高中数学第四章 指数函数与对数函数4.4 对数函数第1课时导学案

这是一份高中数学第四章 指数函数与对数函数4.4 对数函数第1课时导学案，共9页。

4.4 对数函数


第1课时 对数函数的概念、图象和性质








中科院古脊椎动物与古人类研究所的专家向外界确认，河南汝阳村李锤发现的“龙骨”实际上是一头距今已有1亿至8 000万年历史的黄河巨龙的肋骨．经过发掘、整理、还原模型，专家推断这条黄河巨龙活着的时候，体重应该在60吨左右，是迄今为止亚洲最高大、最肥胖的“亚洲龙王”．





同学们，你们知道专家是怎样依据化石估算出黄河巨龙的生活年代的吗？那就让我们学习一种新的函数模型——对数函数来解决这个问题吧！


问题：(1)考古学家一般通过提取附着在出土文物、古遗址上死亡物体的残留物，利用 (P为碳14含量)估算出土文物或古遗址的年代t，那么t是P的函数吗？为什么？


(2)函数的解析式与函数y＝lg2x的解析式有什么共同特征？


提示：(1)t是P的函数，因为对于P每取一个确定的值按照对应关系f：，都有唯一的值与之相对应，故t是P的函数．


(2)两个函数都是对数的真数作为函数的自变量．





1．对数函数的概念


函数y＝lgax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．


思考1：函数y＝2lg3x，y＝lg3(2x)是对数函数吗？


提示：不是，其不符合对数函数的形式．


2．对数函数的图象和性质


思考2：对数函数的“上升”或“下降”与谁有关？


提示：底数a与1的关系决定了对数函数的升降．


当a>1时，对数函数的图象“上升”；当0

3．反函数


指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝lgax(a>0且a≠1)互为反函数．





1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)


(1)对数函数的定义域为R.( )


(2)函数y＝lga(x＋2)恒过定点(－1,0)．( )


(3)对数函数的图象一定在y轴右侧．( )


(4)函数y＝lg2x与y＝x2互为反函数．( )


[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)×


2．函数y＝lgax的图象如图所示，则实数a的可能取值为( )





A．5 B．eq \f(1,5)


C.eq \f(1,e) D．eq \f(1,2)


A [由图可知，a>1，故选A.]


3．若对数函数过点(4,2)，则其解析式为________．


f(x)＝lg2x [设对数函数的解析式为f(x)＝lgax(a>0且a≠1)．由f(4)＝2得lga4＝2，∴a＝2，即f(x)＝lg2x.]


4．函数f(x)＝lg2(x＋1)的定义域为________．


(－1，＋∞) [由x＋1>0得x>－1，故f(x)的定义域为(－1，＋∞)．]








【例1】 (1)下列给出的函数：①y＝lg5x＋1；


②y＝lgax2(a>0，且a≠1)；③y＝lg(eq \r(3)－1)x；


④y＝eq \f(1,3)lg3x；⑤y＝lgxeq \r(3)(x>0，且x≠1)；





A．③④⑤ B．②④⑥


C．①③⑤⑥ D．③⑥


(2)若函数y＝lg(2a－1)x＋(a2－5a＋4)是对数函数，则a＝________.


(3)已知对数函数的图象过点(16,4)，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝_____________.


(1)D (2)4 (3)－1 [(1)由对数函数定义知，③⑥是对数函数，故选D.


(2)因为函数y＝lg(2a－1)x＋(a2－5a＋4)是对数函数，


所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2a－1>0，,2a－1≠1，,a2－5a＋4＝0，))


解得a＝4.


(3)设对数函数为f(x)＝lgax(a>0且a≠1)，


由f(16)＝4可知lga16＝4，∴a＝2，


∴f(x)＝lg2x，


∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝lg2eq \f(1,2)＝－1.]





判断一个函数是对数函数的方法








eq \([跟进训练])


1．若函数f(x)＝(a2＋a－5)lgax是对数函数，则a＝________.


