高三数学人教版a版数学（理）高考一轮复习教案：8.3 圆的方程 word版含答案

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(1)掌握确定圆的几何要素．
(2)掌握圆的标准方程与一般方程．
知识点一 圆的方程
易误提醒 (1)标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)中易忽视右端为半径r的平方，而不是半径．
(2)对于方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆时易忽视D2＋E2－4F>0这一成立条件．
必备方法 求圆的方程时，要注意应用圆的几何性质简化运算．
(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上．
(2)圆心在任一弦的中垂线上．
(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．
[自测练习]
1．圆x2＋y2－4x＋8y－5＝0的圆心与半径分别为( )
A．(－2,4)，5 B．(2，－4)，5
C．(－2,4)，eq \r(15) D．(2，－4)，eq \r(15)
解析：圆心坐标为(2，－4)，
半径r＝eq \f(1,2) eq \r(－42＋82－4×－5)＝5.
答案：B
2．圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)的圆的方程为________．
解析：法一：设点C为圆心，因为点C在直线x－2y－3＝0上，所以可设点C的坐标为(2a＋3，a)．
又该圆经过A，B两点，所以|CA|＝|CB|，
即eq \r(2a＋3－22＋a＋32)
＝eq \r(2a＋3＋22＋a＋52)，解得a＝－2，
所以圆心C的坐标为(－1，－2)，半径r＝eq \r(10).
故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
法二：设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2－a2＋－3－b2＝r2，,－2－a2＋－5－b2＝r2，,a－2b－3＝0，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－1，,b＝－2，,r2＝10，))
故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
答案：(x＋1)2＋(y＋2)2＝10
知识点二 点与圆的位置关系
1．确定方法：比较点与圆心的距离与半径的大小关系．
2．三种关系：圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)．
(1)(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔点在圆上．
(2)(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔点在圆外．
(3)(x0－a)2＋(y0－b)2易误提醒 若圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，点M(x0，y0)．注意点M与圆的位置关系满足条件．
[自测练习]
3．若点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a的取值范围是( )
A．－1C．a>1或a<－1 D．a＝±1
解析：因为点(1,1)在圆的内部，
∴(1－a)2＋(1＋a)2<4，∴－1答案：A
考点一 圆的方程|
1．(2015·高考北京卷)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( )
A．(x－1)2＋(y－1)2＝1
B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1
C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
D．(x－1)2＋(y－1)2＝2
解析：因为圆心为(1,1)且过原点，所以该圆的半径r＝eq \r(12＋12)＝eq \r(2)，则该圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.
答案：D
2．(2015·高考全国卷Ⅱ)过三点A(1,3)，B(4,2)，C(1，－7)的圆交y轴于M，N两点，则|MN|＝( )
A．2eq \r(6) B．8
C．4eq \r(6) D．10
解析：设过A，B，C三点的圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(D＋3E＋F＋10＝0，,4D＋2E＋F＋20＝0，,D－7E＋F＋50＝0，))，解得D＝－2，E＝4，F＝－20，所求圆的方程为x2＋y2－2x＋4y－20＝0，令x＝0，得y2＋4y－20＝0，设M(0，y1)，N(0，y2)，则y1＋y2＝－4，y1y2＝－20，所以|MN|＝|y1－y2|＝eq \r(y1＋y22－4y1y2)＝4eq \r(6).故选C.
答案：C
3．(2015·广州测试)圆(x－1)2＋(y－2)2＝1关于直线y＝x对称的圆的方程为( )
A．(x－2)2＋(y－1)2＝1
B．(x＋1)2＋(y－2)2＝1
C．(x＋2)2＋(y－1)2＝1
D．(x－1)2＋(y＋2)2＝1
解析：∵圆心(1,2)关于直线y＝x对称的点为(2,1)，∴圆(x－1)2＋(y－2)2＝1关于直线y＝x对称的圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1.
