第28章 锐角三角函数 人教版数学九年级下册中考演练(含答案)

这是一份第28章 锐角三角函数 人教版数学九年级下册中考演练(含答案)，共8页。
本章中考演练一、选择题1．[2015·温州] 如图28－Y－1，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则cosA的值是(　　)图28－Y－1A.eq \f(3,4) B.eq \f(4,3) C.eq \f(3,5) D.eq \f(4,5)[答案] D2．[2014·天津] cos60°的值等于(　　)A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(2),2)C.eq \f(\r(3),2) D.eq \f(\r(3),3)[答案] A3．[2015·乐山] 如图28－Y－2，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则cosA的值为(　　) 图28－Y－2 　　图28－Y－3A.eq \f(\r(3),3) B.eq \f(\r(5),5) C.eq \f(2 \r(3),3) D.eq \f(2 \r(5),5)[解析] D　如图，过点B作BD⊥AC(点D正好在格点外)，如图，由勾股定理，得AB＝eq \r(12＋32)＝eq \r(10)，AD＝eq \r(22＋22)＝2eq \r(2)，所以cosA＝eq \f(AD,AB)＝eq \f(2\r(2),\r(10))＝eq \f(2\r(5),5).4．[2015·丽水] 如图28－Y－4，点A为∠α边上的任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列用线段比表示cosα的值，错误的是(　　)A.eq \f(BD,BC) B.eq \f(BC,AB) C.eq \f(AD,AC) D.eq \f(CD,AC)[答案] C 图28－Y－4 　　　图28－Y－55．[2015·荆门] 如图28－Y－5，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为边AC的中点，DE⊥BC于点E，连接BD，则tan∠DBC的值为(　　)A.eq \f(1,3) B.eq \r(2)－1 C．2－eq \r(3) D.eq \f(1,4)[解析] A　∵在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝45°，BC＝eq \r(2)AC.又∵D为边AC的中点，∴AD＝DC＝eq \f(1,2)AC.∵DE⊥BC于点E，∴∠CDE＝∠C＝45°，∴DE＝EC＝eq \f(\r(2),2)DC＝eq \f(\r(2),4)AC，∴tan∠DBC＝eq \f(DE,BE)＝eq \f(\f(\r(2),4)AC,\r(2)AC－\f(\r(2),4)AC)＝eq \f(1,3).6．[2013·衢州] 如图28－Y－6所示，小敏同学想测量一棵大树的高度．她站在B处仰望树顶，测得仰角为30°，再往大树的方向前进4 m，测得仰角为60°，已知小敏同学身高(AB)为1.6 m，则这棵树的高度约为(结果精确到0.1 m，eq \r(3)≈1.73)(　　)图28－Y－6A．3.5 m B．3.6 mC．4.3 m D．5.1 m[答案] D7．[2014·临沂] 如图28－Y－7，在某监测点B处望见一艘正在作业的渔船在南偏西15°方向的A处，若渔船沿北偏西75°方向以40海里/时的速度航行，航行半小时后到达C处，在C处观测到B在C的北偏东60°方向上，则B，C之间的距离为(　　) 图28－Y－7 　　图28－Y－8A．20海里 B．10　eq \r(3)海里C．20　eq \r(2)海里 D．30海里[解析] C　如图，∵∠ABE＝15°，∠DAB＝∠ABE，∴∠DAB＝15°，∴∠CAB＝∠CAD＋∠DAB＝90°.又∵∠FCB＝60°，∠CBE＝∠FCB，∠CBA＋∠ABE＝∠CBE，∴∠CBA＝45°.在Rt△ABC中，sin∠ABC＝eq \f(AC,BC)＝eq \f(40×\f(1,2),BC)＝eq \f(\r(2),2)，∴BC＝20　eq \r(2)海里．二、填空题8．[2014·白银] 在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，若sinA＝eq \f(\r(3),2)，cosB＝eq \f(1,2)，则∠C＝________．[答案] 60°[解析] ∵在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，sinA＝eq \f(\r(3),2)，cosB＝eq \f(1,2)，∴∠A＝∠B＝60°，∴∠C＝180°－∠A－∠B＝180°－60°－60°＝60°.9．[2014·黔西南] 如图28－Y－9，AB是⊙O的直径，AB＝15，AC＝9，则tan∠ADC＝__________．图28－Y－9[答案] eq \f(3,4)10．[2014·宁波] 为解决停车难的问题，在如图28－Y－10所示的一段长56米的路段开辟停车位，每个车位是长5米、宽2.2米的矩形，矩形的边与路的边缘成45°角，那么这个路段最多可以划出__________个这样的停车位(eq \r(2)≈1.4)．