专题13 指数式与指数函数（解析版）-2021届江苏省新高考数学大讲坛大一轮复习

专题13 指数式与指数函数
2021年江苏新高考考点分析
指数的运算和指数函数的性质是新高考的必考知识点，通常与函数的基本性质，导数综合考查，中等难度。
2021年江苏新高考考点梳理
根式
(1)概念：式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.
(2)性质：()n＝a(a使有意义)；当n为奇数时，＝a，当n为偶数时，＝|a|＝
分数指数幂
(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；正数的负分数指数幂的意义是a－＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.
指数运算：；；；
指数函数的图象和性质

a>1
0
图

象


[来源:Z*xx*k.Com]
性
质[来源:学#科#网Z#X#X#K]
(1)定义域：R[来源:学#科#网Z#X#X#K]
（2）值域：（0，+∞）
（3）过定点（0，1），即x=0时，y=1
(4)x>0时，y>1;x<0时，0 (4)x>0时，01.
（5）在 R上是增函数
（5）在R上是减函数

名师讲坛考点突破
考点1 指数及其运算
例1 化简与求值：0＋2－2·－(0.01)0.5
【答案】
【解析】原式＝1＋×－＝1＋×－＝1＋－＝.
变式训练1. 化简与求值： 0.5＋0.1－2＋－3π0＋
【答案】100
【解析】原式＝＋＋－3＋＝＋100＋－3＋＝100.
变式训练2. 已知＝3，求的值为 ．
【答案】25
【解析】法一　∵＝3，∴两边平方，得()2＝9，即x＋x－1＝7.
两边再平方得x2＋x－2＝47，将等式＝3两边立方，得＝27，
即＝18.∴原式＝.
法二　设＝t，则，
∴原式＝＝.
考点2 比较大小
例2. 已知0b；②a>b； ③loga>logb.
则其中正确的结论个数是(　　)
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
【答案】B　
【解析】对于①，函数y＝x为减函数，所以a>b.又函数y＝xb为增函数，所以b>b，因此a>b，故①正确；对于②，函数y＝x为增函数，所以alogb.又logb>logb，因此loga>logb，故③正确．综上可得①③正确．故选B.
变式训练3. 设，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，，.
因为，故.故选：B
考点3 图像及变换
例3 已知函数f(x)＝|2x－2|(x∈(－1,2))，则函数y＝f(x－1)的值域为（ ）
A. [0,2) B. (0,2) C. [0,2] D. [0,4)
【答案】A
【解析】法一：由于平移不改变值域，故只需要研究原函数的值域．画出函数f(x)＝|2x－2|的图象．由图易得值域为[0,2)．故选A.
法二：因为x∈(－1,2)，所以2x∈，2x－2∈，所以|2x－2|∈[0,2)．因为y＝f(x－1)是由f(x)向右平移1个单位得到的，所以值域不变，所以y＝f(x－1)的值域为[0,2)．故选A.

变式训练4. 若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是（ ）
A. （2,+∞) B. (0,2) C. [0,2] D. [0,4)
【答案】B
【解析】在同一平面直角坐标系中画出y＝|2x－2|与y＝b的图象，如图所示.
∴当0 ∴b的取值范围是(0，2).故选B.

