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    2020版高考数学(文)新增分大一轮人教通用版讲义:第九章 平面解析几何9.6
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    2020版高考数学(文)新增分大一轮人教通用版讲义:第九章 平面解析几何9.6

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    §9.6 双曲线
    最新考纲
    考情考向分析
    了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).
    主要侧重双曲线的方程以及以双曲线方程为载体,研究参数a,b,c及与渐近线有关的问题,其中离心率和渐近线是重点.以选择、填空题为主,难度为中低档.一般不再考查与双曲线相关的解答题,解题时应熟练掌握基础内容及双曲线方程的求法,能灵活应用双曲线的几何性质.



    1.双曲线定义
    平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.
    集合P={M|||MF1|-|MF2||=2a},|F1F2|=2c,其中a,c为常数且a>0,c>0.
    (1)当2a<|F1F2|时,P点的轨迹是双曲线;
    (2)当2a=|F1F2|时,P点的轨迹是两条射线;
    (3)当2a>|F1F2|时,P点不存在.
    2.双曲线的标准方程和几何性质
    标准方程
    -=1
    (a>0,b>0)
    -=1
    (a>0,b>0)
    图形


    性质
    范围
    x≥a或x≤-a,y∈R
    x∈R,y≤-a或y≥a
    对称性
    对称轴:坐标轴 对称中心:原点
    顶点
    A1(-a,0),A2(a,0)
    A1(0,-a),A2(0,a)
    渐近线
    y=±x
    y=±x
    离心率
    e=,e∈(1,+∞),其中c=
    实虚轴
    线段A1A2叫做双曲线的实轴,它的长|A1A2|=2a,线段B1B2叫做双曲线的虚轴,它的长|B1B2|=2b;a叫做双曲线的实半轴长,b叫做双曲线的虚半轴长
    a,b,c的关系
    c2=a2+b2 (c>a>0,c>b>0)

    概念方法微思考
    1.平面内与两定点F1,F2的距离之差的绝对值等于常数2a的动点的轨迹一定为双曲线吗?为什么?
    提示 不一定.当2a=|F1F2|时,动点的轨迹是两条射线;
    当2a>|F1F2|时,动点的轨迹不存在;
    当2a=0时,动点的轨迹是线段F1F2的中垂线.
    2.方程Ax2+By2=1表示双曲线的充要条件是什么?
    提示 若A>0,B<0,表示焦点在x轴上的双曲线;若A<0,B>0,表示焦点在y轴上的双曲线.所以Ax2+By2=1表示双曲线的充要条件是AB<0.
    3.与椭圆标准方程相比较,双曲线标准方程中,a,b只限制a>0,b>0,二者没有大小要求,若a>b>0,a=b>0,0 提示 离心率受到影响.∵e== ,故当a>b>0时,10时,e=(亦称等轴双曲线),当0.

    题组一 思考辨析
    1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
    (1)平面内到点F1(0,4),F2(0,-4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.( × )
    (2)方程-=1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线.( × )
    (3)双曲线方程-=λ(m>0,n>0,λ≠0)的渐近线方程是-=0,即±=0.( √ )
    (4)等轴双曲线的渐近线互相垂直,离心率等于.( √ )
    (5)若双曲线-=1(a>0,b>0)与-=1(a>0,b>0)的离心率分别是e1,e2,则+=1(此条件中两条双曲线称为共轭双曲线).( √ )
    题组二 教材改编
    2.若双曲线-=1(a>0,b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长,则该双曲线的离心率为(  )
    A. B.5
    C. D.2
    答案 A
    解析 由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长,双曲线的渐近线方程为±=0,即bx±ay=0,
    ∴2a==b.又a2+b2=c2,∴5a2=c2.
    ∴e2==5,∴e=.
    3.已知a>b>0,椭圆C1的方程为+=1,双曲线C2的方程为-=1,C1与C2的离心率之积为,则C2的渐近线方程为(  )
    A.x±y=0 B.x±y=0
    C.x±2y=0 D.2x±y=0
    答案 A
    解析 椭圆C1的离心率为,双曲线C2的离心率为,所以·=,即a4=4b4,所以a=b,所以双曲线C2的渐近线方程是y=±x,即x±y=0.
    4.经过点A(4,1),且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________.
    答案 -=1
    解析 设双曲线的方程为-=±1(a>0),
    把点A(4,1)代入,得a2=15(舍负),
    故所求方程为-=1.
    题组三 易错自纠
    5.(2016·全国Ⅰ)已知方程-=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是(  )
    A.(-1,3) B.(-1,)
    C.(0,3) D.(0,)
    答案 A
    解析 ∵方程-=1表示双曲线,
    ∴(m2+n)·(3m2-n)>0,解得-m2 由双曲线性质,知c2=(m2+n)+(3m2-n)=4m2(其中c是半焦距),∴焦距2c=2×2|m|=4,解得|m|=1,
    ∴-1 6.若双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线经过点(3,-4),则此双曲线的离心率为(  )
    A. B.
    C. D.
    答案 D
    解析 由条件知y=-x过点(3,-4),∴=4,
    即3b=4a,∴9b2=16a2,∴9c2-9a2=16a2,
    ∴25a2=9c2,∴e=.故选D.
    7.已知双曲线过点(4,),且渐近线方程为y=±x,则该双曲线的标准方程为________________.
    答案 -y2=1
    解析 由双曲线的渐近线方程为y=±x,可设该双曲线的标准方程为-y2=λ(λ≠0),已知该双曲线过点(4,),所以-()2=λ,即λ=1,故所求双曲线的标准方程为-y2=1.

