高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.2 指数函数第1课时学案及答案
展开4.2 指数函数
第1课时 指数函数的概念、图象和性质
将一张报纸连续对折,折叠次数x与对应的层数y之间存在什么关系?对折后的面积S(设原面积为1)与折叠的次数有怎样的关系?
折叠次数 对应层数 对折后的面积S
x=1 y=2=21 S=eq \f(1,2)
x=2 y=4=22 S=eq \f(1,4)=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(2)
x=3 y=8=23 S=eq \f(1,8)=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(3)
…… …… ……
由上面的对应关系,我们可以归纳出第x次折叠后对应的层数为y=2x(x∈N*),对折后的面积S=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x) (x∈N*).
问题:实例中得到的两个函数解析式有什么共同特征?
提示:(1)幂的形式;(2)幂的底数是一个大于0且不等于1的常数;(3)幂的指数是一个变量.
1.指数函数的概念
一般地,函数y=ax(a>0,且a≠1)叫做指数函数,其中指数x是自变量,函数的定义域是R.
2.指数函数的图象和性质
思考1:指数函数y=ax(a>0且a≠1)的图象“升”“降”主要取决于什么?
提示:指数函数y=ax(a>0且a≠1)的图象“升”“降”主要取决于字母a.当a>1时,图象具有上升趋势;当0
思考2:指数函数值随自变量有怎样的变化规律?
提示:指数函数值随自变量的变化规律如下:
1.思考辨析(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)y=x2是指数函数.( )
(2)函数y=2-x不是指数函数.( )
(3)指数函数的图象一定在x轴的上方.( )
[答案] (1)× (2)× (3)√
2.下列函数一定是指数函数的是( )
A.y=2x+1 B.y=x3
C.y=3·2x D.y=3-x
D [由指数函数的定义可知D正确.]
3.函数y=3-x的图象是( )
A B C D
B [∵y=3-x=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(x),∴B选项正确.]
4.若指数函数f(x)的图象过点(3,8),则f(x)的解析式为( )
A.f(x)=x3 B.f(x)=2x
C.f(x)=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x) D.f(x)=xeq \s\up12(eq \f(1,3))
B [设f(x)=ax(a>0且a≠1),则由f(3)=8得
a3=8,∴a=2,∴f(x)=2x,故选B.]
【例1】 (1)下列函数中,指数函数的个数是( )
①y=(-8)x;②y=2x2-1;③y=ax;
④y=2·3x.
A.1 B.2
C.3 D.0
(2)已知函数f(x)为指数函数,且feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(3,2)))=eq \f(\r(3),9),则f(-2)=________.
(1)D (2)eq \f(1,9) [(1)①中底数-8<0,所以不是指数函数;
②中指数不是自变量x,所以不是指数函数;
③中,只有规定a>0且a≠1时,才是指数函数;
④中3x前的系数是2,而不是1,所以不是指数函数,故选D.
(2)设f(x)=ax(a>0且a≠1),由feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(3,2)))=eq \f(\r(3),9)得aeq \s\up12(-eq \f(3,2))=eq \f(\r(3),9),所以a=3,又f(-2)=a-2,所以f(-2)=3-2=eq \f(1,9).]
1.判断一个函数是否为指数函数,要牢牢抓住三点:
(1)底数是大于0且不等于1的常数;
(2)指数函数的自变量必须位于指数的位置上;
(3)ax的系数必须为1.
2.求指数函数的解析式时常用待定系数法.
eq \([跟进训练])
1.已知函数f(x)=(2a-1)x是指数函数,则实数a的取值范围是________.
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2),1))∪(1,+∞) [由题意可知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2a-1>0,,2a-1≠1,))
解得a>eq \f(1,2),且a≠1,
所以实数a的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2),1))∪(1,+∞).]
