专题12 函数的概念与性质的综合问题（解析版）-2021届江苏省新高考数学大讲坛大一轮复习
展开题12 函数的概念与性质的综合问题
2021年江苏新高考考点分析
函数的性质是新高考的热点也是重点考查的知识点，函数的性质几乎每年都要进行考查，在大题中经常与导数等知识点结合考查。
2021年江苏新高考考点梳理
1、函数的单调性
（1）设那么
上是增函数；上是减函数.
（2）设函数在某个区间内可导，
若，则为增函数；若，则为减函数.
2、函数的奇偶性（1）定义：对于定义域内任意的，若，则是偶函数；若，则是奇函数。
（2）奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称。
奇函数在原点有定义，则
3、函数的周期性：若，则T叫做这个函数的一个周期。（差为定值想周期）
（1）三角函数的最小正周期：
；
4、两个函数图象的对称性（和为定值想对称）
（1）如果函数对于一切，都有，那么函数的图象关于直线对称是偶函数；
（2）若都有，那么函数的图象关于直线对称；
新高考模拟试题过关测试
一、 单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．）
1. 函数的定义域是（ ）
A． B．（-1，7） C．（-1,7] D．[-1,7）
【答案】A
【解析】由已知得,
即
解得，
故函数的定义域为.故选A.
2. 函数的图象大致为（ ）[来源:Zxxk.Com]
A B.
C. D.
【答案】A
【解析】由函数的解析式可得：，则函数为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD错误；
当时，，选项B错误.故选：A.
3. 已知函数是上的偶函数，且对任意的有，当时，，则
A．11 B．5 C． D．
【答案】C
【解析】，
，即函数的周期为6，
．故选：C．
4. 设函数f(x)=x3－，则f(x)是（ ）
A．奇函数，且在(0,+∞)单调递增 B．奇函数，且在(0,+∞)单调递减
C．偶函数，且在(0,+∞)单调递增 D．偶函数，且在(0,+∞)单调递减
【答案】A
【解析】因为函数定义域为，其关于原点对称，而，
所以函数为奇函数．
又因为函数在上单调递增，在上单调递增，
而在上单调递减，在上单调递减，
所以函数在上单调递增，在上单调递增．故选：A．
5. 若函数是定义在上的奇函数，，当时，，则实数（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】C
【解析】∵是定义在上的奇函数，，且时，，
∴，∴.故选：C
6. 若函数为奇函数，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】为奇函数
当时，
又时， ,本题正确选项：
7. 已知函数，,若，则a,b,c的大小关系为（ ）
A．a<b<c B．c<b<a C．b<a<c D．b<c<a
【答案】C
【解析】依题意，有，则为奇函数，且在上单调递增，
所以为偶函数．
当时，有，
任取，则，由不等式的性质可得，
即，所以，函数在上递增，
因此，，故选：C．
8. 若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（ ）
A． B．
C． ．
【答案】D
【解析】因为定义在上的奇函数在上单调递减，且，
所以在上也是单调递减，且，，
所以当时，，当时，，
所以由可得或或
解得或，
所以满足的的取值范围是，故选：D.
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．）
9. 关于函数f（x）=的下列四个命题正确的是（ ）
A.f（x）的图像关于y轴对称 B.f（x）的图像关于原点对称
C.f（x）的图像关于直线x=对称 D.f（x）的最小值为2
【答案】BC
【解析】对于命题①，，，则，
所以，函数的图象不关于轴对称，命题A错误；
对于命题②，函数的定义域为，定义域关于原点对称，
，
所以，函数的图象关于原点对称，命题B正确；
对于命题③，，
，则，
所以，函数的图象关于直线对称，命题C正确；[来源:学科网ZXXK]
对于命题D，当时，，则，
命题④错误.故答案为：BC.
10. 已知函数的定义域为，且是偶函数，是奇函数，则下列说法正确正确的有( )
A. B的一个周期为8
C.图象的一个对称中心为 D.图象的一条对称轴为
【答案】ABC
【解析】因为是的对称轴，是的对称中心，
所以是周期函数，且8为函数的一个周期，故B正确；
，故A正确；
因为每隔半个周期出现一个对称中心，
所以是函数的对称中心，故C正确；
，所以不是函数的图像的对称轴，故④错误.故选：ABC.
三、填空题（本大题共4小题，共计20分．）
11. 已知定义在上的奇函数，满足时，，则的值为________．
【答案】-15
【解析】因为奇函数的定义域关于原点中心对称[来源:学科网ZXXK]
则,解得
因为奇函数当时,
则,故选:A
12. 已知函数f(x)＝x＋(a>0)，当x∈[1，3]时，函数f(x)的值域为A，若A⊆[8，16]，则a的值是________．
【答案】 15
【解析】法1(分离变量法) 由题意，对于任意的x∈[1，3]，不等式8≤x＋≤16恒成立，也就是说，不等式x(8－x)≤a≤x(16－x)恒成立，故[x(8－x)]max≤a≤[x(16－x)]min，即15≤a≤15，所以a＝15.
