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专题08 不等式的综合问题（解析版）-2021届江苏省新高考数学大讲坛大一轮复习
展开专题08 不等式的综合问题
2021年江苏新高考考点分析
一元二次不等式和基本不等式是江苏高考的重要考点，常与其他知识相结合，难度中等。
2021年江苏新高考考点梳理
1.几个重要不等式
（1）
（2）（当仅当a=b时取等号）
（3）如果a,b都是正数，那么 （当仅当a=b时取等号）
极值定理：若则：
如果P是定值, 那么当x=y时，S的值最小； [来源:学&科&网Z&X&X&K]
如果S是定值, 那么当x=y时，P的值最大.
利用极值定理求最值的必要条件： 一正、二定、三相等.
（当仅当a=b=c时取等号）
（当仅当a=b时取等号）
（7）
2.几个著名不等式[来源:学科网]
（1）平均不等式： 如果a,b都是正数，那么 （当仅当a=b时取等号）即：平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均（a、b为正数）：
特别地，（当a = b时，）
[来源:学科网ZXXK]
幂平均不等式：
注：例如：.
常用不等式的放缩法：①
②
3.不等式恒成立，能成立，恰成立问题
（1）恒成立：若在区间D上存在最小值，则不等式在区间D上恒成立
若在区间D上存在最大值，则不等式在区间D上恒成立
（2）能成立：若在区间D上存在最小值，则不等式在区间D上能成立
若在区间D上存在最大值，则不等式在区间D上能成立
（3）恰成立：不等式在区间D上恰成立的解集为D.
不等式在区间D上恰成立的解集为D.
新高考模拟试题过关测试
一、 单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．）
1. 已知函数f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)<0成立，则实数m的取值范围是（）
A.() B.() C.() D (]
【答案】A
【解析】由题可得f(x)<0对于x∈[m，m＋1]恒成立，即f(m)<0且f(m+1)<0解得－<m<0.故选A.
2. 已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x的不等式f(x)＜c的解集为(m，m＋6)，则实数c的值为( )
A.8 B.9 C.10 D .11
【答案】B
【解析】因为f(x)的值域为[0，＋∞)，所以Δ＝0，即a2＝4b，所以x2＋ax＋－c＜0的解集为(m，m＋6)，易得m，m＋6是方程x2＋ax＋－c＝0的两根，由一元二次方程根与系数的关系得且
解得c＝9.故选B.
3. 直线＋＝1(a＞0，b＞0)过点(1,2)，则2a＋b的最小值为（）
A.5 B.6 C.7 D .8
【答案】D
【解析】因为直线＋＝1(a＞0，b＞0)过点(1,2)，所以＋＝1，因为a＞0，b＞0，
所以2a＋b＝(2a＋b)=4＋＋≥4＋2 ＝8，
当且仅当＝，即a＝2，b＝4时等号成立，所以2a＋b的最小值为8.故选D.
4. 函数且的图象恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为( )
A. B. C. D .
【答案】B[来源:学.科.网Z.X.X.K]
【解析】由题意可知，令x+3=1，则y=-1，即x=-2,y=-1，所以A（-2，-1），可得2m+n=1，
所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为
5. 若正实数满足，则的最大值为( )
A. B. C. D. 8
【答案】C
【解析】因为，所以，而，故，所以，当且仅当等号成立，故的最大值为.故答案为C.
6. 若正数满足，，则的取值范围是( )
A.,+ B.,+ C. ,+ D .,+
【答案】B
【解析】因为，所以，
所以
因为，当且仅当时，“=”成立，
又因为在上单调递增，
所以，所以，
故的取值范围是.故选B.
7. 已知，且，则的最小值为_____________.
A. B. C. D .
【答案】C
【解析】由可知，且，因为对于任意，恒成立，
结合均值不等式的结论可得：.当且仅当，即时等号成立.综上可得的最小值为.
8. 在锐角三角形ABC中，若sin A＝2sin Bsin C，则tan Atan Btan C的最小值是（ ）
A.6 B.7 C.8 D .9
【答案】C
【解析】在锐角三角形ABC中，因为sin A＝2sin Bsin C，
所以sin(B＋C)＝2sin Bsin C，
所以sin Bcos C＋cos Bsin C＝2sin Bsin C，等号两边同除以cos Bcos C，得tan B＋tan C＝2tan Btan C.
所以tan A＝tan[π－(B＋C)]＝－tan (B＋C)＝＝.①
因为A，B，C均为锐角，所以tan Btan C－1＞0，所以tan Btan C＞1.
由①得tan Btan C＝.又由tan Btan C＞1得＞1，所以tan A＞2.