    题型一 双曲线的定义
    例1 (1)已知定点F1(-2,0),F2(2,0),N是圆O:x2+y2=1上任意一点,点F1关于点N的对称点为M,线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P,则点P的轨迹是(  )
    A.椭圆 B.双曲线
    C.抛物线 D.圆
    答案 B
    解析 如图,连接ON,由题意可得|ON|=1,且N为MF1的中点,

    又O为F1F2的中点,∴|MF2|=2.
    ∵点F1关于点N的对称点为M,线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P,
    由垂直平分线的性质可得|PM|=|PF1|,
    ∴||PF2|-|PF1||=||PF2|-|PM||=|MF2|
    =2<|F1F2|,
    ∴由双曲线的定义可得,点P的轨迹是以F1,F2为焦点的双曲线.
    (2)已知F1,F2为双曲线C:x2-y2=2的左、右焦点,点P在C上,|PF1|=2|PF2|,则cos∠F1PF2=________.
    答案 
    解析 ∵由双曲线的定义有
    |PF1|-|PF2|=|PF2|=2a=2,
    ∴|PF1|=2|PF2|=4,
    则cos∠F1PF2=
    ==.
    引申探究
    1.本例(2)中,若将条件“|PF1|=2|PF2|”改为“∠F1PF2=60°”,则△F1PF2的面积是多少?
    解 不妨设点P在双曲线的右支上,
    则|PF1|-|PF2|=2a=2,
    在△F1PF2中,由余弦定理,得
    cos∠F1PF2==,
    ∴|PF1|·|PF2|=8,
    ∴=|PF1|·|PF2|·sin 60°=2.
    2.本例(2)中,若将条件“|PF1|=2|PF2|”改为“·=0”,则△F1PF2的面积是多少?
    解 不妨设点P在双曲线的右支上,
    则|PF1|-|PF2|=2a=2,
    ∵·=0,∴⊥,
    ∴在△F1PF2中,有|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,
    即|PF1|2+|PF2|2=16,
    ∴|PF1|·|PF2|=4,
    ∴=|PF1|·|PF2|=2.
    思维升华 (1)利用双曲线的定义判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线,进而根据要求可求出双曲线方程.
    (2)在“焦点三角形”中,常利用正弦定理、余弦定理,经常结合||PF1|-|PF2||=2a,运用平方的方法,建立与|PF1|·|PF2|的联系.
    跟踪训练1 设双曲线x2-=1的左、右焦点分别为F1,F2,若点P在双曲线上,且△F1PF2为锐角三角形,则|PF1|+|PF2|的取值范围是________.
    答案 (2,8)
    解析 如图,由已知可得a=1,b=,c=2,从而|F1F2|=4,由对称性不妨设P在右支上,

    设|PF2|=m,
    则|PF1|=m+2a=m+2,
    由于△PF1F2为锐角三角形,
    结合实际意义需满足

    解得-1+ ∴2<2m+2<8.
    题型二 双曲线的标准方程
    例2 (1)(2018·大连调研)已知圆C1:(x+3)2+y2=1和圆C2:(x-3)2+y2=9,动圆M同时与圆C1及圆C2相外切,则动圆圆心M的轨迹方程为________________.
    答案 x2-=1(x≤-1)
    解析 如图所示,设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B.

