数学必修 第一册4.4 对数函数第2课时达标测试

这是一份数学必修 第一册4.4 对数函数第2课时达标测试，共6页。试卷主要包含了已知f=lg12等内容，欢迎下载使用。

A组


1.下列函数中,既是单调函数,又是奇函数的是( )


A.y=x-1B.y=3|x|


C.y=lg3xD.y=lg23x


2.若函数y=lg21+x-a是奇函数,则实数a的值等于( )


A.1B.-1C.2D.0


3.已知函数f(x)=lga(2x-a)在区间12,23上恒有f(x)>0,则实数a的取值范围是( )


A.13,1B.13,1C.23,1D.23,1


4.若函数f(x)=lga|x-2|(a>0,且a≠1)在区间(1,2)内单调递增,则f(x)在区间(2,+∞)内的单调性为( )


A.先增后减B.先减后增


C.单调递增D.单调递减


5.已知函数y=lg2(x2-2kx+k)的值域为R,则k的取值范围是( )


A.0

C.k≤0或k≥1D.k=0或k≥1


6.若函数f(x)=lg2(ax+1)在区间[0,1]上单调递增,则实数a的取值范围是 .


7.函数y=lg2(x2-1)的单调递增区间为 .


8.函数y=lg12(2x+1)的值域为 .


9.已知x满足2≤x≤8,求函数f(x)=2(lg4x-1)·lg2x2的最大值和最小值.























10.已知f(x)=lg12(x2-ax-a).


(1)当a=-1时,求f(x)的单调区间及值域;


(2)若f(x)在区间-∞,-12内单调递增,求实数a的取值范围.


B组


1.方程lg(-2x-1)=lg(x2-9)的根为( )


A.2或-4B.-4


C.2D.-2或4


2.当08x恒成立,则实数a的取值范围是( )


A.0,33B.33,1


C.1,3D.(3,2)


3.已知函数f(x)=lnex-e-x2,则f(x)是( )


A.既不是奇函数,也不是偶函数,且在区间(0,+∞)内单调递增


B.奇函数,且在R上单调递增


C.既不是奇函数,也不是偶函数,且在区间(0,+∞)内单调递减


D.偶函数,且在R上单调递减


4.若函数f(x)=xln(x+a+x2)为偶函数,则a= .


5.若函数f(x)=ax+lga(x+1)在区间[0,1]上的最大值和最小值之和为a,则a的值为 .


6.不等式lg12(4x+2x+1)>0的解集为 .


7.已知函数f(x)=lg12ax-2x-1(a为常数).


(1)若常数a<2,且a≠0,求f(x)的定义域;


(2)若f(x)在区间(2,4)内单调递减,求实数a的取值范围.



































8.已知函数f(x)=lg12(x2-2ax+3).


(1)若f(x)的定义域为R,求a的取值范围.


(2)若f(-1)=-3,求f(x)的单调区间.


(3)是否存在实数a,使f(x)在区间(-∞,2)内单调递增?若存在,求出a的取值范围;若不存在,请说明理由.


参考答案


A组


1.下列函数中,既是单调函数,又是奇函数的是( )


A.y=x-1B.y=3|x|


C.y=lg3xD.y=lg23x


解析:因为y=lg23x=xlg23,所以该函数是正比例函数,既是奇函数,又是增函数.


答案:D


2.若函数y=lg21+x-a是奇函数,则实数a的值等于( )


A.1B.-1C.2D.0


解析:因为函数y=lg21+x-a是奇函数,所以lg21-x-a=-lg21+x-a=lg121+x-a,即21-x-a=121+x-a,化简得4-4a+a2(1-x2)=1-x2,所以4-4a=0,a2=1,解得a=1.


答案:A


3.已知函数f(x)=lga(2x-a)在区间12,23上恒有f(x)>0,则实数a的取值范围是( )


A.13,1B.13,1C.23,1D.23,1


解析:当00,即0<43-a<1,解得131时,函数f(x)在区间12,23上单调递增,所以lga(1-a)>0,即1-a>1,解得a<0,此时无解.综上所述,实数a的取值范围是13,1.故选A.