2 [由a2＋a－5＝1得a＝－3或a＝2.


又a>0且a≠1，所以a＝2.]





【例2】 求下列函数的定义域．


(1)y＝lg3x2；


(2)y＝lga(4－x)(a>0，且a≠1)；


(3)y＝eq \f(1,lg x)；


(4)y＝lg7eq \f(1,1－3x).


[解] (1)∵x2>0，即x≠0.


∴函数y＝lg3x2的定义域为{x|x≠0}．


(2)∵4－x>0，即x<4.


∴函数y＝lga(4－x)的定义域为{x|x<4}．


(3)∵x＞0，且lg x≠0.


∴x＞0且x≠1.


∴函数y＝eq \f(1,lg x)的定义域为{x|x＞0且x≠1}．


(4)∵eq \f(1,1－3x)>0，∴1－3x>0，即x

∴函数y＝lg7eq \f(1,1－3x)的定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x<\f(1,3))))).





求对数型函数的定义域时应遵循的原则


1分母不能为0.


2根指数为偶数时，被开方数非负.


3对数的真数大于0，底数大于0且不为1.


提醒：定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求与对数函数有关的定义域问题时，要注意对数函数的概念，若自变量在真数上，则必须保证真数大于0；若自变量在底数上，应保证底数大于0且不等于1.





eq \([跟进训练])


2．求下列函数的定义域：


(1)f(x)＝eq \f(1,\r(lgeq \s\d5(\f(1,2))x＋1))；


(2)f(x)＝eq \f(1,\r(2－x))＋ln(x＋1)；


(3)f(x)＝lg(2x－1)(－4x＋8)．


[解] (1)要使函数f(x)有意义，则lgeq \s\d8(eq \f(1,2))x＋1>0，即lgeq \s\d5(eq \f(1,2))x>－1，解得0

(2)函数式若有意义，需满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1>0，,2－x>0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>－1，,x<2，))解得－1

(3)由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－4x＋8>0，,2x－1>0，,2x－1≠1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x<2，,x>\f(1,2)，,x≠1.))故函数y＝lg(2x－1)(－4x＋8)的定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,2)




[探究问题]


1．如图，曲线C1，C2，C3，C4分别对应y＝lga1x，y＝lga2x，y＝lga3x，y＝lga4x的图象，你能指出a1，a2，a3，a4以及1的大小关系吗？





提示：作直线y＝1，它与各曲线C1，C2，C3，C4的交点的横坐标就是各对数的底数，由此可判断出各底数的大小必有a4>a3>1>a2>a1>0.


2．函数y＝ax与y＝lgax(a>0且a≠1)的图象有何特点？


提示：两函数的图象关于直线y＝x对称．


【例3】 (1)当a>1时，在同一坐标系中，函数y＝a－x与y＝lgax的图象为( )





A B C D


(2)已知f(x)＝lga|x|，满足f(－5)＝1，试画出函数f(x)的图象．


[思路点拨] (1)结合a>1时y＝a－x＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)))eq \s\up12(x)及y＝lgax的图象求解．


(2)由f(－5)＝1求得a，然后借助函数的奇偶性作图．


(1)C [∵a>1，∴0

(2)[解] ∵f(x)＝lga|x|，∴f(－5)＝lga5＝1，即a＝5，∴f(x)＝lg5|x|，


∴f(x)是偶函数，其图象如图所示．








1．把本例(1)的条件“a>1”去掉，函数“y＝lgax”改为“y＝lga(－x)”，则函数y＝a－x与y＝lga(－x)的图象可能是( )





C [∵在y＝lga(－x)中，－x＞0，∴x＜0，


∴图象只能在y轴的左侧，故排除A，D；


当a＞1时，y＝lga(－x)是减函数，


y＝a－x＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)))eq \s\up12(x)是减函数，故排除B；


当0＜a＜1时，y＝lga(－x)是增函数，


y＝a－x＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)))eq \s\up12(x)是增函数，∴C满足条件，故选C.]