图28－Y－10　[答案] 17[解析] 如图，BC＝2.2×sin45°＝2.2×eq \f(\r(2),2)≈1.54(米)，图28－Y－11CE＝5×sin45°＝5×eq \f(\r(2),2)≈3.5(米)，BE＝BC＋CE≈5.04米，EF＝2.2÷sin45°＝2.2÷eq \f(\r(2),2)≈3.14(米)，(56－5.04)÷3.14＋1＝50.96÷3.14＋1≈16＋1＝17(个)．故这个路段最多可以划出17个这样的停车位．三、解答题11．[2015·黔南州] 如图28－Y－12是一座人行天桥的示意图，天桥的高度是10米，CB⊥DB，坡面AC的倾斜角为45°.为了方便行人推车过天桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面DC的坡度为i＝1∶eq \r(3)若新坡角下需留3米宽的人行道，问离原坡角(点A处)10米的建筑物是否需要拆除？(参考数据：eq \r(2)≈1.414，eq \r(3)≈1.732)图28－Y－12解：需要拆除，理由：∵CB⊥AB，∠CAB＝45°，∴△ABC为等腰直角三角形，∴AB＝BC＝10米．在Rt△BCD中，新坡面DC的坡度为i＝1∶eq \r(3)，∴∠CDB＝30°，∴DC＝2BC＝20米，BD＝10eq \r(3)米，∴AD＝BD－AB＝10eq \r(3)－10≈7.32(米)．∵3＋7.32＝10.32＞10，∴高原坡角10米的建筑物需要拆除．12．[2013·绥化] 如图28－Y－13，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AB＝8，∠ABD＝30°，∠CAD＝45°，求BC的长．图28－Y－13解：∵AD⊥BC于点D，∴∠ADB＝∠ADC＝90°.在Rt△ABD中，∵AB＝8，∠ABD＝30°，∴AD＝eq \f(1,2)AB＝4，BD＝AB·cos∠ABD＝8×eq \f(\r(3),2)＝4eq \r(3).在Rt△ADC中，∵∠CAD＝45°，∴DC＝AD＝4，∴BC＝BD＋DC＝4eq \r(3)＋4.13．[2014·遂宁] 已知：如图28－Y－14，⊙O的直径AB垂直于弦CD，过点C的切线与直径AB的延长线相交于点P，连接PD.(1)求证：PD是⊙O的切线；(2)求证：PD2＝PB·PA；(3)若PD＝4，tan∠CDB＝eq \f(1,2)，求直径AB的长． 图28－Y－14　 　图28－Y－15解：(1)证明：连接OD，OC.∵PC是⊙O的切线，∴OC⊥PC，∴∠OCP＝90°.∵直径AB⊥CD，∴O，P是CD垂直平分线上的点，∴OD＝OC，PD＝PC.又∵OP＝OP，∴△ODP≌△OCP，∴∠ODP＝∠OCP＝90°.又∵OD是⊙O的半径，∴PD是⊙O的切线．(2)证明：∵∠ODP＝90°，∴∠PDB＋∠ODB＝90°.∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∴∠ADO＋∠ODB＝90°，∴∠PDB＝∠ADO＝∠A.又∵∠DPB＝∠APD，∴△DPB∽△APD，∴PD∶PA＝PB∶PD，∴PD2＝PB·PA.(3)∵∠A＋∠ABD＝90°＝∠CDB＋∠ABD，∴∠A＝∠CDB.又∵tan∠CDB＝eq \f(1,2)，∴tanA＝eq \f(1,2)，∴AD＝2BD.∵△DPB∽△APD，∴PD∶PA＝PB∶PD＝BD∶DA＝1∶ 2.又∵PD＝4，∴PA＝8，PB＝2，∴AB＝6.14．[2014·南充] 马航MH370失联后，我国政府积极参与搜救．某日，我两艘专业救助船A，B同时收到有关可疑漂浮物的讯息，如图28－Y－16可疑漂浮物P在救助船A的北偏东53.50°方向上，在救助船B的西北方向上，船B在船A正东方向140海里处(参考数据：sin36.5°≈0.6，cos36.5°≈0.8，tan36.5°≈0.75)．(1)求可疑漂浮物P到A，B两船所在直线的距离；(2)若救助船A、救助船B分别以40海里/时，30海里/时的速度同时出发，匀速直线前往搜救，试通过计算判断哪艘船先到达P处． 图28－Y－16 　　图28－Y－17解：(1)如图28－Y－17，过点P作PH⊥AB于点H，则PH的长是可疑漂浮物P到A，B两船所在直线的距离．根据题意，得∠PAH＝90°－53.50°＝36.5°，∠PBH＝45°，AB＝140海里．设PH＝x海里．在Rt△PHB中，tan45°＝eq \f(x,BH)，∴BH＝x海里．在Rt△PHA中，tan36.5°＝eq \f(x,AH)，∴AH＝eq \f(x,tan36.5°)≈eq \f(4,3)x海里．∵AB＝140海里，∴eq \f(4,3)x＋x≈140， 解得x≈60，即PH≈60海里，因此可疑漂浮物P到A，B两船所在直线的距离约为60海里．(2)在Rt△PHA中，AH≈eq \f(4,3)×60＝80(海里)，PA≈eq \r(602＋802)＝100(海里)，救助船A到达P处的时间tA≈100÷40＝2.5(时)；在Rt△PHB中，PB≈eq \r(602＋602)＝60　eq \r(2)，救助船B到达P处的时间tB≈60　eq \r(2)÷30＝2　eq \r(2)(时)．∵2.5