法2(特值法) 由题意，当x＝1，3时，即所以a＝15.
四、解答题（本大题共6小题，共计70分．）
13. 已知f(x)＝，x∈[1，＋∞)．
(1)当a＝时，求函数f(x)的最小值；
(2)若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)＞0恒成立，试求实数a的取值范围．
【解析】(1)当a＝时，f(x)＝x＋ ＋2，任取1≤x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)＋＝ ，
∵1≤x1＜x2，∴x1x2＞1，∴2x1x2－1＞0.
又x1－x2＜0，∴f(x1)＜f(x2)，
∴f(x)在[1，＋∞)上是增函数，
∴f(x)在[1，＋∞)上的最小值为f(1)＝ .
(2)在区间[1，＋∞)上，f(x)＝恒成立，
则 ⇔等价于a大于函数φ(x)＝－(x2＋2x)在[1，＋∞)上的最大值．
只需求函数φ(x)＝－(x2＋2x)在[1，＋∞)上的最大值．
φ(x)＝－(x＋1)2＋1在[1，＋∞)上递减，
∴当x＝1时，φ(x)最大值为φ(1)＝－3.
∴a＞－3，故实数a的取值范围是(－3，＋∞).
14．已知函数f(x)＝x2＋4ax＋2a＋6.
(1) 若f(x)的值域是[0，＋∞)，求a的值；
(2) 若函数f(x)≥0恒成立，求g(a)＝2－a|a－1|的值域．
【解析】(1) ∵ f(x)的值域是[0，＋∞)，即fmin(x)＝0，
∴ ＝0，
∴ a＝－1或．
若函数f(x)≥0恒成立，则Δ＝(4a)2－4(2a＋6)≤0，即2a2－a－3≤0，
∴ －1≤a≤，∴ g(a)＝2－a|a－1|＝
当－1≤a≤1，g(a)＝a2－a＋2＝＋，∴ g(a)∈；
当1<a≤，g(a)＝－a2＋a＋2＝－＋，
∴ g(a)∈，∴ 函数g(a)＝2－a|a－1|的值域是．
15. 已知函数.
（1）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围；
（2）解不等式.
【解析】（1）∵函数f（x）=lg（2+x）+lg（2﹣x），
∴，解得﹣2＜x＜2．
∴函数f（x）的定义域为（﹣2，2）．
∵f（﹣x）=lg（2﹣x）+lg（2+x）=f（x），
∴f（x）是偶函数．
（2）∵﹣2＜x＜2，
∴f（x）=lg（2+x）+lg（2﹣x）=lg（4﹣x2）．
∵g（x）=10f（x）+3x，
∴函数g（x）=﹣x2+3x+4=﹣（x﹣）2+，（﹣2＜x＜2），
∴g（x）max=g（）=，g（x）min→g（﹣2）=﹣6，
∴函数g（x）的值域是（﹣6，]．
（3）∵不等式f（x）＞m有解，∴m＜f（x）max，
令t=4﹣x2，由于﹣2＜x＜2，∴0＜t≤4
∴f（x）的最大值为lg4．
∴实数m的取值范围为{m|m＜lg4}．[来源:学科网]
16. f(x)是定义在R上的函数,对x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y),且当x>0时,f(x)<0,且f(-1)=1.[来源:学+科+网Z+X+X+K]
(1)求f(0),f(-2)的值;
(2)求证:f(x)为奇函数;
(3)求f(x)在[-2,4]上的最值.
【解析】 (1)f(x)的定义域为R，
令x＝y＝0，则f(0)＝f(0)＋f(0)，∴f(0)＝0，
∵f(－1)＝1，∴f(－2)＝f(－1)＋f(－1)＝2，
(2)令y＝－x，则f(x－x)＝f(x)＋f(－x)，
∴f(－x)＋f(x)＝f(0)＝0，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．
(3)设x2>x1，
f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2－x1)
∵x2－x1>0，∴f(x2－x1)<0，∴f(x2)－f(x1)<0，
即f(x2)<f(x1)，∴f(x)在R上为减函数． ∴f(2)＝－f(－2)＝－2，
∴f(4)＝f(2)＋f(2)＝－4，
∵f(x)在[－2,4]上为减函数，∴f(x)max＝f(－2)＝2，所以：f(x)min＝f(4)＝－4.