答案：A
待定系数法求圆的方程的三个步骤
(1)根据题意，设所求的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
(2)根据已知条件，建立关于a，b，r的方程组．
(3)解方程组，并把它们代入所设的方程中，整理后，就得到所求结果．

考点二 与圆有关的最值范围问题|
与圆有关的最值问题也是命题的热点内容，它着重考查数形结合与转化思想．归纳起来常见的命题角度有：
1．斜率型最值问题．
2．截距型最值问题．
3．距离型最值问题．
4．距离和(差)的最值问题．
5．利用目标函数求最值．
探究一 斜率型最值问题
1．已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.求eq \f(y,x)的最大值和最小值．
解：原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，
表示以(2,0)为圆心，eq \r(3)为半径的圆．
eq \f(y,x)的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，
所以设eq \f(y,x)＝k，即y＝kx.
如图所示，当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时eq \f(|2k－0|,\r(k2＋1))＝eq \r(3)，解得k＝±eq \r(3).
所以eq \f(y,x)的最大值为eq \r(3)，最小值为－eq \r(3).
探究二 截距型最值问题
2．在[探究一]条件下求y－x的最大值和最小值．
解：y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，如图所示，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时eq \f(|2－0＋b|,\r(2))＝eq \r(3)，解得b＝－2±eq \r(6).
所以y－x的最大值为－2＋eq \r(6)，最小值为－2－eq \r(6).
探究三 距离型最值问题
3．在[探究一]条件下求x2＋y2的最大值和最小值．
解析：如图所示，x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．
又圆心到原点的距离为
eq \r(2－02＋0－02)＝2，
所以x2＋y2的最大值是(2＋eq \r(3))2＝7＋4eq \r(3)，x2＋y2的最小值是(2－eq \r(3))2＝7－4eq \r(3).
探究四 距离和(差)最值问题
4．已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为( )
A．5eq \r(2)－4 B.eq \r(17)－1
C．6－2eq \r(2) D.eq \r(17)
解析：圆心C1(2,3)，C2(3,4)，作C1关于x轴的对称点C′1(2，－3)，连接C′2C2与x轴交于点P，此时|PM|＋|PN|取得最小值，为|C′2C2|－1－3＝5eq \r(2)－4.
答案：A
探究五 利用目标函数求最值
5．已知直线ax＋by＋c－1＝0(bc>0)经过圆x2＋y2－2y－5＝0的圆心，则eq \f(4,b)＋eq \f(1,c)的最小值是( )
A．9 B．8
C．4 D．2
解析：将x2＋y2－2y－5＝0化为x2＋(y－1)2＝6，圆心(0,1)，代入ax＋by＋c－1＝0得b＋c＝1.∴eq \f(4,b)＋eq \f(1,c)＝(b＋c)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,b)＋\f(1,c)))＝5＋eq \f(4c,b)＋eq \f(b,c)≥5＋2eq \r(\f(4c,b)·\f(b,c))＝9.
答案：A
求解与圆有关的最值问题的两大规律
(1)借助几何性质求最值
处理与圆有关的最值问题，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解．
(2)建立函数关系式求最值
根据题目条件列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等，利用基本不等式求最值是比较常用的．

考点三 与圆有关的轨迹问题|
已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．
(1)求线段AP中点的轨迹方程；
(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．
[解] (1)设AP的中点为M(x0，y0)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x0－2,2y0)．
因为P点在圆x2＋y2＝4上，
所以(2x0－2)2＋(2y0)2＝4.
故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.
(2)设PQ的中点为N(x′，y′)．
在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|.
设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，
所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，
所以x′2＋y′2＋(x′－1)2＋(y′－1)2＝4.
故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.
求与圆有关的轨迹方程时，常用以下方法
(1)直接法：根据题设条件直接列出方程．
(2)定义法：根据圆的定义写出方程．
(3)几何法：利用圆的性质列方程．
(4)代入法：找出要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式．

(2016·唐山一中调研)点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( )
A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1
B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4
C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4
D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1
解析：设圆上任意一点为(x1，y1)，中点为(x，y)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(x1＋4,2)，,y＝\f(y1－2,2)，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x1＝2x－4，,y1＝2y＋2，))代入x2＋y2＝4，得(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4.化简得(x－2)2＋(y＋1)2＝1.
