高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数本章综合与测试同步训练题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数本章综合与测试同步训练题，共7页。

A组


1.已知sin α-cs α=65,则sin 2α=( )


A.-1425B.-1125C.1125D.1425


2.函数f(x)=2sinx2sinx2+csx2-1的最小正周期为( )


A.π2B.πC.2πD.4π


3.已知sin 2α=23,则cs2α+π4等于( )


A.16B.13C.12D.23


4.函数y=cs2x-π12+sin2x+π12-1是( )


A.周期为2π的奇函数B.周期为π的偶函数


C.周期为π的奇函数D.周期为2π的偶函数


5.若函数f(x)=12cs ωx-32sin ωx(ω>0)在区间[0,π]内的值域为-1,12,则ω的取值范围为( )


A.23,43B.0,43C.0,23D.(0,1]


6.已知a=22(sin 16°+cs 16°),b=2cs214°-1,c=sin 37°·sin 67°+sin 53°·sin 23°,则a,b,c的大小关系为 .


7.sin250°1+sin10°= .


8.已知函数f(x)=acsπ2-x-cs 2x,其中a>0,


(1)比较fπ6和fπ2的大小;


(2)求函数f(x)在区间-π2,π2上的最小值.























9.如图,在平面直角坐标系xOy中,角α,β的始边均为x轴正半轴,终边分别与圆O交于A,B两点.若α∈7π12,π,β=π12,且点A的坐标为(-1,m).





(1)若tan 2α=-43,求实数m的值;


(2)若tan∠AOB=-34,求sin 2α的值.


























B组


1.在△ABC中,sin Asin B=cs2C2,则下列等式一定成立的是( )


A.A=BB.A=CC.B=CD.A=B=C


2.已知tanπ4+θ=3,则sin 2θ-2cs2θ=( )


A.-1B.-45C.45D.-34


3.已知函数f(x)=3sin ωxcs ωx-4cs2ωx(ω>0)的最小正周期为π,且f(θ)=12,则fθ-π2=( )


A.-52B.-92C.-112D.-132


4.已知tan(α-β)=23,tanπ6-β=12,则tanα-π6=( )


A.14B.78C.18D.74


5.若cs2αsinα+π4=23,则sin αcs α= .


6.已知α∈0,π4,sinα+π4=45,则tan α= .


7.已知函数f(x)=2cs2x+23sin xcs x.


(1)求f(x)的单调递增区间;


(2)若f(x)在区间-π6,m上的值域为[0,3],求m的取值范围.























8.如图,某污水处理厂要在一个矩形污水处理池(ABCD)的池底水平铺设污水净化管道(管道构成Rt△FHE,H是直角顶点)来处理污水.管道越长,污水净化效果越好.设计要求管道的接口H是AB的中点,E,F分别落在线段BC,AD上.已知AB=20米,AD=103米,记∠BHE=θ.





(1)试将污水净化管道的长度L表示为θ的函数,并写出定义域;


(2)当θ取何值时,污水净化效果最好?并求出此时管道的长度L.


.参考答案


A组


1.已知sin α-cs α=65,则sin 2α=( )


A.-1425B.-1125C.1125D.1425


解析:因为sin α-cs α=65,


所以(sin α-cs α)2=3625,


即sin2α+cs2α-2sin αcs α=3625,


即1-sin 2α=3625.所以sin 2α=-1125.


答案:B


2.函数f(x)=2sinx2sinx2+csx2-1的最小正周期为( )


A.π2B.πC.2πD.4π


解析:由题意可知f(x)=2sinx2sinx2+csx2-1=|sin x-cs x|=2sinx-π4.


结合函数f(x)=2sinx-π4的图象,可得函数f(x)的最小正周期为π,故选B.


答案:B


3.已知sin 2α=23,则cs2α+π4等于( )


A.16B.13C.12D.23


解析:因为cs2α+π4=1+cs2α+π42=1+cs2α+π22=1-sin2α2=1-232=16,


所以选A.


