专题15 对数函数（解析版）-2021届江苏省新高考数学大讲坛大一轮复习

专题15 对数函数

2021年江苏新高考考点分析

对数函数是重要的基本初等函数，对数函数和对数型函数是新高考重点考查内容，属于中等难度。

2021年江苏新高考考点梳理

对数函数图象

名师讲坛考点突破

考点1 比较大小问题

例1 设是定义域为R的偶函数，且在单调递减，则下列选项正确的是（  ）

A．（log3）＞（）＞（）      B．（log3）＞（）＞（）

C．（）＞（）＞（log3）      D．（）＞（）＞（log3）

【答案】C

【解析】是定义域为的偶函数，．

，

又在(0，+∞)上单调递减，

∴，

即.      故选C．

变式训练1. 已知，则则下列选项正确的是（  ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】依题意， ， 
因为， 所以， 
所以.故选B．

考点2 对数函数图像及变换问题

例2. 已知a>0且a≠1，函数f(x)＝loga(x＋)在区间(－∞，＋∞)上既是奇函数又是增函数，则函数g(x)＝loga||x|－b|的图象是(　　)

【答案】A

【解析】　∵函数f(x)＝loga(x＋)在区间(－∞，＋∞)上是奇函数，∴f(0)＝0，∴b＝1，又函数f(x)＝loga(x＋)在区间(－∞，＋∞)上是增函数，所以a>1.

所以g(x)＝loga||x|－1|，当x>1时，g(x)＝loga(x－1)为增函数，排除B，D；当0<x<1时，g(x)＝loga(1－x)为减函数，排除C；故选A.

变式训练2. 对于函数f(x)＝lg(|x－2|＋1)，给出如下三个命题：①f(x＋2)是偶函数；②f(x)在区间(－∞，2)上是减函数，在区间(2，＋∞)上是增函数；③f(x)没有最小值．其中正确命题的个数为________．

【答案】2

【解析】　因为函数f(x)＝lg(|x－2|＋1)，所以函数f(x＋2)＝lg(|x|＋1)是偶函数；

由y＝lg x

y＝lg(|x|＋1)y＝lg(|x－2|＋1)，如图，可知f(x)在(－∞，2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数；由图象可知函数存在最小值为0.所以①②正确，故答案为2.

考点3对数函数值域问题

例3. 已知 ，且 ，则的值是(  )

A.             B.               C.               D.

【答案】C

【解析】由题意可得：log2A=x,log49A=y，∴=logA2+logA49=logA98=2，∴A2=98，

解得A=(舍去负值).故选C.

变式训练3. 已知a>b>1，若logab＋logba＝，ab＝ba，则＝________.

【答案】6

【解析】　设logb a＝t，则t>1，因为t＋＝，

所以t＝2，则a＝b2.

又ab＝ba，所以b2b＝bb2，

即2b＝b2，又a>b>1，解得b＝2，a＝4.所以.

新高考模拟试题过关测试

一、    单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．）

1. 已知，，，则a，b，c的大小关系为(  )

A．     B．

C．     D．

【答案】D

【解析】由题意结合对数函数的性质可知：，，，

据此可得：.故选D.

2. 函数y＝ln(2x－1)的定义域是(　　)

A．[0，＋∞)　　        B．[1，＋∞)         C．(0，＋∞)                   D．(1，＋∞)

【答案】C　

【解析】由2x－1>0，得x>0，所以函数的定义域为(0，＋∞)．故选C.

3. “”是“”的（  ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】由题意得，，故是必要不充分条件，故选B．

4. 下列函数中，其图象与函数的图象关于直线对称的是（ ）

A．     B．

C．     D．

【答案】B

【解析】函数过定点（1，0），（1，0）关于直线x=1对称的点还是（1，0），只有的图象过此点.故选项B正确.

5. 函数的大致图象为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】函数的定义域为，

，则函数是奇函数，图象关于原点对称，排除，，当且，，排除.故选：A.

6. 已知是奇函数，且当时，.若，则（  ）

A．2                  B．-2                 C．-3                 D．3

【答案】C

【解析】因为是奇函数，且当时，．

又因为，，

所以，两边取以为底的对数得，所以，即．

7. 已知．设，则 （   ）

A．               B．           C．        D．

【答案】A

【解析】法一：由题意可知、、，，；

由，得，由，得，，可得；

由，得，由，得，，可得．

综上所述，．故选A．

法二：易知，由，知．∵，，∴，，即，又∵，，∴，即．综上所述：，故选A．

8. 已知函数，，则（  ）

A．-4                 B．-2                 C．2                 D．4

【答案】B

【解析】由题得，

,则.故答案为−2.故选B.