考点4 指数函数值域问题
例4 函数y＝的值域为(　　)
A．(0,1) B．(1，＋∞)
C．(2，＋∞) D．(0,1)∪(1，＋∞)
【答案】D　
【解析】由题≠0，得y＝≠1，又y>0，所以值域为(0,1)∪(1，＋∞)，故选D.
变式训练5. 如果函数y＝a2x＋2ax－1(a>0，且a≠1)在区间[－1，1]上的最大值是14，则a的值为________.
【答案】3或
【解析】令ax＝t，则y＝a2x＋2ax－1＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2.当a>1时，因为x∈
[－1，1]，所以t∈，又函数y＝(t＋1)2－2在上单调递增，所以ymax＝(a＋1)2－2＝14，解得a＝3(负值舍去).当0 考点5 指数函数综合问题
例5. 已知函数f(x)＝(e是自然对数的底)．若函数y＝f(x)的最小值是4，则实数a的取值范围为________．
【答案】[e＋4，＋∞)　
【解析】法1 在x≥1时，f(x)min＝f(2)＝4.所以当x<1时，a－ex≥4恒成立．转化为a≥ex＋4对x<1恒成立．因为ex＋4在(－∞，1)上的值域为(4，e＋4)，所以a≥e＋4.
法2 当x<1时，f(x)＝a－ex>a－e，当x≥1时，f(x)＝x＋≥4，当且仅当x＝，即x＝2时，取“＝”，故函数f(x)的值域是[e＋4，＋∞) .
变式训练6. 已知a>0，且a≠1，若函数y＝|ax－2|与y＝3a的图象有两个交点，则实数a的取值范围是（）
A.(0,23) B.(0,23] C.[0,23] D.[ 0,23)
【答案】A
【解析】①当0 两个交点，则由图象可知0<3a<2，所以0
②当a>1时，作出函数y＝|ax－2|的图象如图(2)，若直线y＝3a与函数y＝|ax－2|(a>1)的图象有两个交点，
则由图象可知0<3a<2，此时无解．
所以实数a的取值范围是.故选A.
新高考模拟试题过关测试
一、 单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．）
1. （（=（ ）
A.101 B.103 C.105 D.109
【答案】D
【解析】原式＝（）6+1＝22×33+2﹣1＝108+2﹣1＝109．故选D.
2. 若函数f(x)＝ax－1(a>0，a≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a＝( )
A.3 B.2 C.3 D.2
【答案】C
【解析】当a>1时，f(x)＝ax－1在[0,2]上为增函数，
则a2－1＝2，所以a＝±.又因为a>1，所以a＝.
当0 又因为f(0)＝0≠2，所以0 3. 下列函数中，既是偶函数，又在区间（1,2）内是增函数的为( )
A. ，xR B. ，xR且x≠0
C. ,xR D. ，xR
【答案】B
【解析】首先判断奇偶性：A,B为偶函数，C为奇函数，D既不是奇函数也不是偶函数,所以排除C、D，
对于先减后增，排除A，故选B.
4. 已知，，求的值为( )
A.7 B.73 C.5 D. 53
【答案】B
【解析】原式=ax+a-xa2x-1+a-2xax+a-x=a2x-1+a-2x=3-1+13=73.故选B.
5. 已知R=2-32,P=(52)3,Q=(12)3，则P、Q、R的大小关系是(     )
A. P 【答案】B
【解析】R=2-32=(12)32>(12)3=Q,R<1，
而P=(52)3>1，
所以Q 6. 若函数f(x)=(3-a)x-3,x≤7ax-6,x>7单调递增，则实数a的取值范围是(    )
A. (94,3) B. [94,3) C. (1,3) D. (2,3)
【答案】B
【解析】∵函数f(x)=(3-a)x-3,x≤7ax-6,x>7单调递增，
所以指数函数、一次函数均单调递增，
由指数函数以及一次函数的单调性的性质，可得3-a>0且a>1，
但应当注意两段函数在衔接点x=7处的函数值大小的比较，
即(3-a)×7-3≤a，解得a≥94，
综上，实数a的取值范围是[94,3)．故选B．
7. 已知函数fx=ax(a>0，且a≠1)在区间m,2m上的值域为m,2m，则m=(   )
A. 2 B. 2 C. 116或2 D. 14或2
【答案】D
【解析】分析知，m>0，
当a>1时，am=ma2m=2m，所以am=2，m=2，a=2；
当0 综上，m=14或2，
故选D．


8. 已知函数f(x)=e|x-1|，若存在a，b∈R，使得f(a)=f(b)=m，且1≤m A. [2,+∞) B. (0,e2) C. (-∞,-2] D. [2,e)
【答案】A
【解析】作出函数图象如图所示．因为当f(a)=f(b)=m，且满足1≤m 则1a+1b=12(a+b)⋅1a+1b=12⋅2+ba+ab≥2，
当且仅当a=b=1时等号成立．
故选A．

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．）
9. 定义运算，设函数，则下列命题正确的有（ ）
A．的值域为
B．的值域为
C．不等式成立的范围是
D．不等式成立的范围是
【答案】AC
【解析】由函数，有,
即，作出函数的图像如下，

根据函数图像有的值域为，
若不等式成立，由函数图像有
当即时成立，
当即时也成立.
所以不等式成立时，.故选：AC.
10. 设函数f(x)=|3x-1|，cf(a)>f(b)，则下列关系式不成立的是(    )
A. 3c>3b B. 3b>3a C. 3c+3a>2 D. 3c+3a<2
【答案】ABC
【解析】依题，fx=3x-1=3x-1,x⩾01-3x,x<0，故可作出fx的图象如下图所示：

