专题10 函数的单调性与最值（解析版）-2021届江苏省新高考数学大讲坛大一轮复习

专题10 函数的单调性与最值
2021年江苏新高考考点分析
2021年江苏新高考考点梳理
1.函数的单调性
（1）设那么
上是增函数；上是减函数.
（2）设函数在某个区间内可导，
若，则为增函数；若，则为减函数.
2. 判断函数单调性（定义）作差法：对带根号的一定要分子有理化，例如：

在进行讨论.
3.函数的最值
前提
设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件
①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；
②存在x∈I，使得f(x)＝M
①对于任意x∈I，都有f(x)≥M；
②存在x∈I，使得f(x)＝M
结论
M为函数y＝f(x)的最大值
M为函数y＝f(x)的最小值
注意：1．易混淆两个概念：“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”，前者指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集．
2．若函数在两个不同的区间上单调性相同，则这两个区间要分开写，不能写成并集．例如，函数f(x)在区间(－1,0)上是减函数，在(0,1)上是减函数，但在(－1,0)∪(0,1)上却不一定是减函数，如函数f(x)＝.
3．两函数f(x)，g(x)在x∈(a，b)上都是增(减)函数，则f(x)＋g(x)也为增(减)函数，但f(x)·g(x)等的单调性与其正负有关，切不可盲目类比．
名师讲坛考点突破
考点1 函数单调性的定义及单调区间的求法
例1 函数f(x)=x2|x|的单调递减区间为(    )．
A. (1,+∞) B. (0,+∞) C. (-∞,-1) D. (-∞,0)
【答案】D
【解析】函数f(x)=x2|x|=x,x>0-x,x<0，易知该函数的单调递减区间为-∞,0,故选D．
变式训练1. 下列函数中，在区间(0，＋∞)上为减函数的是(　　)
A．y＝　　 B．y＝x2－1
C．y＝()x　　 D．y＝log2x
【答案】B
【解析】　y＝，y＝x2－1，y＝log2x在(0，＋∞)上都为增函数，y＝()x在(0，＋∞)上为减函数，
故选B.
变式训练2. f(x)是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(3)＝1，当f(x)＋f(x－8)≤2时，x的取值范围是____________．
【答案】(8,9]
【解析】因为f(9)＝f(3)＋f(3)＝2，所以由f(x)＋f(x－8)≤2，可得f[x(x－8)]≤f(9)，因为f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，所以有解得8＜x≤9.
考点2 单调性的证明
例2. 判断并证明函数f(x)＝(a≠0)在(－1，1)上的单调性．
【解析】解法一：设－1＜x1＜x2＜1，