答案：A
25.方程思想在圆中的应用
【典例】 在平面直角坐标系xOy中，曲线y＝x2－6x＋1与坐标轴的交点都在圆C上，求圆C的方程．
[思维点拨] 曲线y＝x2－6x＋1与坐标轴有3个交点，可设圆的一般式方程或标准式方程，通过列方程或方程组可求．
[解] 法一：曲线y＝x2－6x＋1与y轴的交点为(0,1)与x轴的交点为(3＋2eq \r(2)，0)，(3－2eq \r(2)，0)．
设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1＋E＋F＝0，,3＋2\r(2)2＋D×3＋2\r(2)＋F＝0，,3－2\r(2)2＋D×3－2\r(2)＋F＝0，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(D＝－6，,E＝－2，,F＝1，))
故圆的方程是x2＋y2－6x－2y＋1＝0.
法二：曲线y＝x2－6x＋1与y轴的交点为(0,1)，与x轴的交点为(3＋2eq \r(2)，0)，(3－2eq \r(2)，0)，
故可设圆C的圆心为(3，t)，则有32＋(t－1)2＝(2eq \r(2))2＋t2，解得t＝1，则圆C的半径为eq \r(32＋t－12)＝3，
所以圆C的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9.
[方法点评] (1)一般解法(代数法)：可以求出曲线y＝x2－6x＋1与坐标轴的三个交点，设圆的方程为一般式，代入点的坐标求解析式．
(2)巧妙解法(几何法)：利用圆的性质，知道圆心一定在圆上两点连线的垂直平分线上，从而设圆的方程为标准式，简化计算．显然几何法比代数法的计算量小，因此平时训练多采用几何法解题．
[跟踪练习] 已知圆C关于y轴对称，经过点(1,0)且被x轴分成两段，弧长比为1∶2，则圆C的方程为________．
解析：由已知圆心在y轴上，且被x轴所分劣弧所对圆心角为eq \f(2π,3)，设圆心(0，a)，半径为r，则rsin eq \f(π,3)＝1，rcs eq \f(π,3)＝|a|，解得r＝eq \f(2,\r(3))，即r2＝eq \f(4,3)，|a|＝eq \f(\r(3),3)，
即a＝±eq \f(\r(3),3)，故圆C的方程为x2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y±\f(\r(3),3)))2＝eq \f(4,3).
答案：x2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y±\f(\r(3),3)))2＝eq \f(4,3)
A组 考点能力演练
1．以线段AB：x＋y－2＝0(0≤x≤2)为直径的圆的方程为( )
A．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
B．(x－1)2＋(y－1)2＝2
C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝8
D．(x－1)2＋(y－1)2＝8
解析：直径的两端点分别为(0,2)，(2,0)，
∴圆心为(1,1)，半径为eq \r(2)，故圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.
答案：B
2．(2016·北京西城期末)若坐标原点在圆(x－m)2＋(y＋m)2＝4的内部，则实数m的取值范围是( )
A．(－1,1) B．(－eq \r(3)，eq \r(3))
C．(－eq \r(2)，eq \r(2)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)))
解析：∵(0,0)在(x－m)2＋(y＋m)2＝4的内部，则有(0－m)2＋(0＋m)2<4，解得－eq \r(2)答案：C
3．(2016·开封模拟)已知直线l：x－y＋4＝0与圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝2，则圆C上的点到直线l的距离的最小值为( )
A.eq \r(2) B.eq \r(3)
C．1 D．3
解析：由题意知，圆C上的点到直线l的距离的最小值等于圆心(1,1)到直线l的距离减去圆的半径，即eq \f(|1－1＋4|,\r(12＋－12))－eq \r(2)＝eq \r(2).
