专题09 函数的概念及表示方法（解析版）-2021届江苏省新高考数学大讲坛大一轮复习

专题09  函数的概念及表示方法

2021年江苏新高考考点分析

函数是特殊的映射，定义域，对应法则，值域是函数的三要素，解析，图像，列表是函数的表示方法，函数的三要素和函数的表示方法是新高考函数的基础。

2021年江苏新高考考点梳理

(1) 函数的概念:设A，B是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，那么这样的对应叫做从A到B的一个函数，记为y＝f(x)，x∈A.

（2）函数三要素是定义域，对应法则和值域，而定义域和对应法则是起决定作用的要素，因为这二者确定后，值域也就相应得到确定，因此只有定义域和对应法则二者完全相同的函数才是同一函数.

（3）函数表达式的求法：①定义法；②换元法；③待定系数法.

（4）反函数的求法：先解x,互换x、y，注明反函数的定义域(即原函数的值域).

（5）函数的定义域的求法：列使函数有意义的自变量的不等关系式，求解即可求得函数的定义域.常涉及到的依据为①分母不为0；②偶次根式中被开方数不小于0；③对数的真数大于0，底数大于零且不等于1；④零指数幂的底数不等于零；⑤实际问题要考虑实际意义等.

（6）函数值域的求法：①配方法(二次或四次)；②“判别式法”；③反函数法；④换元法；⑤不等式法；⑥函数的单调性法.

名师讲坛考点突破

考点1 相同的函数

例1 下列各组函数中不表示同一函数的是(　　)

A．f(x)＝lg x2，g(x)＝2lg |x|

B．f(x)＝x，g(x)＝

C．f(x)＝，g(x)＝·

D．f(x)＝|x＋1|，g(x)＝

【答案】C

【解析】A中，g(x)＝2lg |x|＝lg x2，则f(x)与g(x)是同一函数；B中，g(x)＝＝x，则f(x)与g(x)是同一函数；C中，函数f(x)＝的定义域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)，函数g(x)＝·的定义域为[2，＋∞)，则f(x)与g(x)不是同一函数；D中，f(x)＝|x＋1|＝则f(x)与g(x)是同一函数．故选C.

变式训练1. 下列函数中，与函数y＝x＋1是相等函数的是(　　)

A．y＝()2  B．y＝＋1

C．y＝＋1  D．y＝＋1

【答案】B

【解析】对于A，函数y＝()2的定义域为{x|x≥－1}，与函数y＝x＋1的定义域不同，不是相等函数；对于B，定义域和对应关系都相同，是相等函数；对于C，函数y＝＋1的定义域为{x|x≠0}，与函数y＝x＋1的定义域不同，不是相等函数；对于D，定义域相同，但对应关系不同，不是相等函数．

变式训练2. 下面各组函数中为相同函数的是（   ）

A、，     B、，

C、，        D、，

【答案】C；

【解析】A中两函数的定义域不同，的定义域不含；B中两函数的定义域也不同，的定义域为，而的定义域为R；D中的对应法则不同.

考点2 求函数的定义域

例2. 的定义域是___________.

【答案】

【解析】由得，

所以函数的定义域为：.

变式训练3. 函数y＝＋(x－1)0的定义域是(　　)

A．{x|－3＜x＜1}  B．{x|－3＜x＜2且x≠1}

C．{x|0＜x＜2}  D．{x|1＜x＜2}

【答案】B[来源:学.科.网]

【解析】要使函数解析式有意义，须有解得所以－3＜x＜2且x≠1.故已知函数的定义域为{x|－3＜x＜2且x≠1}．

考点3 含参数的定义域问题

例3 已知函数的定义域是R，则实数的取值范围是（  ）

A．     B．      C．     D．

【答案】C

【解析】由的定义域是R，则恒成立，

当时，显然成立；

当时，；

当时，，

综上，选C.

变式训练4. 若函数f(x)＝的定义域为一切实数，则实数m的取值范围是(　　)

A．[0,4)  B．(0,4)

C．[4，＋∞)  D．[0,4]

【答案】D

【解析】由题意可得mx2＋mx＋1≥0恒成立．

当m＝0时，1≥0恒成立；

当m≠0时，则解得0<m≤4.

