专题11 函数的奇偶性与单调性（解析版）-2021届江苏省新高考数学大讲坛大一轮复习

专题11 函数的奇偶性与单调性
2021年江苏新高考考点分析
函数的奇偶性是函数的整体性质，是新高考的重要考点，通常与函数的单调性综合考查，难度中等。
2021年江苏新高考考点梳理
1.奇函数，偶函数：
⑴偶函数：
设（）为偶函数上一点，则（）也是图象上一点.
偶函数的判定：两个条件同时满足
①定义域一定要关于轴对称，例如：在上不是偶函数.
②满足，或，若时，.
⑵奇函数：
设（）为奇函数上一点，则（）也是图象上一点.
奇函数的判定：两个条件同时满足
①定义域一定要关于原点对称，例如：在上不是奇函数.
②满足，或，若时，.
2.奇偶性的判定法：首先考察定义域是否关于原点对称，再计算f(-x)与f(x)之间的关系：①f(-x)=f(x)为偶函数；f(-x)=-f(x)为奇函数；②f(-x)-f(x)=0为偶；f(x)+f(-x)=0为奇；③f(-x)/f(x)=1是偶；f(x)÷f(-x)=-1为奇函数.
3. 函数的周期性
(1)周期函数：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
对f(x)定义域内任一自变量的值x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a＞0)．
(2)若f(x＋a)＝1fx，则T＝2a(a＞0)．
(3)若f(x＋a)＝－1fx，则T＝2a(a＞0)．
4．函数的对称性常见的结论
(1)函数y＝f(x)关于x＝对称⇔f(a＋x)＝f(b－x)⇔f(x)＝f(b＋a－x)．
特殊：函数y＝f(x)关于x＝a对称⇔f(a＋x)＝f(a－x)⇔f(x)＝f(2a－x)；
函数y＝f(x)关于x＝0对称⇔f(x)＝f(－x)(即为偶函数)．
(2)函数y＝f(x)关于点(a，b)对称⇔f(a＋x)＋f(a－x)＝2b⇔f(2a＋x)＋f(－x)＝2b.
特殊：函数y＝f(x)关于点(a,0)对称⇔f(a＋x)＋f(a－x)＝0⇔f(2a＋x)＋f(－x)＝0；
函数y＝f(x)关于(0,0)对称⇔f(x)＋f(－x)＝0(即为奇函数)．
(3)y＝f(x＋a)是偶函数⇔函数y＝f(x)关于直线x＝a对称；
y＝f(x＋a)是奇函数⇔函数y＝f(x)关于点(a,0)对称．
5．函数奇偶性常用结论
(1)若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0.
(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．
(3)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．
(4)y＝f(x＋a)是奇函数，则f(－x＋a)＝－f(x＋a)；y＝f(x＋a)是偶函数，则f(－x＋a)＝f(x＋a)．
名师讲坛考点突破
考点1 函数奇偶性的判断
例1 判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝＋；
(2)f(x)＝；
(3)f(x)＝
【解析】　(1)由得x2＝3，解得x＝±，
即函数f(x)的定义域为{－，}，
从而f(x)＝＋＝0.
因此f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，
∴函数f(x)既是奇函数又是偶函数.
(2)由得定义域为(－1，0)∪(0，1)，关于原点对称.
∴x－2<0，∴|x－2|－2＝－x，∴f(x)＝.
又∵f(－x)＝＝－＝－f(x)，
∴函数f(x)为奇函数.
(3)显然函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称.
∵当x<0时，－x>0，
则f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)；
当x>0时，－x<0，
则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)；
综上可知：对于定义域内的任意x，总有f(－x)＝－f(x)成立，∴函数f(x)为奇函数.
