专题11 函数的奇偶性与单调性（原卷版）-2021届江苏省新高考数学大讲坛大一轮复习

专题11 函数的奇偶性与单调性

2021年江苏新高考考点分析

函数的奇偶性是函数的整体性质，是新高考的重要考点，通常与函数的单调性综合考查，难度中等。

2021年江苏新高考考点梳理

1.奇函数，偶函数：

⑴偶函数：

设（）为偶函数上一点，则（）也是图象上一点.

偶函数的判定：两个条件同时满足

①定义域一定要关于轴对称，例如：在上不是偶函数.

②满足，或，若时，.

⑵奇函数：

设（）为奇函数上一点，则（）也是图象上一点.

奇函数的判定：两个条件同时满足

①定义域一定要关于原点对称，例如：在上不是奇函数.

②满足，或，若时，.

2.奇偶性的判定法：首先考察定义域是否关于原点对称，再计算f(-x)与f(x)之间的关系：①f(-x)=f(x)为偶函数；f(-x)=-f(x)为奇函数；②f(-x)-f(x)=0为偶；f(x)+f(-x)=0为奇；③f(-x)/f(x)=1是偶；f(x)÷f(-x)=-1为奇函数.

3. 函数的周期性

(1)周期函数：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．

(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．

对f(x)定义域内任一自变量的值x：

(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a＞0)．

(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a＞0)．

(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a＞0)．

4．函数的对称性常见的结论

(1)函数y＝f(x)关于x＝对称⇔f(a＋x)＝f(b－x)⇔f(x)＝f(b＋a－x)．

特殊：函数y＝f(x)关于x＝a对称⇔f(a＋x)＝f(a－x)⇔f(x)＝f(2a－x)；

函数y＝f(x)关于x＝0对称⇔f(x)＝f(－x)(即为偶函数)．[来源:学*科*网]

(2)函数y＝f(x)关于点(a，b)对称⇔f(a＋x)＋f(a－x)＝2b⇔f(2a＋x)＋f(－x)＝2b.

特殊：函数y＝f(x)关于点(a,0)对称⇔f(a＋x)＋f(a－x)＝0⇔f(2a＋x)＋f(－x)＝0；

函数y＝f(x)关于(0,0)对称⇔f(x)＋f(－x)＝0(即为奇函数)．

(3)y＝f(x＋a)是偶函数⇔函数y＝f(x)关于直线x＝a对称；

y＝f(x＋a)是奇函数⇔函数y＝f(x)关于点(a,0)对称．

5．函数奇偶性常用结论

(1)若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0.

(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．

(3)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．

(4)y＝f(x＋a)是奇函数，则f(－x＋a)＝－f(x＋a)；y＝f(x＋a)是偶函数，则f(－x＋a)＝f(x＋a)．

名师讲坛考点突破

考点1 函数奇偶性的判断

例1 判断下列函数的奇偶性：

(1)f(x)＝＋；

(2)f(x)＝；

(3)f(x)＝

变式训练1. 函数f(x)＝的图象(　　)

A．关于x轴对称   B．关于y轴对称

C．关于坐标原点对称   D．关于直线y＝x对称

变式训练2. 下列函数既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递增的是(　　)

A.y＝x3    B.y＝x

C.y＝|x|    D.y＝|tan x|

[来源:学.科.网]

考点2 函数奇偶性与单调性

例2. 设定义在R上的奇函数在区间上是单调减函数，且，则实数x的取值范围是_________

变式训练3. 定义在R上的奇函数y＝f(x)在(0，＋∞)上递增，且f ＝0，则满足f(x)>0的x的集合为________．

考点3 函数奇偶性与最值

例3 已知，则在区间上的最大值最小值之和为

A. 2 B. 3 C. 4 D. 8

变式训练4. 已知函数的最大值为M，最小值为N，则等于

A.   B.  C. 0 D. 1

考点4 函数的奇偶性与周期性

例4 已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝(　　)

A．－50               　B．0              C．2             D．50

变式训练5. 已知函数是定义在R上的奇函数，.若时，，则实数a的值为______.

新高考模拟试题过关测试

一、    单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．）

1. 下列函数中，既是奇函数又在(0，＋∞)上单调递增的是(　　)

A．y＝ex＋e－x　　　　　 　B．y＝ln(|x|＋1)

C．y＝   D．y＝x－

2. 已知二次函数，若是偶函数，则实数的值为(　　)

A.-1           B.1            C.-2              D.2

3. 若函数为偶函数，为奇函数，则的值为   

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

4. 设函数是定义在R上的奇函数，且，则

A. 1 B. 0 C.  D.

5. 设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)=，则当x<0时，f(x)=（  ）

A． B． 

C． D．

6. 已知函数为奇函数，函数为偶函数，且，则（     ）

A.      B.      C.      D.2[来源:学#科#网]

7. 设是奇函数，则使的的取值范围是(    )

A． B． C． D．

8. 已知函数，则不等式的解集是(    )

A． B． C． D．

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．）

9. 已知偶函数的图象经过点，且当时，不等式恒成立，则使得成立的的取值可能是(  )

A．-1     B．3 C．1                D．2

10. 已知函数是定义在上的奇函数，且时，.则下列命题正确的有（ ）[来源:学_科_网]

A.当时         B.函数有四个零点

C.的解集为   D.都有

三、填空题（本大题共4小题，共计20分．）

11. 已知函数是定义在上的周期为的奇函数，当时，，则______．

12. 已知y＝f(x)是偶函数，当x>0时，f(x)＝x＋，且当x∈[－3，－1]时，n≤f(x)≤m恒成立，则m－n的最小值是________．[来源:Z§xx§k.Com]

四、解答题（本大题共6小题，共计70分．）

13. 定义在上的奇函数满足，并且当时，，求的值

14．已知函数的图像上存在两个点关于轴对称，求实数的取值范围.

15. 已知是定义在上的奇函数，满足，若，

求.

16. 设函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意实数x有f ＝－f 成立．

(1)证明y＝f(x)是周期函数，并指出其周期；

(2)若f(1)＝2，求f(2)＋f(3)的值；

(3)若g(x)＝x2＋ax＋3，且y＝|f(x)|·g(x)是偶函数，求实数a的值．