    根据两圆外切的条件,
    得|MC1|-|AC1|=|MA|,
    |MC2|-|BC2|=|MB|,
    因为|MA|=|MB|,
    所以|MC1|-|AC1|=|MC2|-|BC2|,
    即|MC2|-|MC1|=|BC2|-|AC1|=2,
    所以点M到两定点C2,C1的距离的差是常数且小于|C1C2|=6.
    又根据双曲线的定义,得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大,与C1的距离小),
    其中a=1,c=3,则b2=8.
    故点M的轨迹方程为x2-=1(x≤-1).
    (2)根据下列条件,求双曲线的标准方程:
    ①虚轴长为12,离心率为;
    ②焦距为26,且经过点M(0,12);
    ③经过两点P(-3,2)和Q(-6,-7).
    解 ①设双曲线的标准方程为
    -=1或-=1(a>0,b>0).
    由题意知,2b=12,e==,
    ∴b=6,c=10,a=8.
    ∴双曲线的标准方程为-=1或-=1.
    ②∵双曲线经过点M(0,12),∴M(0,12)为双曲线的一个顶点,故焦点在y轴上,且a=12.
    又2c=26,∴c=13,∴b2=c2-a2=25.
    ∴双曲线的标准方程为-=1.
    ③设双曲线方程为mx2-ny2=1(mn>0).
    ∴解得
    ∴双曲线的标准方程为-=1.
    思维升华 求双曲线标准方程的方法
    (1)定义法
    (2)待定系数法
    ①当双曲线焦点位置不确定时,设为Ax2+By2=1(AB<0).
    ②与双曲线-=1共渐近线的双曲线方程可设为-=λ(λ≠0);
    ③与双曲线-=1共焦点的双曲线方程可设为-=1(-b2 跟踪训练2 (1)(2018·沈阳调研)设椭圆C1的离心率为,焦点在x轴上且长轴长为26,若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8,则曲线C2的标准方程为________________.
    答案 -=1
    解析 由题意知椭圆C1的焦点坐标为F1(-5,0),F2(5,0),设曲线C2上的一点P,则||PF1|-|PF2||=8.
    由双曲线的定义知,a=4,b=3.
    故曲线C2的标准方程为-=1.
    即-=1.
    (2)(2017·全国Ⅲ)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=x,且与椭圆+=1有公共焦点,则C的方程为(  )
    A.-=1 B.-=1
    C.-=1 D.-=1
    答案 B
    解析 由y=x,可得=. ①
    由椭圆+=1的焦点为(3,0),(-3,0),
    可得a2+b2=9. ②
    由①②可得a2=4,b2=5.
    所以C的方程为-=1.故选B.

