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专题14 对数运算（解析版）-2021届江苏省新高考数学大讲坛大一轮复习
展开题14 对数运算
2021年江苏新高考考点分析
对数的运算是掌握对数函数的基础，是新高考的必考知识点，通常与函数的基本性质，导数综合考查，中等难度。
2021年江苏新高考考点梳理
对数运算：；
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名师讲坛考点突破
考点1 对数与对数运算
例1 计算2（lg）2+lg•lg5的值为（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
【答案】B
【解析】2（lg）2+lg•lg52（lg）2+lg•lg5+1﹣lg
＝2lg（lglg）+1﹣lg＝lg1﹣lg＝1．故选B.
变式训练1. 化简与求值：计算= .
【答案】-4
【解析】由对数的运算性质,化简可得
变式训练2. 计算log23log34＋()log34的值为（）
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】D
【解析】 Log23 log34＋()log34＝·＋3log34＝2＋3log32＝2＋2＝4.故选D.
考点2 指数与对数的互化
例2. 已知 ，且 ，则的值是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意可得：log2A=x,log49A=y，∴=logA2+logA49=logA98=2，∴A2=98，
解得A=(舍去负值).故选C.
变式训练3. 已知a>b>1，若logab＋logba＝，ab＝ba，则＝________.
【答案】6
【解析】 设logb a＝t，则t>1，因为t＋＝，
所以t＝2，则a＝b2.[来源:学&科&网]
又ab＝ba，所以b2b＝bb2，
即2b＝b2，又a>b>1，解得b＝2，a＝4.所以.
变式训练4. 已知，且，，则=_________.
【答案】
【解析】由指对数的互化,
所以： 故答案为.
新高考模拟试题过关测试
一、 单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．）
1. 若＝3，则x等于( )
A. B. C．8 D．9
【答案】A
【解析】∵＝3，∴x＝3＝.故选A.
2. 计算：÷＝（ ）
A.-20 B.-10 C.10 D.20
【答案】A
【解析】原式＝(lg 2－2－lg 52)×＝lg×10＝lg 10－2×10＝－2×10＝－20.故选A.
3. 的值为
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】．故选B．
4. 设a，，则“”是“”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】当a，时，由，得，所以充分性成立，
由，得，即或，即必要性不成立，
“”是“”的充分不必要条件 故选A．
5. 已知4a＝2，logax＝2a，则正实数x的值为( )
A. B. C．4 D．2
【答案】 B
【解析】由4a＝2，得22a＝21，所以2a＝1，即a＝.由logx＝1，得x＝＝.故选B.
6. 设，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由可得，所以，
所以有，
故选：B.
7. 若alog23＝1，blog35＝1，则9a＋5b＝
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【解析】a＝log32，b＝log53，[来源:Z*xx*k.Com]
于是9a＋5b＝＝＋3＝4＋3＝7.故选C.
8. 若正实数x，y满足，则取最小值时，
A. 5 B. 3 C. 2 D. 1
【答案】B
【解析】；
，且，；
；，
当且仅当，即时取等号．故选：B．
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．）
9. 下列各式中正确的是( )
A．lg(lg 10)＝0 B．lg(ln e)＝0
C．若10＝lg x，则x＝100 D．若log25x＝，则x＝±5
【答案】AB
【解析】对A，因为lg 10＝1，lg 1＝0，所以lg(lg 10)＝lg 1＝0，故A正确；
对B，因为ln e＝1，lg 1＝0，所以lg(ln e)＝lg 1＝0，故B正确；
对C，因为10＝lg x⇔1010＝x，故C错误；
对D，因为log25x＝⇔＝x⇔x＝5，故D错误．故选AB.
10. 设都是正数，且，那么
A. B. C. D.
【答案】AD
【解析】依题意，可设，则
对于A，，即：，
，故A正确，B错误；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D正确．故选AD．
三、填空题（本大题共4小题，共计20分．）
11. 已知，则 ．
【答案】或
【解析】 ；
；解得或.
12. 如图所示，正方形ABCD的四个顶点在函数，，的图象上，且AB与x轴平行，则 ．
【答案】2
【解析】设，，，，
则，，
又，，即，，
四边形ABCD为正方形，；可得，解得．
四、解答题（本大题共6小题，共计70分．）
13. 计算：
计算：；[来源:Z,xx,k.Com]
【解析】原式
解：原式
=
14．已知loga18＝p，loga24＝q，用p，q表示loga1.5.
【解析】依题意有即[来源:学科网]
变形为解得
所以loga1.5＝loga＝loga3－loga2
＝－＝，
即loga1.5＝.
15. 若，求的值．
【解析】由已知得，则，
即，也即．
因为，，所以，
于是有，即．
16. 已知m，n为正整数，a>0，a≠1，且 loga(m＋n)＝logam＋logan，求m，n的值．
【解析】 loga(m＋n)＝logam＋logan＝loga(mn)．
比较真数得m＋n＝mn，即(m－1)(n－1)＝1.
∵m，n为正整数，∴解得
