人教版数学 九下 第28章 《锐角三角函数》期末综合分析提升测试卷 A卷

人教版数学 九下 期末综合测试提升卷A卷

答案解析

一．选择题（共30 分）

1.如图，在Rt△ABC中，BC＝4，AC＝3，∠C＝90°，则sinB的值为（　　）

A． B． C． D．

【解析】由勾股定理得，AB5，

∴sinB，

故选：C．

2.已知cosα，则锐角α的取值范围是（　　）

A．0°＜α＜30° B．30°＜α＜45° C．45°＜α＜60° D．60°＜α＜90°

【解析】∵cos30°，cos45°，

∵，

∴30°＜α＜45°，

故选：B．

3.在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA，则cosB的值为（　　）

A． B． C． D．

【解析】如图，

∵∠C＝90°，tanA，

∴tanA，

设BC＝12x，AC＝5x，

∴AB13x，

∴cosB．

故选：A．

4.定义：在等腰三角形中，底边与腰的比叫做顶角的正对，顶角A的正对记作sadA，即sadA＝底边：腰．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝2∠B．则sinB•sadA＝（　　）

A． B．1 C． D．2

【解析】∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C，

∵∠A＝2∠B，

∴∠B＝∠C＝45°，∠A＝90°，

∴BCAC，

∴sin∠B•sadA•1，

故选：B．

5.如图1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠ACB＝45°，延长BC到D，使CD＝AC，则tan22.5°＝（　　）

A． B． C． D．

【解析】设AB＝x，

∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠ACB＝45°，

∴∠BAC＝∠ACB＝45°，

∴AB＝BC＝x，

由勾股定理得：ACx，

∵AC＝CD，

∴AC＝CDx，

∴BD＝BC+CD＝（1）x，

∴tan22.5°1，

故选：B．

6.如图①，在钝角三角形ABC中，AB＝AC，D为边AB上一动点（B点除外），以CD为一边作正方形CDEF，连结BE，设BD＝，SΔBDE＝.若关于的函数图象如图②所示，则sin∠ABC的值为（　　）

①②

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】【解答】解：过点E作EH⊥BD于点H，过点C作CG⊥BA于点G，

∴∠DHE=∠DGC=90°，
由图②可知，当BD的最大值为5时（点D和点A重合），y的值为7.5；
∴S△BDE=y=BD·EH=×5EH=7.5
解之：EH=3；
∵正方形CDEF，
∴CD=DE，∠EDC=90°
∵AB=AC，
∴BD=ED=CD=5，
在Rt△EDH中
，
∵∠DEH+∠EDH=90°，∠EDH+∠CDG=90°，
∴∠DEH=∠CDG，
在△DEH和△CDG中

∴△DEH≌△CDG（AAS），
∴EH=DG=3，CG=DH=4
∴BG=BD+DG=5+3=8，
在Rt△BCG中，

∴.
故答案为：A

7.如图，菱形 ABCD 的边长为4 ，A  60， M 是 AD 的中点， N 是 AB 边上一动点， 将AMN 沿 MN 所在的直线翻折得到AMN ，连接 AC ，则当 AC 取得最小值时， tan DCA的值为（       　）

A． B． C． D．

答案 B

【详解】

因为是定值，两点之间线段最短，即当点在MC上时，取最小值．

过点M作MH⊥DC于点H．

边长为4的菱形ABCD中，∠A=60°，

∵M为AD的中点，

∴2MD=AD=CD=4，∠HDM=60°，

∴∠MDH=∠HDM=60°，

∴∠HMD=30°，

∴，

∴，

∴CH=HD+CD=5，

∴，

∴的值为．

故选：B．

8.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA，D为AB上一点，且AD：DB＝3：2，过点D作DE⊥AC于E，连结BE，则tan∠CEB的值等于（　　）

A． B．2 C． D．

【解析】在Rt△AED中，∵sinA，

∴可以假设AD＝15k，DE＝9k，则AE＝12k，

∵AD：DB＝3：2，

∴DB＝10k，

∵DE∥BC，

∴，

∴，

∴BC＝15k，AC＝20k，

∴EC＝AC﹣AE＝8k，

∴tan∠CEB，

故选：D．

9.如图，在一块矩形区域ABCD内，正好划出5个全等的矩形停车位，其中m, m，，则AD等于(   )

Am B.m C.m D.m

答案：A

解析：如图， m，，，（m），.，，易知（m），（m），m.故选A.