    题型三 双曲线的几何性质

    命题点1 与渐近线有关的问题
    例3 已知F1,F2是双曲线C:-=1(a>0,b>0)的两个焦点,P是C上一点,若|PF1|+|PF2|=6a,且△PF1F2最小内角的大小为30°,则双曲线C的渐近线方程是(  )
    A.x±y=0 B.x±y=0
    C.x±2y=0 D.2x±y=0
    答案 A
    解析 由题意,不妨设|PF1|>|PF2|,则根据双曲线的定义得,|PF1|-|PF2|=2a,又|PF1|+|PF2|=6a,解得|PF1|=4a,|PF2|=2a.在△PF1F2中,|F1F2|=2c,而c>a,所以有|PF2|<|F1F2|,所以∠PF1F2=30°,
    所以(2a)2=(2c)2+(4a)2-2·2c·4acos 30°,得c=a,所以b==a.所以双曲线的渐近线方程为y=±x=±x,即x±y=0.
    命题点2 求离心率的值(或范围)
    例4 已知直线l为双曲线:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线,直线l与圆(x-c)2+y2=a2(其中c2=a2+b2,c>0)相交于A,B两点,若|AB|=a,则双曲线C的离心率为________.
    答案 
    解析 由题意可知双曲线的渐近线方程为bx±ay=0,圆(x-c)2+y2=a2的圆心为(c,0),半径为a.因为直线l为双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线,与圆(x-c)2+y2=a2(其中c2=a2+b2,c>0)相交于A,B两点,且|AB|=a,所以2+2=a2,即4b2=3a2,即4(c2-a2)=3a2,即=,又e=,且e>1,所以e=.
    思维升华 (1)求双曲线的渐近线的方法
    求双曲线-=1(a>0,b>0)或-=1(a>0,b>0)的渐近线方程的方法是令右边的常数等于0,即令-=0,得y=±x;或令-=0,得y=±x.反之,已知渐近线方程为y=±x,可设双曲线方程为-=λ(a>0,b>0,λ≠0).
    (2)求双曲线的离心率
    ①求双曲线的离心率或其范围的方法
    (ⅰ)求a,b,c的值,由==1+直接求e.
    (ⅱ)列出含有a,b,c的齐次方程(或不等式),借助于b2=c2-a2消去b,然后转化成关于e的方程(或不等式)求解.
    ②双曲线的渐近线的斜率k与离心率e的关系:k====.
    跟踪训练3 (2018·锦州模拟)已知F1,F2是双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过F1的直线l与双曲线的左右两支分别交于点B,A,若△ABF2为等边三角形,则双曲线的离心率为(  )
    A. B.4 C. D.
    答案 A
    解析 因为△ABF2为等边三角形,
    所以不妨设|AB|=|BF2|=|AF2|=m,
    因为A为双曲线右支上一点,
    所以|F1A|-|F2A|=|F1A|-|AB|=|F1B|=2a,
    因为B为双曲线左支上一点,
    所以|BF2|-|BF1|=2a,|BF2|=4a,
    由∠ABF2=60°,得∠F1BF2=120°,
    在△F1BF2中,由余弦定理得4c2=4a2+16a2-2·2a·4a·cos 120°,
    得c2=7a2,则e2=7,又e>1,所以e=.故选A.


    高考中离心率问题
    离心率是椭圆与双曲线的重要几何性质,是高考重点考查的一个知识点,这类问题一般有两类:一类是根据一定的条件求离心率;另一类是根据一定的条件求离心率的取值范围,无论是哪类问题,其难点都是建立关于a,b,c的关系式(等式或不等式),并且最后要把其中的b用a,c表示,转化为关于离心率e的关系式,这是化解有关椭圆与双曲线的离心率问题难点的根本方法.
    例1 已知椭圆E:+=1(a>b>0)的右焦点为F,短轴的一个端点为M,直线l:3x-4y=0交椭圆E于A,B两点.若|AF|+|BF|=4,点M到直线l的距离不小于,则椭圆E的离心率的取值范围是(  )
    A. B.
    C. D.
    答案 A
    解析 设左焦点为F0,连接F0A,F0B,则四边形AFBF0为平行四边形.

    ∵|AF|+|BF|=4,
    ∴|AF|+|AF0|=4,
    ∴a=2.
    设M(0,b),则M到直线l的距离d=≥,
    ∴1≤b<2.
    离心率e=== = ∈,
    故选A.
    例2 已知F1,F2为双曲线的焦点,过F2作垂直于实轴的直线交双曲线于A,B两点,BF1交y轴于点C,若AC⊥BF1,则双曲线的离心率为(  )
    A. B.
    C.2 D.2
    答案 B
    解析 不妨设双曲线方程为-=1(a>0,b>0),
    由已知,取A点坐标为,取B点坐标为,则C点坐标为且F1(-c,0).由AC⊥BF1知·=0,又=,=,可得2c2-=0,又b2=c2-a2,可得3c4-10c2a2+3a4=0,则有3e4-10e2+3=0,可得e2=3或,又e>1,
    所以e=.故选B.