综上可得，0≤m≤4.

考点4 函数求值问题

例4 若函数f(x)＝则f[f(1)]的值为(　　)

A．－10  B．10

C．－2  D．2

【答案】C

【解析】f(1)＝21－4＝－2，f[f(1)]＝f(－2)＝2×(－2)＋2＝－2.

变式训练5. 已知函数f(x)＝若f(x)＝2，则x＝________.

【答案】log32

【解析】依题意得当x≤1时，3x＝2，所以x＝log32；

当x>1时，－x＝2，x＝－2(舍去)．故x＝log32,故答案为log32.

考点5 函数解析式问题

例5. 已知f(x)是二次函数且f(0)＝5，f(x＋1)－f(x)＝x－1，则f(x)＝________.

【答案】　x2－x＋5

【解析】因为f(x)是二次函数且f(0)＝5，

所以设f(x)＝ax2＋bx＋5(a≠0)．

又因为f(x＋1)－f(x)＝x－1，[来源:学科网ZXXK]

所以a(x＋1)2＋b(x＋1)＋5－(ax2＋bx＋5)＝x－1，

整理得(2a－1)x＋a＋b＋1＝0，所以

解得a＝，b＝－，所以f(x)＝x2－x＋5.

变式训练6. 已知f(x)的定义域为{x|x≠0}，满足3f(x)＋5f＝＋1，则函数f(x)的解析式为________．

【答案】f(x)＝x－＋(x≠0)

【解析】解析：用代替3f(x)＋5f＝＋1中的x，

得3f＋5f(x)＝3x＋1，

所以

②×5－①×3得f(x)＝x－＋(x≠0)．答案：f(x)＝x－＋(x≠0)

新高考模拟试题过关测试[来源:Zxxk.Com]

一、    单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．）

1.已知函数，则   

A. 2 B. 0 C.  D.

【答案】C

【解析】函数
故，．故选C．

2. 函数的定义域为   

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】由题可得

得且．故选D．

3. 已知f＝2x－5，且f(a)＝6，则a等于(　　)

A.               B．－                  C.         D．－

【答案】A　

【解析】令t＝x－1，则x＝2t＋2，f(t)＝2(2t＋2)－5＝4t－1，则4a－1＝6，解得a＝.

4. 下列四组函数中，表示同一个函数的是(  )

A. ，
B. ，
C. ，
D. ，

【答案】B

【解析】对于选项A，的值域为R，的值域为，不为同一函数；
对于选项B，为同一函数；
对于选项C，的定义域为R，的定义域为，不为同一函数；
对于选项D，的定义域为， 的定义域为R，不为同一函数；故选B．

5. 已知函数，则函数的表达式为    

A.  B.
C.  D.

【答案】D

【解析】令解得，
从而有，其中．
再令可得．故选D．

6. 已知，且，则m等于   

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】，且，
令， 解得，．故选B．

7. 具有性质：f＝－f(x)的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数．下列函数：

①y＝x－；②y＝ln ；③y＝

其中满足“倒负”变换的函数是(　　)

A．①②  B．①③

C．②③  D．①

【答案】B

【解析】对于①，f(x)＝x－，f＝－x＝－f(x)，满足题意；对于②，f(x)＝ln ，则f＝ln ≠－f(x)，不满足；对于③，f＝即f＝

故f＝－f(x)，满足题意．

8. 已知函数的图象如图所示，则的解析式可以是(  )

A.
B.
C.
D.
【答案】D

【解析】在A中，显然为非奇非偶函数，而题干中函数的图象关于坐标原点对称，故A错误；在B中，，这不符合题干中的图象，故B错误；
在C中，当时，，所以在上为减函数，这与图象不符，故C错误；在D中，当时，，则若，，，所以，即，所以在上为增函数；
若，，，所以，即，所以在上为减函数，
又，所以是上的奇函数，其图象关于坐标原点对称，故选D．

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．）

9. 下列各组函数中表示同一函数的是（  ）

   A.，；  B.；

C.；         D.。

【答案】AC

【解析】表示同一函数的是A、C,其中B的定义域不同，D的对应法则不同.