答案:A


4.若函数f(x)=lga|x-2|(a>0,且a≠1)在区间(1,2)内单调递增,则f(x)在区间(2,+∞)内的单调性为( )


A.先增后减B.先减后增


C.单调递增D.单调递减


解析:当1

答案:D


5.已知函数y=lg2(x2-2kx+k)的值域为R,则k的取值范围是( )


A.0

C.k≤0或k≥1D.k=0或k≥1


解析:令t=x2-2kx+k,由y=lg2(x2-2kx+k)的值域为R.可知函数t=x2-2kx+k的图象一定与x轴有交点,所以Δ=4k2-4k≥0,即k≤0或k≥1.


答案:C


6.若函数f(x)=lg2(ax+1)在区间[0,1]上单调递增,则实数a的取值范围是 .


解析:由题意得a>0,a×0+1>0,解得a>0.


答案:(0,+∞)


7.函数y=lg2(x2-1)的单调递增区间为 .


解析:由x2-1>0可知定义域为{x|x<-1或x>1}.又y=lg2t在定义域上单调递增,t=x2-1在区间(1,+∞)内单调递增,所以函数y的单调递增区间为(1,+∞).


答案:(1,+∞)


8.函数y=lg12(2x+1)的值域为 .


解析:因为2x+1>1,函数y=lg12(2x+1)在区间(0,+∞)内是减函数,


所以lg12(2x+1)

答案:(-∞,0)


9.已知x满足2≤x≤8,求函数f(x)=2(lg4x-1)·lg2x2的最大值和最小值.


解:由2≤x≤8,得12≤lg2x≤3.


因为f(x)=2(lg4x-1)·lg2x2


=(lg2x-2)(lg2x-lg22)


=(lg2x)2-3lg2x+2


=lg2x-322-14,


所以当lg2x=32时,f(x)min=-14;当lg2x=3时,f(x)max=2.


10.已知f(x)=lg12(x2-ax-a).


(1)当a=-1时,求f(x)的单调区间及值域;


(2)若f(x)在区间-∞,-12内单调递增,求实数a的取值范围.


解:(1)当a=-1时,f(x)=lg12(x2+x+1).


因为x2+x+1=x+122+34≥34,


所以lg12(x2+x+1)≤lg1234=2-lg23,


因此f(x)的值域为(-∞,2-lg23].


又t=x2+x+1在区间-∞,-12上单调递减,在区间-12,+∞内单调递增,y=lg12t在区间(0,+∞)内单调递减,


故f(x)的单调递增区间为-∞,-12,单调递减区间为-12,+∞.


(2)令u=x2-ax-a=x-a22-a24-a,


因为f(x)在区间-∞,-12内单调递增,


又y=lg12u在定义域上为减函数,


所以u在区间-∞,-12内单调递减,


且u>0在区间-∞,-12内恒成立.


因此a2≥-12,u-12≥0,即a≥-1,14+a2-a≥0,


解得-1≤a≤12.


故实数a的取值范围是-1,12.


B组


1.方程lg(-2x-1)=lg(x2-9)的根为( )


A.2或-4B.-4


C.2D.-2或4


解析:由已知,得-2x-1=x2-9,即x2+2x-8=0,解得x=-4或x=2.经检验x=2不符合题意,舍去.所以原方程的根为x=-4,故选B.


答案:B


2.当08x恒成立,则实数a的取值范围是( )


A.0,33B.33,1


C.1,3D.(3,2)


解析:∵lgax>8x,∴lgax>0.


又0




作出y=8x与y=lgax的大致图象如图所示,则只需满足lga13>813=2=lgaa2,解得a>33,所以33

答案:B


3.已知函数f(x)=lnex-e-x2,则f(x)是( )


A.既不是奇函数,也不是偶函数,且在区间(0,+∞)内单调递增


B.奇函数,且在R上单调递增


C.既不是奇函数,也不是偶函数,且在区间(0,+∞)内单调递减


D.偶函数,且在R上单调递减


解析:要使函数有意义,则ex>e-x,解得x>0,即函数f(x)的定义域是(0,+∞),故函数f(x)是非奇非偶函数.又y=ex-e-x2在区间(0,+∞)内单调递增,所以f(x)在区间(0,+∞)内单调递增,故选A.