答案:A


4.函数y=cs2x-π12+sin2x+π12-1是( )


A.周期为2π的奇函数B.周期为π的偶函数


C.周期为π的奇函数D.周期为2π的偶函数


解析:∵y=cs2x-π12+sin2x+π12-1


=1+cs2x-π62+1-cs2x+π62-1


=cs2x-π6-cs2x+π62


=cs2xcsπ6+sin2xsinπ6-cs2xcsπ6+sin2xsinπ62


=sin2x2,


∴函数的周期为2π2=π,且sin(-2x)=-sin 2x.故选C.


答案:C


5.若函数f(x)=12cs ωx-32sin ωx(ω>0)在区间[0,π]内的值域为-1,12,则ω的取值范围为( )


A.23,43B.0,43C.0,23D.(0,1]


解析:由题意可知f(x)=12cs ωx-32sin ωx=csωx+π3,且ω>0,


当x∈[0,π]时,f(x)∈-1,12,


故-1≤csωx+π3≤12,


可得π≤ωx+π3≤5π3,


解得23≤ω≤43,故ω的取值范围为23,43.


答案:A


6.已知a=22(sin 16°+cs 16°),b=2cs214°-1,c=sin 37°·sin 67°+sin 53°·sin 23°,则a,b,c的大小关系为 .


解析:∵a=cs 45°sin 16°+sin 45°cs 16°=sin 61°,b=cs 28°=sin 62°,c=sin 37°cs 23°+cs 37°sin 23°=sin 60°,又函数y=sin x在区间0,π2内单调递增,


∴c

答案:c

7.sin250°1+sin10°= .


解析:sin250°1+sin10°=1-cs100°2(1+sin10°)=1-cs(90°+10°)2(1+sin10°)=1+sin10°2(1+sin10°)=12.


答案:12


8.已知函数f(x)=acsπ2-x-cs 2x,其中a>0,


(1)比较fπ6和fπ2的大小;


(2)求函数f(x)在区间-π2,π2上的最小值.


解:(1)因为fπ6=a2-12,fπ2=a+1,


所以fπ2-fπ6=(a+1)-a2-12=a2+32.


因为a>0,所以a2+32>0,


所以fπ2>fπ6.


(2)因为f(x)=asin x-cs 2x=asin x-(1-2sin2x)=2sin2x+asin x-1,


设t=sin x,x∈-π2,π2,


所以y=2t2+at-1,t∈[-1,1],其图象的对称轴为直线t=-a4.


当t=-a4<-1,即a>4时,在t=-1时函数y取得最小值1-a;


当t=-a4≥-1,即0

综上可知,当a>4时,函数f(x)在区间-π2,π2上的最小值为1-a;当0

9.如图,在平面直角坐标系xOy中,角α,β的始边均为x轴正半轴,终边分别与圆O交于A,B两点.若α∈7π12,π,β=π12,且点A的坐标为(-1,m).





(1)若tan 2α=-43,求实数m的值;


(2)若tan∠AOB=-34,求sin 2α的值.


解:(1)由题意可得tan 2α=2tanα1-tan2α=-43,


解得tan α=-12或tan α=2.


∵α∈7π12,π,∴tan α=-12.


又角α的终边与圆O交于点A(-1,m),


∴tan α=m-1,即m-1=-12.∴m=12.


(2)∵tan∠AOB=tan(α-β)=tanα-π12=sinα-π12csα-π12=-34,


又sin2α-π12+cs2α-π12=1,


α-π12∈π2,11π12,


∴sinα-π12=35,csα-π12=-45.


∴sin2α-π6=2sinα-π12csα-π12=-2425,cs2α-π6=2cs2α-π12-1=725.


∴sin 2α=sin2α-π6+π6=sin2α-π6·csπ6+cs2α-π6sinπ6=7-24350.


B组


1.在△ABC中,sin Asin B=cs2C2,则下列等式一定成立的是( )


A.A=BB.A=CC.B=CD.A=B=C


解析:∵C=π-(A+B),


∴sin Asin B=cs2C2=1+csC2=12-12cs(A+B)=12-12(cs Acs B-sin Asin B).


∴12cs Acs B+12sin Asin B=12.


∴cs(A-B)=1.


∵0

∴A-B=0.∴A=B.


答案:A


2.已知tanπ4+θ=3,则sin 2θ-2cs2θ=( )


A.-1B.-45C.45D.-34


解析:∵tanπ4+θ=tanθ+11-tanθ=3,∴tan θ=12.