10. 已知f(x)＝若f(a)＝，则a的值为（  ）

A. －                 B.             C.-6             D.

【答案】AB

【解析】若a≥0，由f(a)＝得，a＝，解得a＝；

若a<0，则|sin a|＝，a∈，

解得a＝－.综上可知，a＝或－.

答案：或－,故选AB.

三、填空题（本大题共4小题，共计20分．）

11. 函数的定义域是____________．

【答案】

【解析】由题意得，，故答案为：.

12. 若函数y＝x2－3x－4的定义域为[0，m]，值域为，则m的取值范围是________．

【答案】

【解析】二次函数图象的对称轴为x＝，且f＝－，f(3)＝f(0)＝－4，由图得m∈.

13. 已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时， ，则f(-8)的值是____.

【答案】-4

【解析】，因为为奇函数，所以,故答案为：.[来源:学+科+网Z+X+X+K]

14. 设函数f(x)＝已知f(a)＞1，则a的取值范围是________．

【答案】　(－∞，－2)∪

【解析】法一：(数形结合)画出f(x)的图象，如图所示，作出直线y＝1，由图可见，符合f(a)＞1的a的取值范围为(－∞，－2)∪.

法二：(分类讨论)

①当a≤－1时，由(a＋1)2>1，得a＋1>1或a＋1<－1，得a>0或a<－2，

又a≤－1，∴a<－2；

②当－1<a<1时，由2a＋2>1，得a＞－，

又－1<a<1，∴－<a<1；

③当a≥1时，由－1>1，得0<a<，

又a≥1，∴此时a不存在．

综上可知，a的取值范围为(－∞，－2)∪.

四、解答题（本大题共6小题，共计70分．）

15. （1）设函数 ，求函数 的定义域；

（2）设函数 ，其中 ，求函数 的取值范围．

【解析】（1）由题意要使函数有意义，

有，解得，故定义域为 .

（2）函数，当时为增函数，所以当x=-2时，g(x)取最小值-7，

当x<2时，g(x)<5,故的取值范围 [ − 7 , 5 ).

16．求函数的值域.

【解析】法一： 当x≠0，±1时，f(x)===．

 当>x时，f(x)≤，且当 =2时，取“=”，故f(x)的最大值为．

 又因为f(x)为奇函数，故f(x)的最小值为．[来源:学*科*网Z*X*X*K]

 所以所求的乘积为．

 法二：令=0，得x2=．

 函数f(x)的最大值应在x-x3>0，即0<x<1或x<-1时取得．

 所以[f(x)]max=max{f()，f()}=，下同解法一．

 法三：令x=tanθ，则g(θ)=f(x)==∈，所求乘积为．

17. (1)已知f＝x2＋，求f(x)的解析式；

(2)已知f＝lg x，求f(x)的解析式；

(3)已知f(x)是二次函数，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求f(x)；

(4)已知函数f(x)满足f(－x)＋2f(x)＝2x，求f(x)的解析式．

【解析】(1)由于f＝x2＋＝2－2，所以f(x)＝x2－2，x≥2或x≤－2，

故f(x)的解析式是f(x)＝x2－2，x≥2或x≤－2.

(2)令＋1＝t得x＝，代入得f(t)＝lg，又x>0，所以t>1，

故f(x)的解析式是f(x)＝lg，x>1.

(3)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，

由f(0)＝0，知c＝0，f(x)＝ax2＋bx，又由f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，

得a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1，即ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)x＋1，

所以解得a＝b＝.所以f(x)＝x2＋x，x∈R.

(4)由f(－x)＋2f(x)＝2x，①得f(x)＋2f(－x)＝2－x，②

①×2－②，得，3f(x)＝2x＋1－2－x.即f(x)＝.所以f(x)的解析式是f(x)＝.

18. 已知函数，存在正数b，使得的定义域和值域相同．

求非零实数a的值；

若函数有零点，求b的最小值．

【解析】若，对于正数b，的定义域为，
但的值域，故，不合要求．
若，对于正数b，的定义域为，
由于此时，故函数的值域，
由题意，有，由于，所以
由，即，
得，
记，则，
令
易知在上递减在上递增，所以是的一个极小值点，
又，所以由题意有：，
即，，故．