋2×(eq \f(\r(3),2))2×eq \r(3)＝eq \r(3).20．解：由2a＝3b，可得eq \f(a,b)＝eq \f(3,2).设a＝3k(k＞0)，则b＝2k，由勾股定理，得c＝eq \r(a2＋b2)＝eq \r(9k2＋4k2)＝eq \r(13)k，∴sin B＝eq \f(b,c)＝eq \f(2k,\r(13)k)＝eq \f(2\r(13),13)，cos B＝eq \f(a,c)＝eq \f(3k,\r(13)k)＝eq \f(3\r(13),13)，tan B＝eq \f(b,a)＝eq \f(2k,3k)＝eq \f(2,3).21．解：(1)在Rt△ABE中，∵∠A＝60°，∠ABE＝90°，AB＝6，tan A＝eq \f(BE,AB)，∴∠E＝30°，BE＝AB·tan A＝6×tan 60°＝6eq \r(3).在Rt△CDE中，∵∠CDE＝90°，CD＝4，sin E＝eq \f(CD,CE)，∠E＝30°，∴CE＝eq \f(CD,sin E)＝eq \f(4,\f(1,2))＝8.∴BC＝BE－CE＝6eq \r(3)－8.(2)∵∠ABE＝90°，AB＝6，sin A＝eq \f(4,5)＝eq \f(BE,AE)，∴可设BE＝4x(x＞0)，则AE＝5x，由勾股定理可得AB＝3x，∴3x＝6，解得x＝2.∴BE＝8，AE＝10.∴tan E＝eq \f(AB,BE)＝eq \f(6,8)＝eq \f(CD,DE)＝eq \f(4,DE)，解得DE＝eq \f(16,3).∴AD＝AE－DE＝10－eq \f(16,3)＝eq \f(14,3).22．解：在Rt△ABC中，BC＝2，∠A＝30°，∴AC＝eq \f(BC,tan A)＝2eq \r(3).∴EF＝AC＝2eq \r(3).∵∠E＝45°，∴FC＝EF·sin E＝eq \r(6).∴AF＝AC－FC＝2eq \r(3)－eq \r(6). 23.解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，设AD＝x，小明的行走速度是a.(第23题)∵∠A＝45°，CD⊥AB，∴CD＝AD＝x，∴AC＝eq \r(2)x.在Rt△BCD中，∵∠B＝30°，∴BC＝eq \f(CD,sin 30°)＝eq \f(x,\f(1,2))＝2x.∵小军的行走速度为eq \f(\r(2),2) m/s，小明与小军同时到达山顶C处，∴eq \f(\r(2)x,\f(\r(2),2))＝eq \f(2x,a)，解得a＝1(m/s)．答：小明的行走速度是1 m/s.24．解：(1)设DE＝x.∵AB＝DF＝2，∴EF＝DE－DF＝x－2.∵∠EAF＝30°，∴AF＝eq \f(EF,tan ∠EAF)＝eq \f(x－2,\f(\r(3),3))＝eq \r(3)(x－2)．又∵CD＝eq \f(DE,tan ∠DCE)＝eq \f(x,\r(3))＝eq \f(\r(3),3)x，BC＝eq \f(AB,tan ∠ACB)＝eq \f(2,\f(\r(3),3))＝2eq \r(3)，∴BD＝BC＋CD＝2eq \r(3)＋eq \f(\r(3),3)x.由AF＝BD可得eq \r(3)(x－2)＝2eq \r(3)＋eq \f(\r(3),3)x，解得x＝6(m)．答：树DE的高度为6 m.(2)如图，延长NM交DB的延长线于点P，则AM＝BP＝3.(第24题)由(1)知CD＝eq \f(\r(3),3)x＝eq \f(\r(3),3)×6＝2eq \r(3)，BC＝2eq \r(3)，∴PD＝BP＋BC＋CD＝3＋2eq \r(3)＋2eq \r(3)＝3＋4eq \r(3).∵∠NDP＝45°，∴NP＝PD＝3＋4eq \r(3).∵MP＝AB＝2，∴NM＝NP－MP＝3＋4eq \r(3)－2＝1＋4eq \r(3)(m)．答：食堂MN的高度为(1＋4eq \r(3))m.