＝，
由于－1＜x1＜x2＜1，
所以x2－x1＞0，x1－1＜0，x2－1＜0，[来源:学科网]
故当a＞0时，f(x1)－f(x2)＞0，
即f(x1)＞f(x2)，
函数f(x)在(－1，1)上单调递减；
当a＜0时，f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，
函数f(x)在(－1，1)上单调递增．[来源:学科网ZXXK]
解法二：f′(x)＝＝，
所以当a>0时，f′(x)<0，当a<0时，f′(x)>0，
即当a>0时，f(x)在(－1，1)上为单调递减函数，
当a<0时，f(x)在(－1，1)上为单调递增函数．
变式训练3. 已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足＝f(x1)－f(x2)，且当x>1时，f(x)<0.
(1)证明：f(x)为单调递减函数；
(2)若f(3)＝－1，求f(x)在[2,9]上的最小值．
【解】(1)证明：任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1>x2，
则>1，由于当x>1时，f(x)<0，
所以<0，即f(x1)－f(x2)<0，
因此f(x1) 所以函数f(x)在区间(0，＋∞)上是单调递减函数．
(2)因为f(x)在(0，＋∞)上是单调递减函数，
所以f(x)在[2,9]上的最小值为f(9)．
由＝f(x1)－f(x2)得，＝f(9)－f(3)，
而f(3)＝－1，所以f(9)＝－2.
所以f(x)在[2,9]上的最小值为－2.
考点3 复合函数的单调性问题
例3 函数f(x)＝ln (x2－2x－8)的单调递增区间是(　　)
A．(－∞，－2) B．(－∞，1)
C．(1，＋∞) D．(4，＋∞)
【答案】D
【解析】由x2－2x－8>0，得x>4或x<－2.设t＝x2－2x－8，则y＝ln t为增函数．要求函数f(x)的单调递增区间，即求函数t＝x2－2x－8在定义域内的单调递增区间．∵函数t＝x2－2x－8在(－∞，－2)上单调递减，在(4，＋∞)上单调递增，∴函数f(x)的单调递增区间为(4，＋∞)．
变式训练4. 函数y＝的单调递减区间为________．
【答案】(－∞，－3]
【解析】令u＝x2＋x－6，则y＝可以看作是由y＝与u＝x2＋x－6复合而成的函数．
令u＝x2＋x－6≥0，得x≤－3或x≥2.
易知u＝x2＋x－6在(－∞，－3]上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数，而y＝在[0，＋∞)上是增函数，
所以y＝的单调递减区间为(－∞，－3]．
考点4 含参数函数的单调性问题
例4 函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】当时，函数在上单调递减，
所以，的递增区间是，
所以，即，故选:B.
变式训练5. 已知函数f(x)＝x－＋在(1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是________．
【解析】　法一：设11.
因为函数f(x)在(1，＋∞)上是增函数，
所以f(x1)－f(x2)＝x1－＋－
因为x1－x2<0，所以1＋>0，即a>－x1x2.
因为11，所以－x1x2<－1，所以a≥－1.
所以a的取值范围是[－1，＋∞)．
法二：由f(x)＝x－＋得f′(x)＝1＋，
由题意得1＋≥0(x＞1)，
可得a≥－x2，当x∈(1，＋∞)时，－x2＜－1.所以a的取值范围是[－1，＋∞)．
新高考模拟试题过关测试
一、 单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．）
1. 若函数y＝ax与y＝－在(0，＋∞)上都是减函数，则y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上是(　　)
A．增函数 B．减函数[来源:学&科&网]
C．先增后减 D．先减后增
【答案】B
【解析】∵y＝ax与y＝－在(0，＋∞)上都是减函数，∴a<0，b<0，∴y＝ax2＋bx的对称轴方程x＝－<0，∴y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上为减函数．
2. 若函数f(x)＝2|x－a|＋3在区间[1，＋∞)上不单调，则a的取值范围是(　　)
A．[1，＋∞) B．(1，＋∞)
C．(－∞，1) D．(－∞，1]
【答案】B.
【解析】：因为函数f(x)＝2|x－a|＋3＝，因为函数f(x)＝2|x－a|＋3在区间[1，＋∞)上不单调，所以a＞1.所以a的取值范围是(1，＋∞)．故选B.
3. 设函数f(x)在R上为增函数，则下列结论一定正确的是(　　)
A．y＝在R上为减函数
B．y＝|f(x)|在R上为增函数
C．y＝2－f(x)在R上为减函数
D．y＝－[f(x)]3在R上为增函数
【答案】C
【解析】A错误，比如f(x)＝x在R上为增函数，但y＝＝在R上不具有单调性；B错误，比如f(x)＝x在R上为增函数，但y＝|f(x)|＝|x|在(0，＋∞)上为增函数，在(－∞，0)上为减函数；D错误，比如f(x)＝x在R上为增函数，但y＝－[f(x)]3＝－x3在R上为减函数；C正确，由复合函数同增异减，得y＝2－f(x)在R上为减函数．故选C.
4. 已知函数f(x)=x|x+2|，则f(x)的单调递减区间为(      )
A. [-2,0] B. [-2,1] C. [-2,-1] D. [-2,+∞)
【答案】C
【解析】由于f(x)=x|x+2|=x2+2x,x≥-2,-x2-2x,x<-2,
当x≥-2时，y=x2+2x=(x+1)2-1，显然，f(x)在[-2,-1]上单调递减；
当x<-2时，y=-x2-2x=-(x+1)2+1，显然，f(x)在(-∞,-2)上单调递增．
综上可知，f(x)的单调递减区间是[-2,-1]．故选C．
5. 设p：“函数fx=2x2-mx+5m在(-∞,-2]上单调递减”，q：“∀x>0，2x3+8x3≥3-m”，则p是q的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】因为函数fx=2x2-mx+5m在(-∞,-2]上单调递减，
所以-m-4≥-2，即m≥-8．
因为∀x>0时，2x3+8x3≥22x3⋅8x3=8，
所以“∀x>0，2x3+8x3≥3-m”等价于3-m≤8，即m≥-5，
因为集合-5,+∞⫋-8,+∞,
所以p是q的必要不充分条件．故选B．
6. 函数fx=log13x-x2的单调递增区间是  (       )．
A. 12,+∞ B. 12,1 C. 0,1 D. -∞,0
【答案】B
【解析】由题意知x-x2>0，解得0 设g(x)=x-x2，开口向下，对称轴为x=12，
所以g(x)的单调减区间为12,1，
由复合函数的性质同增异减可得f(x)得单调增区间为12,1．故选B．
7. 若f(x)=lg(x2-2ax+1+a)在区间(-∞,1]上递减，则a的取值范围为(    )
A. [1,2) B. [1,2] C. [1,+∞) D. [2,+∞)
【答案】A
【解析】令u=x2-2ax+1+a，则f(u)=lgu，
配方得u=x2-2ax+1+a=(x-a)2-a2+a+1，故对称轴为x=a，如图所示：