【例2】 (1)函数f(x)=ax-b的图象如图所示,其中a,b为常数,则下列结论正确的是( )
A.a>1,b<0 B.a>1,b>0
C.00 D.0
(2)函数y=ax-3+3(a>0,且a≠1)的图象过定点________.
(1)D (2)(3,4) [(1)由于f(x)的图象单调递减,所以0
又0
(2)令x-3=0得x=3,此时y=4.故函数y=ax-3+3(a>0,且a≠1)的图象过定点(3,4).]
指数函数图象问题的处理技巧
1抓住图象上的特殊点,如指数函数的图象过定点.
2利用图象变换,如函数图象的平移变换左右平移、上下平移.
3利用函数的奇偶性与单调性.奇偶性确定函数的对称情况,单调性决定函数图象的走势.
eq \([跟进训练])
2.已知f(x)=2x,指出下列函数的图象是由y=f(x)的图象通过怎样的变化得到:
(1)y=2x+1;(2)y=2x-1;(3)y=2x+1;
(4)y=2-x;(5)y=2|x|.
[解] (1)y=2x+1的图象是由y=2x的图象向左平移1个单位得到.
(2)y=2x-1的图象是由y=2x的图象向右平移1个单位得到.
(3)y=2x+1的图象是由y=2x的图象向上平移1个单位得到.
(4)∵y=2-x与y=2x的图象关于y轴对称,∴作y=2x的图象关于y轴的对称图形便可得到y=2-x的图象.
(5)∵y=2|x|为偶函数,故其图象关于y轴对称,故先作出当x≥0时,y=2x的图象,再作关于y轴的对称图形,即可得到y=2|x|的图象.]
[探究问题]
1.函数y=2eq \s\up5(x2+1)的定义域与f(x)=x2+1的定义域存在什么关系?
提示:定义域相同.
2.如何求y=2eq \s\up5(x2+1)的值域?
提示:可先令t=x2+1,则易求得t的取值范围为[1,+∞),又y=2t在[1,+∞)上是单调递增函数,故2t≥2,所以y=2eq \s\up5(x2+1)的值域为[2,+∞).
【例3】 求下列函数的定义域和值域:
(1)y=eq \r(1-3x);
(2)y=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x2-2x-3);
(3)y=4x+2x+1+2.
[思路点拨] eq \x(函数式有意义)―→eq \x(原函数的定义域)
eq \(――――→,\s\up7(指数函数),\s\d7(的值域))eq \x(原函数的值域)
[解] (1)要使函数式有意义,则1-3x≥0,即3x≤1=30,因为函数y=3x在R上是增函数,所以x≤0,故函数y=eq \r(1-3x)的定义域为(-∞,0].
因为x≤0,所以0<3x≤1,所以0≤1-3x<1,
所以eq \r(1-3x)∈[0,1),即函数y=eq \r(1-3x)的值域为[0,1).
(2)定义域为R.
∵x2-2x-3=(x-1)2-4≥-4,
∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x2-2x-3)≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(-4)=16.
又∵eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x2-2x-3) >0,
∴函数y=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x2-2x-3)的值域为(0,16].
(3)因为对于任意的x∈R,函数y=4x+2x+1+2都有意义,所以函数y=4x+2x+1+2的定义域为R.因为2x>0,所以4x+2x+1+2=(2x)2+2×2x+2=(2x+1)2+1>1+1=2,
即函数y=4x+2x+1+2的值域为(2,+∞).
1.若本例(1)的函数换为“y=eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(x)-1)”,求其定义域.
[解] 由eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(x)-1≥0得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(x)≥eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(0),∴x≤0,即函数的定义域为(-∞,0].
2.若本例(3)的函数增加条件“0≤x≤2”,再求函数的值域.
[解] ∵0≤x≤2,∴1≤2x≤4,∴y=4x+2x+1+2=(2x)2+2×2x+2=(2x+1)2+1.