∴sin 2θ-2cs2θ=sin2θ-2cs2θ1=2sinθcsθ-2cs2θsin2θ+cs2θ=2tanθ-2tan2θ+1=-45.


答案:B


3.已知函数f(x)=3sin ωxcs ωx-4cs2ωx(ω>0)的最小正周期为π,且f(θ)=12,则fθ-π2=( )


A.-52B.-92C.-112D.-132


解析:由题意可得f(x)=3sin ωxcs ωx-4cs2ωx


=32sin 2ωx-2(1+cs 2ωx)


=52sin(2ωx-φ)-2其中tanφ=43,


故f(x)max=52-2=12,


f(x)min=-52-2=-92.


因为f(θ)=12,所以当x=θ时,函数f(x)取得最大值.


又因为函数的周期为π,所以当x=θ-π2时,函数f(x)应取得最小值-92,即fθ-π2=-92.


答案:B


4.已知tan(α-β)=23,tanπ6-β=12,则tanα-π6=( )


A.14B.78C.18D.74


解析:∵tan(α-β)=23,tanπ6-β=12,


∴tanα-π6=tan(α-β)-π6-β=tan(α-β)-tanπ6-β1+tan(α-β)tanπ6-β=23-121+23×12=18.


答案:C


5.若cs2αsinα+π4=23,则sin αcs α= .


解析:∵cs2αsinα+π4=23,∴cs2α-sin2α22(sinα+csα)=23,


即(csα-sinα)(sinα+csα)22(sinα+csα)=23.


∴cs α-sin α=13.


∴两边平方,得1-2sin αcs α=19,


即sin αcs α=49.


答案:49


6.已知α∈0,π4,sinα+π4=45,则tan α= .


解析:因为0<α<π4,所以π4<α+π4<π2.


又因为sinα+π4=45,


所以csα+π4=1-452=35.


所以tanα+π4=43.


所以tan α=tanα+π4-π4=43-11+43×1=17.


答案:17


7.已知函数f(x)=2cs2x+23sin xcs x.


(1)求f(x)的单调递增区间;


(2)若f(x)在区间-π6,m上的值域为[0,3],求m的取值范围.


解:(1)f(x)=2cs2x+23sin xcs x


=cs 2x+3sin 2x+1=2sin2x+π6+1,


由2kπ-π2≤2x+π6≤2kπ+π2(k∈Z),


得kπ-π3≤x≤kπ+π6(k∈Z),所以f(x)的单调递增区间是kπ-π3,kπ+π6(k∈Z).


(2)由(1)知f(x)=2sin2x+π6+1.


由x∈-π6,m,知2x+π6∈-π6,2m+π6.


要使得f(x)在区间-π6,m上的值域为[0,3],即y=sin2x+π6在区间-π6,m上的值域为-12,1.


故π2≤2m+π6≤7π6,即π6≤m≤π2.


8.如图,某污水处理厂要在一个矩形污水处理池(ABCD)的池底水平铺设污水净化管道(管道构成Rt△FHE,H是直角顶点)来处理污水.管道越长,污水净化效果越好.设计要求管道的接口H是AB的中点,E,F分别落在线段BC,AD上.已知AB=20米,AD=103米,记∠BHE=θ.





(1)试将污水净化管道的长度L表示为θ的函数,并写出定义域;


(2)当θ取何值时,污水净化效果最好?并求出此时管道的长度L.


解:(1)由题意可得EH=10csθ,FH=10sinθ,且θ为锐角,故EF=EH2+FH2=10sinθcsθ.


∵BE=10tan θ≤103,AF=10tanθ≤103,


∴33≤tan θ≤3.∴θ∈π6,π3.


∴L=10csθ+10sinθ+10sinθcsθ,θ∈π6,π3,


即L=10×sinθ+csθ+1sinθcsθ,θ∈π6,π3.


(2)设sin θ+cs θ=t,则sin θcs θ=t2-12.


∵θ∈π6,π3,


∴t=sin θ+cs θ=2sinθ+π4∈3+12,2.


∴L=20t-1.


∵L=20t-1在区间3+12,2上单调递减,


∴当t=3+12,即θ=π6或θ=π3时,L取得最大值为20(3+1)米