变式训练1. 函数f(x)＝的图象(　　)
A．关于x轴对称 B．关于y轴对称
C．关于坐标原点对称 D．关于直线y＝x对称
【答案】B
【解析】　因为f(x)＝＝3x＋3－x，易知f(x)为偶函数，所以函数f(x)的图象关于y轴对称．
变式训练2. 下列函数既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递增的是(　　)
A.y＝x3 B.y＝x
C.y＝|x| D.y＝|tan x|
【答案】C
【解析】　对于A，y＝x3为奇函数，不符合题意；
对于B，y＝x是非奇非偶函数，不符合题意；
对于D，y＝|tan x|是偶函数，但在区间(0，＋∞)上不单调递增.
考点2 函数奇偶性与单调性
例2. 设定义在R上的奇函数在区间上是单调减函数，且，则实数x的取值范围是_________
【答案】(1,2)
【解析】根据题意，f(x)是在R上的奇函数，且在区间[0,+∞)上是单调减函数，
则其在区间(-∞,0)上递减，
则函数f(x)在R上为减函数，
fx2-3x+f(2)>0⇒fx2-3x>-f(2)⇒f(x2-3x)>f(-2)⇒x2-3x<-2，
解得：1 即实数x的取值范围是(1,2)；
故答案为：(1,2)．
变式训练3. 定义在R上的奇函数y＝f(x)在(0，＋∞)上递增，且f ＝0，则满足f(x)>0的x的集合为________．
【答案】(-12,0)∪(12,+∞)
【解析】由奇函数y＝f(x)在(0，＋∞)上递增，且f ＝0，得函数y＝f(x)在(－∞，0)上递增，
且f ＝0，
所以f(x)>0时，x>或－0的x的集合为(-12,0)∪(12,+∞).
故答案：(-12,0)∪(12,+∞).
考点3 函数奇偶性与最值
例3 已知f(x)=(x+2)2x2+4，则f(x)在区间[-2,2]上的最大值最小值之和为(    )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 8
【答案】A
【解析】由f(x)=x2+4+4xx2+4=1+4xx2+4
令g(x)=4xx2+4，
可得g(-x)=-4xx2+4=-g(x)是奇函数，
可得g(x)区间[-2,2]上的最大值最小值之和为0．
那么f(x)在区间[-2,2]上的最大值为1+g(x)max，最小值为1+g(x)min；
∴f(x)在区间[-2,2]上的最大值最小值之和为2．故选：A．
变式训练4. 已知函数fx=ax3-bx-1ab≠0的最大值为M，最小值为N，则M+N等于(    )
A.  -2 B. -1 C. 0 D. 1
【答案】A
【解析】令gx=fx+1，
则gx=ax3-bx，
g-x=-ax3+bx=-ax3-bx=-gx，
所以gx=ax3-bx为奇函数，
因为函数fx的最大值为M，最小值为N，
则函数gx=fx+1的最大值为M+1，最小值为N+1，
由奇函数的定义可得M+1+N+1=0，
则M+N=-2．故选A．
考点4 函数的奇偶性与周期性
例4 已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝(　　)
A．－50 　B．0 C．2 D．50
【答案】C
【解析】法一：∵f(x)是奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，∴f(1－x)＝－f(x－1)．
由f(1－x)＝f(1＋x)，得－f(x－1)＝f(x＋1)，
∴f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，
∴函数f(x)是周期为4的周期函数．
由f(x)为奇函数得f(0)＝0.
又∵f(1－x)＝f(1＋x)，∴f(x)的图象关于直线x＝1对称，
∴f(2)＝f(0)＝0，∴f(－2)＝0.
又f(1)＝2，∴f(－1)＝－2，
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝f(1)＋f(2)＋f(－1)＋f(0)＝2＋0－2＋0＝0，
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(49)＋f(50)
＝0×12＋f(49)＋f(50)
＝f(1)＋f(2)＝2＋0＝2.
法二：由题意可设f(x)＝2sin，作出f(x)的部分图象如图所示．由图可知，f(x)的一个周期为4，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(49)＋f(50)＝12×0＋f(1)＋f(2)＝2.

变式训练5. 已知函数是定义在R上的奇函数，.若时，，则实数a的值为______.