    1.(2018·鄂尔多斯调研)已知双曲线-=1(a>0,b>0),点(4,-2)在它的一条渐近线上,则离心率等于(  )
    A. B. C. D.
    答案 B
    解析 渐近线方程为y=-x,
    故(4,-2)满足方程-2=-×4,所以=,
    所以e== = =,故选B.
    2.(2018·新余摸底)双曲线-=1(a≠0)的渐近线方程为(  )
    A.y=±2x B.y=±x
    C.y=±4x D.y=±x
    答案 A
    解析 根据双曲线的渐近线方程知,
    y=±x=±2x,故选A.
    3.(2018·辽宁省五校联考)在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为,从双曲线C的右焦点F引渐近线的垂线,垂足为A,若△AFO的面积为1,则双曲线C的方程为(  )
    A.-=1 B.-y2=1
    C.-=1 D.x2-=1
    答案 D
    解析 因为双曲线C的右焦点F到渐近线的距离|FA|=b,|OA|=a,所以ab=2,又双曲线C的离心率为,所以 =,即b2=4a2,解得a2=1,b2=4,所以双曲线C的方程为x2-=1,故选D.
    4.已知F1,F2为双曲线C:x2-y2=1的左、右焦点,点P在C上,∠F1PF2=60°,则|PF1|·|PF2|等于(  )
    A.2 B.4 C.6 D.8
    答案 B
    解析 由双曲线的方程,得a=1,c=,由双曲线的定义得||PF1|-|PF2||=2.
    在△PF1F2中,由余弦定理,得
    |F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos 60°=|PF1|2+|PF2|2-|PF1|·|PF2|
    =(|PF1|-|PF2|)2+|PF1|·|PF2|
    =22+|PF1|·|PF2|=(2)2,
    解得|PF1|·|PF2|=4.故选B.
    5.已知双曲线x2-=1的左、右焦点分别为F1,F2,双曲线的离心率为e,若双曲线上存在一点P使=e,则·的值为(  )
    A.3 B.2 C.-3 D.-2
    答案 B
    解析 由题意及正弦定理得
    ==e=2,
    ∴|PF1|=2|PF2|,
    由双曲线的定义知|PF1|-|PF2|=2,
    ∴|PF1|=4,|PF2|=2,
    又|F1F2|=4,
    由余弦定理可知
    cos∠PF2F1=
    ==,
    ∴·=||·||·cos∠PF2F1
    =2×4×=2.故选B.
    6.(2018·沈阳模拟)已知双曲线-=1的右焦点为F,P为双曲线左支上一点,点A(0,),则△APF周长的最小值为(  )
    A.4+ B.4(1+)
    C.2(+) D.+3
    答案 B
    解析 由题意知F(,0),设左焦点为F0,则F0(-,0),由题意可知△APF的周长l为|PA|+|PF|+|AF|,而|PF|=2a+|PF0|,∴l=|PA|+|PF0|+2a+|AF|≥|AF0|+|AF|+2a=++2×2=4+4=4(+1),当且仅当A,F0,P三点共线时取得“=”,故选B.
    7.已知离心率为的双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,M是双曲线C的一条渐近线上的点,且OM⊥MF2,O为坐标原点,若=16,则双曲线的实轴长是(  )
    A.32 B.16 C.84 D.4
    答案 B
    解析 由题意知F2(c,0),不妨令点M在渐近线y=x上,由题意可知|F2M|==b,所以|OM|==a.由=16,可得ab=16,即ab=32,又a2+b2=c2,=,所以a=8,b=4,c=4,所以双曲线C的实轴长为16.故选B.
    8.(2018·葫芦岛模拟)已知双曲线C1:-=1(a>0,b>0),圆C2:x2+y2-2ax+a2=0,若双曲线C1的一条渐近线与圆C2有两个不同的交点,则双曲线C1的离心率的取值范围是(  )
    A. B.
    C.(1,2) D.(2,+∞)
    答案 A
    解析 由双曲线方程可得其渐近线方程为y=±x,即bx±ay=0,圆C2:x2+y2-2ax+a2=0可化为(x-a)2+y2=a2,圆心C2的坐标为(a,0),半径r=a,由双曲线C1的一条渐近线与圆C2有两个不同的交点,得2b,即c2>4b2,又知b2=c2-a2,所以c2>4(c2-a2),即c21,所以双曲线C1的离心率的取值范围为,故选A.