答案：A
4．(2016·洛阳期末)在平面直角坐标系内，若曲线C：x2＋y2＋2ax－4ay＋5a2－4＝0上所有的点均在第四象限内，则实数a的取值范围为( )
A．(－∞，－2) B．(－∞，－1)
C．(1，＋∞) D．(2，＋∞)
解析：圆C的标准方程为(x＋a)2＋(y－2a)2＝4，所以圆心为(－a,2a)，半径r＝2，由题意知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a<0，,|－a|>2,|2a|>2))⇒a<－2，故选A.
答案：A
5．圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上的点到直线x＋y－14＝0的最大距离与最小距离的差是( )
A．30 B．18
C．6eq \r(2) D．5eq \r(2)
解析：由圆x2＋y2－4x－4y－10＝0知圆心坐标为(2,2)，半径为3eq \r(2)，则圆上的点到直线x＋y－14＝0的最大距离为eq \f(|2＋2－14|,\r(2))＋3eq \r(2)＝8eq \r(2)，最小距离为eq \f(|2＋2－14|,\r(2))－3eq \r(2)＝2eq \r(2)，故最大距离与最小距离的差为6eq \r(2).
答案：C
6．(2016·绍兴模拟)点P(1,2)和圆C：x2＋y2＋2kx＋2y＋k2＝0上的点的距离的最小值是________．
解析：圆的方程化为标准式为(x＋k)2＋(y＋1)2＝1.
∴圆心C(－k，－1)，半径r＝1.
易知点P(1,2)在圆外．
∴点P到圆心C的距离为：
|PC|＝eq \r(k＋12＋32)＝eq \r(k＋12＋9)≥3.
∴|PC|min＝3.
∴点P和圆C上点的最小距离dmin＝|PC|min－r＝3－1＝2.
答案：2
7．若圆C：x2－2mx＋y2－2eq \r(m)y＋2＝0与x轴有公共点，则m的取值范围是________．
解析：圆C的标准方程为(x－m)2＋(y－eq \r(m))2＝m2＋m－2，依题意有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2＋m－2>0，,\r(m)≤\r(m2＋m－2)，得m≥\r(2).,m≥0.))
答案：[eq \r(2)，＋∞)
8．圆C通过不同的三点P(k,0)，Q(2,0)，R(0,1)，已知圆C在点P处的切线斜率为1，则圆C的方程为________．
解析：设圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则k,2为x2＋Dx＋F＝0的两根，
∴k＋2＝－D,2k＝F，即D＝－(k＋2)，F＝2k，
又圆过R(0,1)，故1＋E＋F＝0.
∴E＝－2k－1.
故所求圆的方程为x2＋y2－(k＋2)x－(2k＋1)y＋2k＝0，
圆心坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(k＋2,2)，\f(2k＋1,2))).
∵圆C在点P处的切线斜率为1，
∴kCP＝－1＝eq \f(2k＋1,2－k)，∴k＝－3.
∴D＝1，E＝5，F＝－6.
∴所求圆C的方程为x2＋y2＋x＋5y－6＝0.
答案：x2＋y2＋x＋5y－6＝0.
9．(2016·洛阳统考)已知圆S经过点A(7,8)和点B(8,7)，圆心S在直线2x－y－4＝0上．
(1)求圆S的方程；
(2)若直线x＋y－m＝0与圆S相交于C，D两点，若∠COD为钝角(O为坐标原点)，求实数m的取值范围．
解：(1)线段AB的中垂线方程为y＝x，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－y－4＝0，,y＝x，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝4，,y＝4，))所以圆S的圆心为S(4,4)，
圆S的半径为|SA|＝5，
故圆S的方程为(x－4)2＋(y－4)2＝25.
(2)由x＋y－m＝0变形得y＝－x＋m，代入圆S的方程，消去y并整理得2x2－2mx＋m2－8m＋7＝0.