【答案】-1
【解析】∵f(x)是定义在上的奇函数，且．
当时，，
即，则，
∵当时，．
，得，故答案为：
新高考模拟试题过关测试
一、 单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．）
1. 下列函数中，既是奇函数又在(0，＋∞)上单调递增的是(　　)
A．y＝ex＋e－x　　　　　 　B．y＝ln(|x|＋1)
C．y＝ D．y＝x－
【答案】D　
【解析】选项A，B显然是偶函数，排除；选项C是奇函数，但在(0，＋∞)上不是单调递增函数，不符合题意；选项D中，y＝x－是奇函数，且y＝x和y＝－在(0， ＋∞)上均为增函数，故y＝x－在(0，＋∞)上为增函数，所以选项D正确．
2. 已知二次函数fx=x2-ax+4，若f(x+1)是偶函数，则实数a的值为(　　)
A.-1 B.1 C.-2 D.2
【答案】D
【解析】f(x+1)是偶函数,即f-x+1=f(x+1),
得(-x+1)2-a-x+1+4=x+12-ax+1+4,解得a=2.
3. 若函数fx=x2+a-2x+1为偶函数，gx=x-3+bx2+2为奇函数，则a+b的值为(   )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】D
【解析】由f(x)=x2+(a-2)x+1为偶函数可得a-2=0即a=2，
由g(x)=x-3+bx2+2为奇函数，可得g(0)=b-32=0，
则b=3，
则a+b=5．故选D．
4. 设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(-1)=1，则f(1)+f(0)=(    )
A. 1 B. 0 C. -1 D. -2
【答案】C
【解析】根据题意，函数f(x)是定义在R上的奇函数，则f(0)=0，
若f(-1)=1，则f(1)=-f(-1)=-1，则f(1)+f(0)=-1．故选C．
5. 设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)=，则当x<0时，f(x)=（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题意知是奇函数，且当x≥0时，f(x)=，
则当时，，则，
得．故选D．
6. 已知函数为奇函数，函数为偶函数，且，则（ ）
A. B. C. D.2
【答案】C
【解析】由函数为奇函数，可知函数关于点（1，0）中心对称，由函数为偶函数，可知函数关于直线对称，则函数的周期为8，则。
7. 设是奇函数，则使的的取值范围是( )
A． B． C． D．[来源:Z#xx#k.Com]
【答案】B
【解析】根据奇函数的性质可得，
，
由，得，即
解不等式可得.故选：B．
8. 已知函数，则不等式的解集是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 ，所以函数是奇函数， ，所以函数是单调递增函数，
那么不等式等价于 ，故选B.
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．）
9. 已知偶函数的图象经过点，且当时，不等式恒成立，则使得成立的的取值可能是( )[来源:Z_xx_k.Com][来源:学*科*网Z*X*X*K]
A．-1 B．3 C．1 D．2
【答案】AB
【解析】由题意，当时，不等式fb-fab-a<0恒成立，所以函数fx在时是减函数，
又由偶函数的图象经过点，所以函数在时是增函数，，
当时，由，得，即
当时，由，得，即，
所以，的取值范围是.故选AB.
10. 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且x<0时，f(x)=ex(x+1).则下列命题正确的有（ ）
A.当x>0时f(x)=ex(x-1) B.函数f(x)有四个零点
C.f(x)>0的解集为(-1,0)∪(1,+∞) D.∀x1,x2∈R都有f(x1)-f(x2)<2
【答案】CD
【解析】因为函数fx是定义在R上的奇函数，且x<0时，fx=exx+1.
所以当x<0时，-x>0，故fx=-f-x=-e-x1-x=x-1e-x，故A不正确.
所以fx=ex(x+1),x<00,x=0e-x(x-1),x>0，当x=-1,0,1时，fx=0即函数fx有三个零点，故B不正确.
不等式fx>0等价于x<0ex(x+1)>0或x>0ex(x-1)>0，
解不等式组可以得-11，所以解集为-1,0∪1,+∞，故C正确.