令2x=t,则t∈[1,4],且f(t)=(t+1)2+1,
易知f(t)在[1,4]上单调递增,
∴f(1)≤f(t)≤f(4),即5≤f(t)≤26,
即函数y=4x+2x+1+2的值域为[5,26].
1.函数y=af(x)的定义域与y=f(x)的定义域相同.
2.函数y=af(x)的值域的求解方法如下:
(1)换元,令t=f(x);
(2)求t=f(x)的定义域x∈D;
(3)求t=f(x)的值域t∈M;
(4)利用y=at的单调性求y=at,t∈M的值域.
3.形如y=f(ax)的值域,要先求出u=ax的值域,再结合y=f(u)确定出y=f(ax)的值域.
1.掌握3个知识点
(1)判断一个函数是否为指数函数,只需判定其解析式是否符合y=ax(a>0且a≠1)这一结构形式.
(2)指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系:在y轴右侧,图象从上到下相应的底数由大变小;在y轴左侧,图象从下到上相应的底数由大变小,即无论在y轴的左侧还是右侧,底数按逆时针方向变大.
(3)由于指数函数y=ax(a>0且a≠1)的定义域为R,所以函数y=af(x)(a>0且a≠1)与函数f(x)的定义域相同,求与指数函数有关的函数的值域时,要考虑并利用指数函数本身的要求,并利用好指数函数的单调性.
2.规避1个易错点
易忽视底数a>0且a≠1.
1.函数y=8-23-x(x≥0)的值域是( )
A.[0,8) B.(0,8)
C.[0,8] D.(0,8]
A [∵x≥0,∴-x≤0,∴3-x≤3,∴0<23-x≤23=8,∴0≤8-23-x<8,∴函数y=8-23-x的值域为[0,8).]
2.如图是指数函数①y=ax,②y=bx,③y=cx,④y=dx的图象,则a,b,c,d与1的大小关系是( )
A.a<b<1<c<d B.b<a<1<d<c
C.1<a<b<c<d D.a<b<1<d<c
B [作直线x=1,与四个图象分别交于A,B,C,D四点,则A(1,a),B(1,b),C(1,c),D(1,d),由图可知b
]
3.函数y=eq \r(1-\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x))的定义域是________.
[0,+∞) [由1-eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x)≥0得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x)≤1=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(0),
∴x≥0,
∴函数y=eq \r(1-\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x))的定义域为[0,+∞).]
4.设f(x)=3x,g(x)=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(x).
(1)在同一坐标系中作出f(x),g(x)的图象;
(2)计算f(1)与g(-1),f(π)与g(-π),f(m)与g(-m)的值,从中你能得到什么结论?
[解] (1)函数f(x),g(x)的图象如图所示:
(2)f(1)=31=3,g(-1)=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(-1)=3,
f(π)=3π,g(-π)=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(-π)=3π,
f(m)=3m,g(-m)=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(-m)=3m.
从以上计算的结果看,两个函数当自变量取值互为相反数时,其函数值相等,即当指数函数的底数互为倒数时,它们的图象关于y轴对称.
学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解指数函数的概念与意义,掌握指数函数的定义域、值域的求法.(重点、难点)
2.能画出具体指数函数的图象,并能根据指数函数的图象说明指数函数的性质.(重点)
1.通过学习指数函数的图象,培养直观想象的数学素养.
2.借助指数函数的定义域、值域的求法,培养逻辑推理素养.
a的范围
a>1
0<a<1
图象
性质
定义域
R
值域
(0,+∞)
过定点
(0,1),即当x=0时,y=1
单调性
在R上是增函数
在R上是减函数
奇偶性
非奇非偶函数
对称性
函数y=ax与y=a-x的图象关于y轴对称
指数函数的概念
指数函数的图象的应用
指数函数的定义域、值域问题
高中数学3.1 指数函数的概念第1课时导学案: 这是一份高中数学3.1 指数函数的概念第1课时导学案,共10页。
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