专题07 含有绝对值的不等式（解析版）-2021届江苏省新高考数学大讲坛大一轮复习

专题07 含有绝对值的不等式

2021年江苏新高考考点分析

含绝对值的不等式是高中数学中分类讨论思想的典型代表．近年来，高考对绝对值的命题的考查是函数、方程、不等式等综合的运用，着重考查分类讨论思想在解题中运用．

2021年江苏新高考考点梳理

含绝对值不等式的解法

（1）公式法：,与型的不等式的解法.

（2）定义法：用“零点分区间法”分类讨论.

（3）几何法：根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解题.

名师讲坛考点突破

考点1含有绝对值的不等式的解法

例1设，解不等式．

【解析】当x>0时，原不等式可化为，解得；

当时，原不等式可化为，解得；

当时，原不等式可化为，解得．

综上，原不等式的解集为．

变式训练1. 已知函数，求不等式的解集．

【解析】

当时，由得解得；

当时， ；

当时，由得解得.

所以的解集.

变式训练2. 已知函数f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|，g(x)=x+3.当a=-2时，求不等式f(x)＜g(x)的解集；

【解析】当时，令，，做出函数图像可知，当时，，故原不等式的解集为；

考点2 以含有绝对值不等式为背景的恒成立问题

例2. 已知，，且，若对于任意的正数a，b，不等式恒成立，求实数x的取值范围.

【解析】因为，，且，所以
，即，
当且仅当，即，时，等号成立．
因为对于任意的正数a，b，不等式恒成立，
所以．
设因此：当时，，因此为所求；
当时，，解得，因此为所求；
当时，，解得，因此为所求.

综上可得，实数x的取值范围是．
变式训练3. 若不等式,对任意实数恒成立,求实数x的取值范围.

【解析】=,

当且仅当时取等号.

由不等式对任意实数恒成立,

可得,解得.

变式训练4. 已知，函数．

求的最小值

若对任意都成立，求实数x的取值范围．

【解析】由，得，，
当且仅当且，即时，等号成立，
所以，的最小值为32．
由知的最小值为32，
对任意，，都成立，即
所以或或
解得或或，
所以实数x的取值范围是．

新高考模拟试题过关测试

一、    单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．）

1.设p：，q：那么p是q的 

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】 因为，解得，所以p是q的必要不充分条件．故选B．

2. 的解集为

A.      B.
C.  D.

【答案】C

【解析】当时，原不等式即为，解得，即x
当时，原不等式即为解得，即
当时，原不等式即为，即，故
综上所述，不等式的解集为故选C.

3. 已知的最小值为．则m的值为（  ）

A.0             B.1             C.                D.

【答案】B

【解析】由

知时，取最小值，，，即,故选B.

4. 的解集中包含着，则     

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】的解集包含，
在上恒成立，
，即，
，
在上恒成立，
，
，所以实数m的取值范围是．故选D．

5. 对任意实数x，若不等式恒成立，则k的取值范围是

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】已知不等式恒成立，即需要k小于的最小值即可．
故设函数 
法一：设、2、x在数轴上所对应的点分别是A、B、P．
则函数的含义是P到A的距离与P到B的距离的和．
可以分析到当P在A和B的中间的时候，距离和为线段AB的长度，此时最小．
即：即的最小值为3．
即：．故选择D．

法二：根据函数的图像知： 即：．故选择D．

6. 已知则的值是    

A.  B. 6 C.  D. 9

【答案】D

【解析】，，解得，则，故答案选D．

7. 若关于x的不等式恒成立，则实数a的取值范围是   

A.  B.
C.  D.

【答案】B[来源:Z|xx|k.Com]

【解析】关于x的不等式恒成立，
等价于，或；
解得，或；
化简式，得，设该不等式的解集为C，
由题意知，；
设，则，即，解得．
所以实数a的取值范围是．故选B．

8. 函数在区间上的最大值为10，则实数a的最大值为   

A. 6 B. 8 C. 9 D. 10

【答案】B

【解析】当，，
当时，，，，舍去；
当时，，此时命题成立
当时，，
则或，
解得或，即实数a的最大值为8，故选B．

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．）

9. 的解集为，且满足，则实数的值可能为(  )

A. 4 B.5 C. 6 D. 9

【答案】BCD

【解析】 易知；

所以，又在恒成立；

在恒成立；

在恒成立；

．故选BCD.

10. 设函数=,若，求的取值可能为（  ）.

A. 0 B.1 C. 2 D. 3

【答案】CD

【解析】因为，所以

，解得：.故选CD.

三、填空题（本大题共4小题，共计20分．）

11. 已知函数的解集为__________

【答案】

【解析】不等式为．等价于 或，

解得或，∴的取值范围为．

12. 不等式的解集是________．

【答案】

【解析】不等式的解集即的解集，
解得．
故原不等式的解集为．故答案为．

13. 若，且，，则的最大值是 ________________．

【答案】5

【解析】根据绝对值不等式的性质得：，

的最大值是5，故答案为5．[来源:Z§xx§k.Com]

14.不等式对任意的x及正实数a，b恒成立，则实数m的取值范围        ．

【答案】，

【解析】因为恒成立，所以只要，
因为a，b为正实数，所以
，当且仅当时等号成立；
所以，所以，解得，或．故答案为

四、解答题（本大题共6小题，共计70分．）

15. 已知关于的不等式的解集为，求的最大值.

【解析】由，得，即.

因为不等式的解集为，

所以，

解得.

所以.

16．已知函数．

（1）画出的图像；[来源:学科网ZXXK]

（2）求不等式的解集．

【解析】（1）因为，作出图象，如图所示：

（2）将函数的图象向左平移个单位，可得函数的图象，如图所示：

由，解得．所以不等式的解集为．

17. 已知，且的解集为.

（1）求实数，的值；

（2）若的图像与直线及围成的四边形的面积不小于14，求实数取值范围.

【解析】（1）由得：，，

即，解得，.

（2）的图像与直线及围成的四边形，，，，.

过点向引垂线，垂足为，则.

化简得：，（舍）或.

故的取值范围为.

18. 已知函数f(x)=sin2xsin2x.

（1）讨论f(x)在区间(0，π)的单调性；

（2）证明：；

【解析】 (1)由函数的解析式可得：，则：

，

在上的根为：，

当时，单调递增，[来源:学科网]

当时，单调递减，

当时，单调递增.

(2)注意到，

故函数是周期为的函数，

结合(1)的结论，计算可得：，

，，

据此可得：，，即.