答案:A


4.若函数f(x)=xln(x+a+x2)为偶函数,则a= .


解析:∵函数f(x)=xln(x+a+x2)为偶函数,


∴f(-x)=f(x),


∴(-x)ln(-x+a+(-x)2)=xln(x+a+x2),


∴ln(x+a+x2)+ln(-x+a+x2)=0,


∴ln(a+x2-x2)=ln a=0,∴a=1.


答案:1


5.若函数f(x)=ax+lga(x+1)在区间[0,1]上的最大值和最小值之和为a,则a的值为 .


解析:当a>1时,y=ax与y=lga(x+1)在区间[0,1]上都单调递增,


所以f(x)max=f(1)=a+lga2,f(x)min=f(0)=a0+lga1=1,


所以a+lga2+1=a,即lga2=-1,故a=12(舍去);


当0

所以f(x)max=f(0)=a0+lga(0+1)=1,f(x)min=f(1)=a+lga2,所以a+lga2+1=a,即a=12.


综上所述,a=12.


答案:12


6.不等式lg12(4x+2x+1)>0的解集为 .


解析:由lg12(4x+2x+1)>0,得4x+2x+1<1,即(2x)2+2·2x<1,配方得(2x+1)2<2,所以2x<2-1,两边取以2为底的对数,得x

答案:(-∞,lg2(2-1))


7.已知函数f(x)=lg12ax-2x-1(a为常数).


(1)若常数a<2,且a≠0,求f(x)的定义域;


(2)若f(x)在区间(2,4)内单调递减,求实数a的取值范围.


解:(1)对于ax-2x-1>0,当02a;当a<0时,解得2a

故当02a ;当a<0时,f(x)的定义域为x2a

(2)令u=ax-2x-1,x∈(2,4),因为y=lg12u在定义域上为减函数,所以要使f(x)在区间(2,4)内单调递减,只需u=ax-2x-1=a+a-2x-1在区间(2,4)内单调递增且恒为正值,故有a-2<0,2a-22-1≥0,解得1≤a<2,


所以实数a的取值范围为[1,2).


8.已知函数f(x)=lg12(x2-2ax+3).


(1)若f(x)的定义域为R,求a的取值范围.


(2)若f(-1)=-3,求f(x)的单调区间.


(3)是否存在实数a,使f(x)在区间(-∞,2)内单调递增?若存在,求出a的取值范围;若不存在,请说明理由.


解:(1)∵函数f(x)=lg12(x2-2ax+3)的定义域为R,


∴x2-2ax+3>0恒成立,∴Δ<0,即4a2-12<0,解得-3

(2)∵f(-1)=-3,∴lg12(1+2a+3)=lg128,


∴4+2a=8,∴a=2.∴f(x)=lg12(x2-4x+3).


∵x2-4x+3>0,即(x-3)(x-1)>0,∴x<1或x>3.


故m(x)=x2-4x+3在区间(-∞,1)内单调递减,在区间(3,+∞)内单调递增.


又f(x)=lg12m(x)为减函数,∴根据复合函数单调性的规律可知,函数f(x)在区间(-∞,1)内单调递增,在区间(3,+∞)内单调递减.


故函数f(x)的单调递增区间是(-∞,1),单调递减区间是(3,+∞).


(3)不存在实数a,使f(x)在区间(-∞,2)内单调递增.理由如下:


函数f(x)=lg12(x2-2ax+3).


设n(x)=x2-2ax+3,可知函数n(x)在区间(-∞,a)内单调递减,在区间(a,+∞)内单调递增,从而f(x)在区间(-∞,a)内单调递增,在区间(a,+∞)内单调递减.


因为函数f(x)在区间(-∞,2)内单调递增,所以a≥2,且4-4a+3>0,解得a≥2,且a<74.


所以没有符合这种条件的a.


故不存在实数a,使f(x)在区间(-∞,2)内单调递增.