由图可知，要使cf(a)>f(b)成立，则有c<0且a>0，
故必有3c<1且3a>1，
又fc-fa>0，即1-3c-3a-1>0，即3c+3a<2，
故D正确，C不成立．
再由指数函数的性质易知AB均不成立，故选择ABC．
三、填空题（本大题共4小题，共计20分．）
11. 已知常数a>0，函数f(x)＝的图象经过点P，Q.若2p+q＝36pq，则a＝________.
【答案】6
【解析】　因为f(x)＝＝，且其图象经过点P，Q，
则f(p)＝＝，即＝－，①
f(q)＝＝－，即＝－6，②
①×②得＝1，则2p＋q＝a2pq＝36pq，
所以a2＝36，解得a＝±6，因为a>0，所以a＝6.
12. 函数f(x)=2x1+2x+1(x>0)的值域为_________．
【答案】 13,12
【解析】由f(x)=2x1+2x+1(x>0)得，f(x)=12+2-x，
∵x>0，∴-x<0，0<2-x<1，
∴13 四、解答题（本大题共6小题，共计70分．）
13. 已知函数f(x)＝4x－2x，实数s，t满足f(s)＋f(t)＝0，设a＝2s＋2t，b＝2s＋t.
(1) 当函数f(x)的定义域为[－1,1]时，求f(x)的值域；
(2) 求函数关系式b＝g(a)，并求函数g(a)的定义域.
【解析】 (1) 若x∈[－1,1]，令m＝2x∈，
f(x)＝l(m)＝m2－m＝2－在上为增函数，
f(x)min＝l(m)min＝l＝－，f(x)max＝l(m)max＝l(2)＝2，
所以f(x)的值域为.
(2) 实数s，t满足f(s)＋f(t)＝0，则4s－2s＋4t－2t＝0，
则(2s＋2t)2－2×2s＋t－(2s＋2t)＝0，
而a＝2s＋2t，b＝2s＋t，所以a2－2b－a＝0，b＝g(a)＝(a2－a)．
由题意，b>0，a>0，则(a2－a)>0，所以a>1.
又2s＋2t＝4s＋4t≥2×2，
即a≥，所以a≤2，当且仅当s＝t时取得等号．
综上所述，g(a)的定义域为(1,2]．
14． 已知函数f(x)＝2x，x∈R.
(1)当m取何值时方程|f(x)－2|＝m有一个解？两个解？
(2)若不等式f2(x)＋f(x)－m>0在R上恒成立，求m的取值范围．
【解析】(1)令F(x)＝|f(x)－2|＝|2x－2|，

G(x)＝m，画出F(x)的图象如图所示．
由图象可知，当m＝0或m≥2时，函数F(x)与G(x)的图象只有一个交点，原方程有一个解；
当0 (2)令f(x)＝t(t>0)，H(t)＝t2＋t，
因为H(t)＝2－在区间(0，＋∞)上是增函数，
所以H(t)>H(0)＝0.
因此要使t2＋t>m在区间(0，＋∞)上恒成立，应有m≤0，即所求m的取值范围为(－∞，0]．
15. 已知函数f(x)＝a|x＋b|(a>0，b∈R)．
(1)若f(x)为偶函数，求b的值；
(2)若f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，试求a，b应满足的条件．
【解析】(1)因为f(x)为偶函数，
所以对任意的x∈R，都有f(－x)＝f(x)．
即a|x＋b|＝a|－x＋b|，|x＋b|＝|－x＋b|，解得b＝0.
(2)记h(x)＝|x＋b|＝
①当a>1时，f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，
即h(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，
所以－b≤2，b≥－2.
②当0 所以f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数时，a，b应满足的条件为a>1且b≥－2.
16. 已知函数f(x)＝3x＋λ·3－x(λ∈R)．
(1)若f(x)为奇函数，求λ的值和此时不等式f(x)>1的解集；
(2)若不等式f(x)≤6对x∈[0,2]恒成立，求实数λ的取值范围．
【解析】 (1)函数f(x)＝3x＋λ·3－x的定义域为R.
因为f(x)为奇函数，
所以f(－x)＋f(x)＝0对∀x∈R恒成立，
即3－x＋λ·3x＋3x＋λ·3－x＝(λ＋1)(3x＋3－x)＝0对∀x∈R恒成立，
所以λ＝－1.
由f(x)＝3x－3－x>1，得(3x)2－3x－1>0，
解得3x>或3x<(舍去)，
所以不等式f(x)>1的解集为.
(2)由f(x)≤6，得3x＋λ·3－x≤6，即3x＋≤6.
令t＝3x∈[1,9]，则问题等价于t＋≤6对t∈[1,9]恒成立，
即λ≤－t2＋6t对t∈[1,9]恒成立，
令g(t)＝－t2＋6t，t∈[1,9]，
因为g(t)在[1,3]上单调递增，在[3,9]上单调递减，
所以当t＝9时，g(t)有最小值g(9)＝－27，
所以λ≤－27，即实数λ的取值范围为(－∞，－27]．