    9.(2016·北京)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线为2x+y=0,一个焦点为(,0),则a=________;b=________.
    答案 1 2
    解析 由2x+y=0,得y=-2x,所以=2.
    又c=,a2+b2=c2,解得a=1,b=2.
    10.(2018·河北名校名师俱乐部二调)已知F1,F2分别是双曲线x2-=1(b>0)的左、右焦点,A是双曲线上在第一象限内的点,若|AF2|=2且∠F1AF2=45°,延长AF2交双曲线的右支于点B,则△F1AB的面积等于________.
    答案 4
    解析 由题意知a=1,由双曲线定义知|AF1|-|AF2|=2a=2,|BF1|-|BF2|=2a=2,

    ∴|AF1|=2+|AF2|=4,|BF1|=2+|BF2|.由题意知|AB|=|AF2|+|BF2|=2+|BF2|,
    ∴|BA|=|BF1|,∵△BAF1为等腰三角形,∠F1AF2=45°,∴∠ABF1=90°,∴△BAF1为等腰直角三角形.
    ∴|BA|=|BF1|=|AF1|=×4=2,
    ∴=|BA|·|BF1|=×2×2=4.
    11.(2018·辽阳模拟)已知焦点在x轴上的双曲线+=1,它的焦点到渐近线的距离的取值范围是__________.
    答案 (0,2)
    解析 对于焦点在x轴上的双曲线-=1(a>0,b>0),它的焦点(c,0)到渐近线bx-ay=0的距离为=b.双曲线+=1,即-=1,其焦点在x轴上,则解得4 12.(2018·福建六校联考)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右焦点为F,左顶点为A,以F为圆心,FA为半径的圆交C的右支于P,Q两点,△APQ的一个内角为60°,则双曲线C的离心率为________.
    答案 
    解析 设左焦点为F1,由于双曲线和圆都关于x轴对称,
    又△APQ的一个内角为60°,
    ∴∠PAF=30°,∠PFA=120°,|AF|=|PF|=c+a,
    ∴|PF1|=3a+c,
    在△PFF1中,由余弦定理得,
    |PF1|2=|PF|2+|F1F|2-2|PF||F1F|cos∠F1FP,
    即3c2-ac-4a2=0,即3e2-e-4=0,∴e=(舍负).

    13.(2018·营口调研)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P为双曲线C上第二象限内一点,若直线y=x恰为线段PF2的垂直平分线,则双曲线C的离心率为(  )
    A. B.
    C. D.
    答案 C
    解析 如图,

    直线PF2的方程为y=-(x-c),设直线PF2与直线y=x的交点为N,易知N.又线段PF2的中点为N,所以P.因为点P在双曲线C上,所以-=1,即5a2=c2,所以e==.故选C.
    14.已知F1,F2是双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过F1的直线l与双曲线的左支交于点A,与右支交于点B,若|AF1|=2a,∠F1AF2=,则等于(  )
    A.1 B.
    C. D.
    答案 B
    解析 如图所示,由双曲线定义可知|AF2|-|AF1|=2a.

    又|AF1|=2a,所以|AF2|=4a,因为∠F1AF2=π,所以=|AF1|·|AF2|·sin∠F1AF2=×2a×4a×=2a2.由双曲线定义可知|BF1|-|BF2|=2a,所以|BF1|=2a+|BF2|,又知|BF1|=2a+|BA|,所以|BA|=|BF2|.又知∠BAF2=,所以△BAF2为等边三角形,边长为4a,所以=|AB|2=×(4a)2=4a2,所以==.

    15.已知双曲线E:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,|F1F2|=8,P是E右支上的一点,PF1与y轴交于点A,△PAF2的内切圆与边AF2的切点为Q.若|AQ|=,则E的离心率是(  )
    A.2 B.
    C. D.
    答案 D
    解析 如图所示,设PF1,PF2分别与△PAF2的内切圆切于M,N,依题意,有|MA|=|AQ|,|NP|=|MP|,
    |NF2|=|QF2|,

    |AF1|=|AF2|=|QA|+|QF2|,2a=|PF1|-|PF2|=(|AF1|+|MA|+|MP|)-(|NP|+|NF2|)=2|QA|=2,故a=,从而e===,故选D.
    16.已知双曲线-=1 (a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线的右支上,且|PF1|=6|PF2|,则此双曲线的离心率e的最大值为________.
    答案 
    解析 由定义,知|PF1|-|PF2|=2a.
    又|PF1|=6|PF2|,∴|PF1|=a,|PF2|=a.
    当P,F1,F2三点不共线时,
    在△PF1F2中,由余弦定理,
    得cos∠F1PF2=
    ==-e2,
    即e2=-cos∠F1PF2.
    ∵cos∠F1PF2∈(-1,1),∴e∈.
    当P,F1,F2三点共线时,
    ∵|PF1|=6|PF2|,∴e==,
    综上,e的最大值为.
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