令Δ＝(－2m)2－8(m2－8m＋7)>0，得8－5eq \r(2)故实数m的取值范围是{m|8－5eq \r(2)10．(2016·唐山一模)已知圆O：x2＋y2＝4，点A(eq \r(3)，0)，以线段AB为直径的圆内切于圆O，记点B的轨迹为Γ.
(1)求曲线Γ的方程；
(2)直线AB交圆O于C，D两点，当B为CD的中点时，求直线AB的方程．
解：(1)设AB的中点为M，切点为N，连接OM，MN(图略)，则|OM|＋|MN|＝|ON|＝2，取A关于y轴的对称点A′，连接A′B，故|A′B|＋|AB|＝2(|OM|＋|MN|)＝4.
所以点B的轨迹是以A′，A为焦点，长轴长为4的椭圆．
其中，a＝2，c＝eq \r(3)，b＝1，则
曲线Γ的方程为eq \f(x2,4)＋y2＝1.
(2)因为B为CD的中点，所以OB⊥CD，
则eq \(OB,\s\up6(→))⊥eq \(AB,\s\up6(→)).设B(x0，y0)，
则x0(x0－eq \r(3))＋yeq \\al(2,0)＝0.
又eq \f(x\\al(2,0),4)＋yeq \\al(2,0)＝1，解得x0＝eq \f(2,\r(3))，y0＝±eq \f(\r(2),\r(3)).
则kOB＝±eq \f(\r(2),2)，kAB＝∓eq \r(2)，
则直线AB的方程为y＝±eq \r(2)(x－eq \r(3))，
即eq \r(2)x－y－eq \r(6)＝0或eq \r(2)x＋y－eq \r(6)＝0.
B组 高考题型专练
1．(2014·高考北京卷)已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m,0)，B(m,0)(m>0)，若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值为( )
A．7 B．6
C．5 D．4
解析：根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心C的坐标为(3,4)，半径r＝1，且|AB|＝2m.因为∠APB＝90°，连接OP，易知|OP|＝eq \f(1,2)|AB|＝m.要求m的最大值，即求圆C上的点P到原点O的最大距离．因为|OC|＝eq \r(32＋42)＝5，所以|OP|max＝|OC|＋r＝6，即m的最大值为6.
答案：B
2．(2015·高考全国卷Ⅱ)已知三点A(1,0)，B(0，eq \r(3))，C(2，eq \r(3))，则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为( )
A.eq \f(5,3) B.eq \f(\r(21),3)
C.eq \f(2\r(5),3) D.eq \f(4,3)
解析：设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1＋D＋F＝0，,3＋\r(3)E＋F＝0，,7＋2D＋\r(3)E＋F＝0，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(D＝－2，,E＝－\f(4\r(3),3)，,F＝1，))
∴△ABC外接圆的圆心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(2\r(3),3)))，故△ABC外接圆的圆心到原点的距离为eq \r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(3),3)))2)＝eq \f(\r(21),3).
答案：B
3．(2014·高考陕西卷)若圆C的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y＝x对称，则圆C的标准方程为________．
解析：根据题意得点(1,0)关于直线y＝x对称的点(0,1)为圆心，又半径r＝1，所以圆C的标准方程为x2＋(y－1)2＝1.
答案：x2＋(y－1)2＝1
4．(2015·高考全国卷Ⅰ)一个圆经过椭圆eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,4)＝1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________．
解析：由题意知，圆过椭圆的三个顶点(4,0)，(0,2)，(0，－2)，设圆心为(a,0)，其中a>0，由4－a＝eq \r(a2＋4)，解得a＝eq \f(3,2)，所以该圆的标准方程为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,2)))2＋y2＝eq \f(25,4).
答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,2)))2＋y2＝eq \f(25,4)
定义
平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫作圆
方程
标准
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)
圆心C(a，b)
半径为r
一般
,x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
充要条件：D2＋E2－4F>0
圆心坐标：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))
半径r＝eq \f(1,2)eq \r(D2＋E2－4F)