由图象可知，当对称轴a≥1时，u=x2-2ax+1+a在区间(-∞,1]上单调递减，
又真数x2-2ax+1+a>0，二次函数u=x2-2ax+1+a在(-∞,1]上单调递减，
故只需当x=1时，若x2-2ax+1+a>0，
则x∈(-∞,1]时，真数x2-2ax+1+a>0，
代入x=1解得a<2，所以a的取值范围是[1,2)．故选：A．
8. 已知fx=x2-4ax+3,x<1logax+2a,x≥1满足对任意x1≠x2，都有fx1-fx2x1-x2<0成立，那么a的取值范围是(    )
A. 0,12 B. 12,1 C. 12,23 D. 23,1
【答案】C
【解析】∵f(x)=x2-4ax+3,x<1logax+2a,x≥1，满足对任意x1≠x2，都有f(x1)-f(x2)x1-x2<0成立，
∴分段函数f(x)函数是R上的减函数，
∴0 二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．）
9. 若函数f(x)＝为R上的减函数，则实数a的取值可能为(　　)
A．4　 B．5 C．6　　 D．7
【答案】ABC
【解析】因为函数f(x)＝为R上的减函数，所以y＝x2－x＋8，x≤1，y＝，x>1是减函数，且当x＝1时，9－≥a，则解得4≤a≤6，故选A、B、C.
10. 设f(x)＝若f(0)是f(x)的最小值，则a的取值可能（ ）
A．0　 B．1 C．2　　 D．3
【答案】ABC
【解析】：因为当x≤0时，f(x)＝(x－a)2，f(0)是f(x)的最小值，所以a≥0.当x＞0时，f(x)＝x＋＋a≥2＋a，当且仅当x＝1时取“＝”．要满足f(0)是f(x)的最小值，需2＋a≥f(0)＝a2，即a2－a－2≤0，解得－1≤a≤2，
所以a的取值范围是0≤a≤2.故选ABC.
三、填空题（本大题共4小题，共计20分．）
11. 设函数f(x)＝g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的单调递减区间是________．
【答案】[0，1)
【解析】由题意知g(x)＝函数图象如图所示