10.如图，在菱形ABCD中，，，过点A作于点E，现将沿直线AE翻折至的位置，AF与CD交于点G，则的面积为(   )

A. B. C. D.2·1·c·

答案：B

解析：四边形ABCD为菱形，.在中，，.设，则，根据勾股定理得，，解得（舍负），，.由折叠的性质可知，.，，，二，，.故选B

二．填空题（共24分）

11.如图,在中,,点D为边的中点,连接.若,则的值为_________.

答案：

解析：在中,,点D为边的中点,，,.

12.如图，正六边形的边长为2，以为圆心，的长为半径画弧，得，连接，，则图中阴影部分的面积为________．

答案

解：∵正六边形ABCDEF的边长为2，

=120°，

∵∠ABC+∠BAC+∠BCA=180°，

∴∠BAC=（180°-∠ABC）=×（180°-120°）=30°，

过B作BH⊥AC于H，

∴AH=CH，BH=AB=×2=1，

在Rt△ABH中，

AH= =，

∴AC=2 ，

同理可证，∠EAF=30°，

∴∠CAE=∠BAF-∠BAC-∠EAF=120°-30°-30°=60°，

∴

∴图中阴影部分的面积为2π，

故答案为：．

13.如图，的顶点B，C的坐标分别是，，且，，则顶点A的坐标是________.
 

答案：

解析：在中，，，，，，.在中，，，，轴，.

14.如图，在平面直角坐标系xOy中，点B在x轴正半轴上，点D在y轴正半轴上，⊙C经过A，B，D，O四点，∠OAB＝120°，OB＝4，则点D的坐标是_____．

答案  (0，4)

解：∵四边形ABDO为圆的内接四边形，

∴∠OAB+∠BDO＝180°，

∴∠BDO＝180°﹣120°＝60°，

∵∠DOB＝90°，

在Rt△ABO中，tan∠BDO＝，

∵OB＝4

∴OD＝4，

∴D（0，4）

故答案为：（0，4）．

15.在△ABC中，CD为高线，且AD＝3，BD＝12，如果CD＝6，那么∠ACB的平分线CE的长是　       　．

【分析】利用勾股定理求出AC、BC，再根据三角形的角平分线分对边所成的两条线段的比等于两邻边的比，求出AE：BE，然后求出AE，再分∠A是锐角和钝角两种情况讨论求出DE，然后在Rt△CDE中，利用勾股定理列式计算即可答案．

【解答】解解：∵在Rt△ACD中，AC3，

在Rt△BCD中，BC6，

∵CE是△ABC的角平分线，

∴AE：BE＝AC：BC＝3：61：2，

①如图1，∠A是锐角时，AB＝AD+BD＝3+12＝15，

∴AE15＝5，

DE＝AE﹣AD＝5﹣3＝2，

在Rt△CDE中，CE2，

②如图2，∠A是钝角时，AB＝BD﹣AD＝12﹣3＝9，

∴AE9＝3，

DE＝AE+AD＝3+3＝6，

在Rt△CDE中，CE6，

综上所述，CE的长是2或6．

故答案为：2或6．

16.如图，为测量湖面上小船A到公路BC的距离，先在点B处测得小船A在其北偏东60°方向，再沿BC方向前进400m到达点C，测得小船A在其北偏西30°方向，则小船A到公路BC的距离为　  　m．

【分析】过点A作AD⊥BC，垂足为点D．证∠BAC＝90°，由直角三角形的性质得ACBC＝200m，求出∠DAC＝30°，得CDAC＝100m，ADCD＝100m即可，