所以tan Atan Btan C＝＝(tan A－2)＋＋4≥2＋4＝8，
当且仅当tan A－2＝，即tan A＝4时取得等号．故tan Atan Btan C的最小值为8.故选C.
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．）
9. 已知a>0，b>0，且a+b=1，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】对于A，，
当且仅当时，等号成立，故A正确；
对于B，，所以，故B正确；
对于C，，
当且仅当时，等号成立，故C不正确；
对于D，因为，
所以，当且仅当时，等号成立，故D正确；故选：ABD
10. 在中，角的对边分别为，若，则取值可能是（ ）
A.3 B.2 C.1 D .
【答案】AB
【解析】∵，由正弦定理得，
∴，∴，∴，当且仅当时取等号，∴的最小值是．故答案为：AB．
三、填空题（本大题共4小题，共计20分．）
11. 定义运算“⊗”：x⊗y＝(x，y∈R，xy≠0)．当x>0，y>0时，x⊗y＋(2y)⊗x的最小值为________．
【答案】
【解析】因为x⊗y＝，所以(2y)⊗x＝.又x>0，y>0，故x⊗y＋(2y)⊗x＝＋＝≥＝，当且仅当x＝y时，等号成立．
12. 已知，且，则的最小值为_________．
【答案】4
【解析】，,
，当且仅当=4时取等号，
结合,解得，或时，等号成立.故答案为：
13. 在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为__________．
【答案】9
【解析】由题意可知，,由角平分线性质和三角形面积公式得，化简得，因此
所以：当且仅当时取等号，则的最小值为9.
14. 已知函数，，，使，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】，使，即g(x)的值域是的子集，g(x)[]，
，，
当a≤-1时，f(x)[]，即≤，解得a，
当-1<a≤0时，f(x)[]，即≤，不等式组无解，
当a>1时，f(x)[]，即≤，不等式组无解．
综上所述，a的范围为．
四、解答题（本大题共6小题，共计70分．）
15. 已知()是偶函数，当时，．
(1) 求的解析式；
(2) 若不等式在时都成立，求m的取值范围．
【解析】（1）设x＜0时，则－x＞0，
∵f(x)为偶函数，∴f(x)＝f(－x)＝(－x)2－2(－x)＝x2＋2x．
∴f(x)＝
(2) 由题意得x2－2x≥mx在1≤x≤2时都成立，即x－2≥m在1≤x≤2时都成立，
即m≤x－2在1≤x≤2时都成立，
当1≤x≤2时，(x－2)min＝－1， 则m≤－1．
16．设a，b，cR，a+b+c=0，abc=1．
（1）证明：ab+bc+ca<0；
（2）用max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，证明：max{a，b，c}≥．
【解析】（1），
.
均不为，则，；
（2）不妨设，
由可知，，
，.
当且仅当时，取等号，
，即.
17. 已知a，b，c为正数，且满足abc＝1.
证明：(1)＋＋≤a2＋b2＋c2；
(2)(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥24.
【解析】(1)因为a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，又abc＝1，故有a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca＝＝＋＋.
当且仅当a＝b＝c＝1时，等号成立．
所以＋＋≤a2＋b2＋c2.
(2)因为a，b，c为正数且abc＝1，
故有(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3
≥3＝3(a＋b)(b＋c)(c＋a)
≥3×(2)×(2)×(2)＝24.
当且仅当a＝b＝c＝1时，等号成立．
所以(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥24.
18. 已知f(x)＝ax2＋x－a，a∈R.
(1)若不等式f(x)>(a－1)x2＋(2a＋1)x－3a－1对任意的x∈[－1,1]恒成立，求实数a的取值范围；
(2)若a<0，解不等式f(x)>1.
【解析】(1)原不等式等价于x2－2ax＋2a＋1>0对任意的x∈[－1,1]恒成立，
设g(x)＝x2－2ax＋2a＋1＝(x－a)2－a2＋2a＋1，x∈[－1,1]，
①当a<－1时，g(x)min＝g(－1)＝1＋2a＋2a＋1>0，无解；
②当－1≤a≤1时，g(x)min＝g(a)＝－a2＋2a＋1>0，得1－<a≤1；
③当a>1时，g(x)min＝g(1)＝1－2a＋2a＋1>0，得a>1.
综上，实数a的取值范围为(1－，＋∞)．
(2)f(x)>1，即ax2＋x－a－1>0，即(x－1)(ax＋a＋1)>0，
因为a<0，所以(x－1)<0，
因为1－＝，所以当－<a<0时，1<－，解集为；
当a＝－时，不等式可化为(x－1)2<0，不等式无解；
当a<－时，1>－，解集为.
综上，当a<－时，不等式的解集为；
当a＝－时，不等式的解集为∅；
当－<a<0时，不等式的解集为.