其递减区间是[0，1)．
12. 已知f(x)=x2+1,x≥0,-x2+1,x<0,若f(2-a2)>f(a)，则实数a的取值范围是___________
【答案】(-2,1)
【解析】∵f(x)=x2+1,x≥0-x2+1,x<0,
当x≥0时，函数fx单调递增，
当x<0时，函数单调递增，
且f0=0，函数在x=0处连续，
∴函数fx在R上递增，
∵f(2-a2)>f(a)，∴2-a2>a，即a2+a-2<0，解得-2 ∴a的取值范围为(-2,1)．故答案为(-2,1)．
13. 已知函数f(x)＝ln x＋x，若f(a2－a)>f(a＋3)，则正数a的取值范围是________．
【答案】(3，＋∞)
【解析】∵函数f(x)＝ln x＋x的定义域为(0，＋∞)，且为单调递增函数，∴f(a2－a)>f(a＋3)同解于解得a>3.所以正数a的取值范围是(3，＋∞)．
14. 已知函数f(x)=32x2+(a+4)x-2lnx在区间(1,2)上存在最值，则实数a的取值范围是______．
【答案】(-9,-5)
【解析】对函数求导可得f’(x)=3x+(a+4)-2x=3x2+(a+4)x-2x，
函数f(x)在区间(1,2)上存在最大值，
则原问题可转化为，即：f’(1)f’(2)<0.
a+51×18+2a2<0，
求解不等式可得-9 即实数a的取值范围是(-9,-5)．故答案为(-9,-5)．


四、解答题（本大题共6小题，共计70分．）
15. 判断函数f(x)=ax+x-3x+2(a>1)，x∈(-2,+∞)的单调性，并用单调性的定义证明你的结论．
【解析】该函数在(-2,+∞)上单调递增．
证明如下：任取x1，x2∈(-2,+∞)，
不妨设x10，x1+2>0，x2+2>0，
又a>1，所以ax2>ax1，
即有ax2-ax1>0，所以
f(x2)-f(x1)=ax2+x2-3x2+2-ax1-x1-3x1+2=(ax2-ax1)+(x2-3)(x1+2)-(x1-3)(x2+2)(x1+2)(x2+2)=(ax2-ax1)+5(x2-x1)(x1+2)(x2+2)>0，故函数f(x)在(-2,+∞)上单调递增．
16．设函数f (x)=1-1x(x>0)．
(1)作出函数f (x)的图象；
(2)当0 (3)若方程f (x)=m有两个不相等的正根，求实数m的取值范围．
【解析】(1)函数f (x)=1-1x(x>0)的图象如图所示，

(2)因为f (x)=1-1x=1x-1,x∈(0,1]1-1x,x∈(1,+∞),
故f (x)在(0,1]上是减函数，在(1,+∞)上是增函数，
由0 且1a-1=1-1b，所以1a+1b=2；
(3)方程f (x)=m有两个不相等的正根，
即当x>0时，函数y=f(x)的图象与直线y=m有两个不同的交点，
由函数f (x)的图象可知，
当0 方程f (x)=m有两个不相等的正根，
即实数m的取值范围为(0,1)．
17. 已知f(x)＝(x≠a)．
(1)若a＝－2，试证f(x)在(－∞，－2)上单调递增；
(2)若a＞0且f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求a的取值范围．
【解析】(1)证明：设x1＜x2＜－2，则f(x1)－f(x2)＝－＝.
因为(x1＋2)(x2＋2)＞0，x1－x2＜0，所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，
所以f(x)在(－∞，－2)上单调递增．
(2)设1＜x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝－＝.
因为a＞0，x2－x1＞0，所以要使f(x1)－f(x2)＞0，只需(x1－a)(x2－a)＞0恒成立，[来源:学科网]
所以a≤1.综上所述，0＜a≤1.
18. 已知二次函数，为偶函数，函数的图象与直线相切．
（1）求的解析式；
（2）若函数在上是单调减函数，那么：
①求k的取值范围；
②是否存在区间（），使得在区间上的值域恰好为？若存在，请求出区间；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）∵为偶函数，∴，即
恒成立，即恒成立，
∴，∴，∴．∵函数的图象与直线相切，∴二次方程有两相等实数根，∴，∴，．（4分）
（2）①∵，∴．∵在上是单调减函数，∴在上恒成立，∴，得．故k的取值范围为．（8分）
②∵，∴，∴，又∵，∴，∴，∴在上是单调增函数，∴即即∵，且，
故：当时，；当时，；
当时，不存在．