【解析】过点A作AD⊥BC，垂足为点D．如图，则∠ADC＝90°，

依题意得：∠ABC＝90°﹣60°＝30°，∠ACB＝90°﹣60°＝30°，BC＝400m，

∴∠BAC＝90°，

∴ACBC＝200m，

∵∠DAC＝90°﹣60°＝30°，

∴CDAC＝100m，ADCD＝100m，

即小船A到公路BC的距离为100m；

故答案为：100．

三，解答题（共66分）

17.（6分）17．（1）计算×cos45°﹣（）﹣1+20180；

（2）解方程组

答案（1）1；（2）

（1）原式＝3-3+1

＝3﹣3+1

＝1；

（2）①+②×3，得：10x＝20，

解得：x＝2，

把x＝2代入①，得：6+y＝1，

解得：y＝1，

∴原方程组的解为．

18．（8分）如图，在中，的平分线交于点．求的长？

答案 6

解：在中，

是的平分线，

又

，

在中， ，

．

故答案为：．

19.（8分）如图，已知⊙O的弦AB长为8，延长AB至C，且BCAB，tanC．求：

（1）⊙O的半径；   （2）点C到直线AO的距离．

．

【解析】（1）过O作OD⊥AB于D，则∠ODC＝90°，

∵OD过O，

∴AD＝BD，

∵AB＝8，

∴AD＝BD＝4，

∵BCAB，

∴BC＝4，

∴DC＝4+4＝8，

∵tanC，

∴OD＝4，

在Rt△ODA中，由勾股定理得：OA4，

即⊙O的半径是4；

（2）过C作CE⊥AO于E，

则S△AOC，

即，

解得：CE＝6，

即点C到直线AO的距离是6．

20。（10分）在矩形中，为边上一点，把沿翻折，使点恰好落在边上的点．
求证：∽；
若，，求的长；
若，记，，求的值．

【答案】证明：四边形是矩形，
，
由翻折可知，，
，，
，
∽．

设，
由翻折可知，，
，
，
∽，
，
，
，
．

∽，
，
，
设，，，
，
，，，
，，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
整理得，，
，
，
．

21.（10分）如图，在中，，平分交于点，为上一点，经过点、的分别交、于点、．
求证：是的切线；
若，，求的半径；
求证：．

解：如图，连接，

则，
，
是的平分线，
，
，
，
，
点在上，
是的切线；

，
，
，
的半径为；
连接，

是直径，
，
，
，
又，
，
又，
∽，
，
．

22.（12分）如图，海岛B在海岛A的北偏东30方向，且与海岛A相距20海里，一艘渔船从海岛B出发，以5海里/时的速度沿北偏东75°方向航行，同时一艘快艇从海岛A出发，向正东方向航行．2小时后，快艇到达C处，此时渔船恰好到达快艇正北方向的E处．

（1）求∠ABE的度数；

（2）求快艇的速度及C，E之间的距离．

（参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，1.73）

【分析】（1）过点B作BD⊥AC于点D，作BF⊥CE于点F，由平行线的性质得出∠ABD＝∠NAB＝30°，求出∠DBE＝105°，则可得出答案；

（2）在Rt△BEF中，解直角三角形求出EF，BF，在Rt△ABD中，解直角三角形求出AD，BD，证明四边形BDCF为矩形，得出DC，FC，求出CE的长，则可得出答案．

【解析】（1）过点B作BD⊥AC于点D，作BF⊥CE于点F，

由题意得，∠NAB＝30°，∠GBE＝75°，

∵AN∥BD，

∴∠ABD＝∠NAB＝30°，

而∠DBE＝180°﹣∠GBE＝180°﹣75°＝105°，

∴∠ABE＝∠ABD+∠DBE＝30°+105°＝135°；

（2）BE＝5×2＝10（海里），

在Rt△BEF中，∠EBF＝90°﹣75°＝15°，

∴EF＝BE×sin15°≈10×0.26＝2.6（海里），

BF＝BE×cos15°≈10×0.97＝9.7（海里），

在Rt△ABD中，AB＝20，∠ABD＝30°，

∴AD＝AB×sin30°＝2010（海里），

BD＝AB×cos30°＝201010×1.73＝17.3（海里），

∵BD⊥AC，BF⊥CE，CE⊥AC，

∴∠BDC＝∠DCF＝∠BFC＝90°，

∴四边形BDCF为矩形，

∴DC＝BF＝9.7，FC＝BD＝17.3（海里），

∴AC＝AD+DC＝10+9.7＝19.7（海里），

CE＝EF+CF＝2.6+17.3＝19.9（海里），

设快艇的速度为v海里/小时，则v9.85（海里/小时）．

答：快艇的速度为9.85海里/小时，C，E之间的距离约为19.9海里．

23.（12分）如图，在矩形中，，对角线、交于点O，点M为对角线上一点，连接，在内部做射线与线段交于点N（不与点A、点O重合）、与线段交于点P，且．

（1）当，求的正切值；

（2）射线交射线与点Q，若，求的长；

（3）设线段，，写出y关于x的函数关系式，并写出取值范围．

【答案】（1）解：∵，即，

∴，

∵四边形为矩形，

∴，，，，

∴，，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵，，

∴，

∴，

∴中，；

（2）解：如下图，

∵，且，若，

∴只能是，

∵，

∴，

，

在中，由勾股定理可得，

∵，

∴，即，

∴，

又∵，

∴，即，

∴；

（3）解：当N与O重合时，

∵，

∴点M与点C重合，即，

当N与A重合时，如下图，

∵，

又∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

根据题意，点N不与点A、点O重合，

∴；

如下图，过点O作交于G，

∴

∵，

∴，

则，

∴，

∵，

∴，

∴．