当x>0时，fx=x-1e-x，f'x=e-x-x-1e-x=2-xe-x，
当00，所以fx在0,2上为增函数；
当x>2时，f'x<0，所以fx在0,2上为减函数；
所以当x>0时fx的取值范围为-1,e-2，因为fx为R上的奇函数，
故fx的值域为-1,1，故∀x1,x2∈R都有fx1-fx2<2，故D正确.
综上，选CD.
三、填空题（本大题共4小题，共计20分．）
11. 已知函数是定义在上的周期为的奇函数，当时，，则______．
【答案】-2
【解析】∵f（x）是定义在R上周期为4的奇函数，
∴f（）＝f（﹣8）＝f（）＝﹣f（）
∵x∈（0，2）时，f（x）＝4x，
∴f（）＝﹣2，
∵f（x）是定义在R上周期为4的奇函数，
∴f（-2）＝f（﹣2+4）＝f（2），同时f（﹣2）＝﹣f（2），
∴f（2）＝0，
∴f（）+f（2）＝﹣2．
故答案为：﹣2

12. 已知y＝f(x)是偶函数，当x>0时，f(x)＝x＋，且当x∈[－3，－1]时，n≤f(x)≤m恒成立，则m－n的最小值是________．
【答案】1
【解析】因为当x∈[－3，－1]时，n≤f(x)≤m恒成立，所以n≤f(x)min且m≥f(x)max，
所以m－n的最小值是f(x)max－f(x)min，又由偶函数的图象关于y轴对称知，当x∈[－3，－1]时，函数的最值与x∈[1,3]时的最值相同，又当x>0时，f(x)＝x＋，在[1,2]上递减，在[2,3]上递增，且f(1)>f(3)，
所以f(x)max－f(x)min＝f(1)－f(2)＝5－4＝1.
四、解答题（本大题共6小题，共计70分．）
13. 定义在R上的奇函数fx满足fx+4=fx，并且当x∈0,1时，fx=2x-1，求flog210的值
【解析】因为fx满足fx+4=fx，
所以函数的周期为4，
由题得flog210=flog210-4=f(log21016)=f(log258)，
因为函数f(x)是奇函数，
所以f(log258)=-f(-log258)=-f(log285)，
因为log285∈（0,1），
所以f(log258)=-f(log285)=-(2log285-1)=-35.
14．已知函数的图像上存在两个点关于轴对称，求实数的取值范围.
【解析】函数的图像上存在两个点关于轴对称,即的图像关于y轴变换后和有交点，即有正根，有正根，
令，
，故导函数恒大于0，原函数单调递增，
故得到，故只需要

15. 已知是定义在上的奇函数，满足，若，
求.
【解析】是定义在上的奇函数，
且，
，，
，，
是周期为4的函数，[来源:Z|xx|k.Com]
，，
，
且，，
又，[来源:学科网ZXXK]
，



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16. 设函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意实数x有f ＝－f 成立．
(1)证明y＝f(x)是周期函数，并指出其周期；
(2)若f(1)＝2，求f(2)＋f(3)的值；
(3)若g(x)＝x2＋ax＋3，且y＝|f(x)|·g(x)是偶函数，求实数a的值．
【解析】(1)由f ＝－f ，
且f(－x)＝－f(x)，知f(3＋x)＝f ＝－f ＝－f(－x)＝f(x)，
所以y＝f(x)是周期函数，且T＝3是其一个周期．
(2)因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，
且f(－1)＝－f(1)＝－2，又T＝3是y＝f(x)的一个周期，所以f(2)＋f(3)＝f(－1)＋f(0)＝－2＋0＝－2.
(3)因为y＝|f(x)|·g(x)是偶函数，
且|f(－x)|＝|－f(x)|＝|f(x)|，所以|f(x)|为偶函数．
故g(x)＝x2＋ax＋3为偶函数，
即g(－x)＝g(x)恒成立，
于是(－x)2＋a(－x)＋3＝x2＋ax＋3恒成立．于是2ax＝0恒成立，所以a＝0.