2．把本例(2)改为f(x)＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(lg2x＋1))＋2，试作出其图象．


[解] 第一步：作y＝lg2x的图象，如图(1)所示．





(1) (2)


第二步：将y＝lg2x的图象沿x轴向左平移1个单位长度，得y＝lg2(x＋1)的图象，如图(2)所示．


第三步：将y＝lg2(x＋1)的图象在x轴下方的部分作关于x轴的对称变换，得y＝|lg2(x＋1)|的图象，如图(3)所示．


第四步：将y＝|lg2(x＋1)|的图象沿y轴向上平移2个单位长度，即得到所求的函数图象，如图(4)所示．





(3) (4)





函数图象的变换规律


1一般地，函数y＝fx±a＋ba，b为实数的图象是由函数y＝fx的图象沿x轴向左或向右平移|a|个单位长度，再沿y轴向上或向下平移|b|个单位长度得到的.


2含有绝对值的函数的图象一般是经过对称变换得到的.一般地，y＝f|x－a|的图象是关于直线x＝a对称的轴对称图形；函数y＝|fx|的图象与y＝fx的图象在fx≥0的部分相同，在fx<0的部分关于x轴对称.











1．掌握3个知识点


(1)对数函数的定义；


(2)对数函数的定义域；


(3)对数函数的图象．


2．关注3个易错点


(1)判断一个函数是不是对数函数关键是分析所给函数是否具有y＝lgax(a>0且a≠1)这种形式．


(2)在对数函数y＝lgax中，底数a对其图象直接产生影响，学会以分类的观点认识和掌握对数函数的图象和性质．


(3)涉及对数函数定义域的问题，常从真数和底数两个角度分析．





1．下列函数是对数函数的是( )


A．y＝2＋lg3x


B．y＝lga(2a)(a>0，且a≠1)


C．y＝lgax2(a>0，且a≠1)


D．y＝ln x


D [结合对数函数的形式y＝lgax(a>0且a≠1)可知D正确．]


2．函数f(x)＝eq \r(lg x)＋lg(5－3x)的定义域是( )


A.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(5,3))) B．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(5,3)))


C.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(5,3))) D．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1，\f(5,3)))


C [由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lg x≥0，,5－3x>0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≥1，,x<\f(5,3)，))


即1≤x

3．对数函数的图象过点M(16,4)，则此对数函数的解析式为( )


A．y＝lg4x B．y＝lgeq \s\d5(eq \f(1,4))x


C．y＝lgeq \s\d5(eq \f(1,2))x D．y＝lg2x


D [由于对数函数的图象过点M(16,4)，所以4＝lga16，得a＝2.所以对数函数的解析式为y＝lg2x，故选D.]


4．已知函数f(x)＝lga(x－1)＋4(a>0，且a≠1)的图象恒过定点Q，则Q点坐标是( )


A．(0,5) B．(1,4)


C．(2,4) D．(2,5)


C [令x－1＝1，即x＝2.则f(x)＝4.即函数图象恒过定点Q(2,4)．故选C.]


5．已知f(x)＝lg3x.


(1)作出这个函数的图象；


(2)若f(a)

[解] (1)作出函数y＝lg3x的图象如图所示．





(2)令f(x)＝f(2)，


即lg3x＝lg32，解得x＝2.


由图象知：


当0

所以所求a的取值范围为0

学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解对数函数的概念，会求对数函数的定义域．(重点、难点)


2．能画出具体对数函数的图象，并能根据对数函数的图象说明对数函数的性质．(重点)
1.通过学习对数函数的图象，培养直观想象素养．


2．借助对数函数的定义域的求解，培养数学运算的素养.
a的范围
0a>1
图象
定义域
(0，＋∞)
值域
R
性质
定点
(1,0)，即x＝1时，y＝0
单调性
在(0，＋∞)上是减函数
在(0，＋∞)上是增函数
对数函数的概念及应用
对数函数的定义域
对数函数的图象问题