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．）

9. 下列选项不正确的是（ ）

A.若函数的定义域是，则它的值域是；

B.若函数的定义域是，则它的值域是；

C.若函数的值域是，则它的定义域一定是；

D.若函数的值域是，则它的定义域是.

【答案】ABC

【解析】对于A，当时，，故A不正确；对于B，当时，则，故B不正确；对于C，当时，也可能，故C不正确；对于D，即，则，故D正确.所以本题选ABC.

10. 已知函数f(x)＝，关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值是（ ）

A．-1                 B．0                 C．2                 D．3

【答案】CD

【解析】问题等价于函数y＝f(x)与y＝－x＋a的图象有且只有一个交点，结合函数图象可知a>1.故选CD.

三、填空题（本大题共4小题，共计20分．）

11. 使log2(－x)＜x＋1成立的x的取值范围是________．

【答案】(－1,0)

【解析】在同一坐标系内作出y＝log2(－x)，y＝x＋1的图象，知满足条件的x∈(－1,0)．

12. 已知函数f(x)＝若方程f(x)－a＝0恰有一个实根，则实数a的取值范围是________.

【答案】{0}∪[2，＋∞)

【解析】作出函数y＝f(x)的图象(如图所示).

方程f(x)－a＝0恰有一个实根，等价于函数y＝f(x)的图象与直线y＝a恰有一个公共点，

故a＝0或a≥2，即a的取值范围是{0}∪[2，＋∞).

四、解答题（本大题共6小题，共计70分．）

13. 设f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a>0，a≠1)，且f(1)＝2.

(1)求a的值及f(x)的定义域；

(2)求f(x)在区间上的最大值．

【解析】(1)因为f(1)＝2，

所以loga4＝2(a>0，a≠1)，所以a＝2.

由得x∈(－1,3)，

所以函数f(x)的定义域为(－1,3)．

(2)f(x)＝log2(1＋x)＋log2(3－x)＝log2(1＋x)(3－x)＝log2[－(x－1)2＋4]，

所以当x∈(－1,1]时，f(x)是增函数；

当x∈(1,3)时，f(x)是减函数，

故函数f(x)在上的最大值是

f(1)＝log24＝2.

14．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(0)＝0，当x>0时，f(x)＝logx.

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)解不等式f(x2－1)>－2.

【解析】(1)当x<0时，－x>0，则f(－x)＝log(－x).

因为函数f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)＝log(－x)，

所以函数f(x)的解析式为

f(x)＝

(2)因为f(4)＝log4＝－2，f(x)是偶函数，

所以不等式f(x2－1)>－2转化为f(|x2－1|)>f(4).

又因为函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数，

所以|x2－1|<4，解得－<x<，即不等式的解集为(－，).

15. 已知函数．

（1）讨论的单调性；

（2）求的最值，并求取得最值时的值．

【解析】（1）由题意可得：，即，解得：；

即函数的定义域为；

令，则其为开口向下的二次函数，且对称轴为，

当时，函数单调递增，

时，函数单调递减；

又为减函数；

所以，在上单调递减，在上单调递增；

（2）由（1）得：

无最大值，

当时，有最小值，

综上所述，当时，最小值为，无最大值

16. 已知函数f(x)＝lg(k∈R)．

(1)当k＝0时，求函数f(x)的值域；

(2)当k>0时，求函数f(x)的定义域；

(3)若函数f(x)在区间[10，＋∞)上是单调增函数，求实数k的取值范围．

【解析】 (1)当k＝0时，f(x)＝lg ，定义域为(－∞，1)．

因为函数y＝(x<1)的值域为(0，＋∞)，

所以f(x)＝lg 的值域为R.

(2)因为k>0，所以关于x的不等式>0⇔(x－1)(kx－1)>0⇔(x－1)>0.(*)

①若0<k<1，则>1，不等式(*)的解为x<1或x>；

②若k＝1，则不等式(*)即(x－1)2>0，其解为x≠1；

③若k>1，则<1，不等式(*)的解为x<或x>1.

综上，当0<k≤1时，函数f(x)的定义域为(－∞，1)∪；

当k>1时，函数f(x)的定义域为∪(1，＋∞)．

(3)令g(x)＝，则f(x)＝lg g(x)．

因为函数f(x)在[10，＋∞)上是单调增函数，且对数的底数10>1，

所以当x∈[10，＋∞)时，g(x)>0，且函数g(x)在[10，＋∞)上是单调增函数．

而g(x)＝＝＝k＋，

若k－1≥0，则函数g(x)在[10，＋∞)上不是单调增函数；

若k－1<0，则函数g(x)在[10，＋∞)上是单调增函数．

所以k<1.①

因为函数g(x)在[10，＋∞)上是单调增函数，

所以要使当x∈[10，＋∞)时，g(x)>0，必须g(10)>0，

即>0，解得k>.②

综合①②知，实数k的取值范围是.