人教A版 (2019)必修 第一册4.4 对数函数优质导学案

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册4.4 对数函数优质导学案，共10页。学案主要包含了对数函数的图象问题，比较大小等内容，欢迎下载使用。

学习目标 1.初步掌握对数函数的图象和性质.2.会类比指数函数研究对数函数的性质.3.掌握对数函数的图象和性质的简单应用．








知识点 对数函数的图象和性质


对数函数y＝lgax(a>0，且a≠1)的图象和性质如下表：





预习小测 自我检验


1．函数y＝lg4.3x的值域是________．


答案 R


2．函数y＝lg(x＋1)的图象大致是________．





答案 ③


解析 由底数大于1可排除①，②，y＝lg(x＋1)可看作是y＝lg x的图象向左平移1个单位长度(或令x＝0得y＝0，而且函数为增函数)．


3．已知y＝ax在R上是增函数，则y＝lgax在(0，＋∞)上是________函数．(填“增”或“减”)


答案 增


4．函数y＝lgax＋1过定点________．


答案 (1,1)





一、对数函数的图象问题


例1 (1)函数y＝x＋a与y＝lgax的图象可能是下图中的( )





答案 C


(2)函数y＝lga(x＋2)＋3(a>0且a≠1)的图象过定点________．


答案 (－1,3)


解析 令x＋2＝1，所以x＝－1，y＝3.所以过定点(－1,3)．


(3)已知f(x)＝lga|x|满足f(－5)＝1，试画出函数f(x)的图象．


解 因为f(－5)＝1，所以lga5＝1，即a＝5，


故f(x)＝lg5|x|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lg5x，x>0，,lg5－x，x<0.))


所以函数y＝lg5|x|的图象如图所示．





延伸探究


在本例中，若条件不变，试画出函数g(x)＝lga|x－1|的图象．


解 因为f(x)＝lg5|x|，


所以g(x)＝lg5|x－1|，


如图，g(x)的图象是由f(x)的图象向右平移1个单位长度得到．





反思感悟 现在画图象很少单纯依靠描点，大多是以常见的函数为原料加工，所以一方面要掌握一些平移、对称变换的结论，另一方面要关注定义域、值域、单调性、关键点．


跟踪训练1 (1)如图，若C1，C2分别为函数y＝lgax和y＝lgbx的图象，则( )





A．0

B．0

C．a>b>1


D．b>a>1


答案 B


解析 作直线y＝1，则直线与C1，C2的交点的横坐标分别为a，b，易知0

(2)画出函数y＝|lg(x－1)|的图象．


考点 对数函数的图象


题点 含绝对值的对数函数的图象


解 ①先画出函数y＝lg x的图象(如图)．





②再画出函数y＝lg(x－1)的图象(如图)．





③最后画出函数y＝|lg(x－1)|的图象(如图)．





二、比较大小


例2 比较下列各组数的大小：


(1)lg5eq \f(3,4)与lg5eq \f(4,3)；


(2)与；


(3)lg23与lg54.


解 (1)方法一 对数函数y＝lg5x在(0，＋∞)上是增函数，而eq \f(3,4)

方法二 因为lg5eq \f(3,4)<0，lg5eq \f(4,3)>0，


所以lg5eq \f(3,4)

(2)由于＝eq \f(1,lg2\f(1,3))，＝eq \f(1,lg2\f(1,5))，


又对数函数y＝lg2x在(0，＋∞)上是增函数，且0

所以0>lg2eq \f(1,3)>lg2eq \f(1,5)，所以eq \f(1,lg2\f(1,3))

所以


(3)取中间值1，因为lg23>lg22＝1＝lg55>lg54，所以lg23>lg54.


反思感悟 比较对数值大小时常用的四种方法


(1)同底数的利用对数函数的单调性．


(2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化．


(3)底数和真数都不同，找中间量．


(4)若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论．


跟踪训练2 (1)(2019·全国Ⅰ)已知a＝lg20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则( )


A．a

答案 B


解析 ∵a＝lg20.2<0，b＝20.2>1，c＝0.20.3∈(0,1)，∴a

(2)比较下列各组值的大小：


①②lg1.51.6，lg1.51.4；


③lg0.57，lg0.67；④lg3π，lg20.8.


解 ①因为函数是(0，＋∞)上的减函数，且0.5<0.6，


所以


②因为函数y＝lg1.5x是(0，＋∞)上的增函数，且1.6>1.4，


所以lg1.51.6>


③因为0>lg70.6>lg70.5，所以eq \f(1,lg70.6)

即lg0.67

④因为lg3π>lg31＝0，


lg20.8lg20.8.





1．当a>1时，在同一坐标系中，函数y＝a－x与y＝lgax的图象为( )





答案 C


解析 y＝a－x＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)))x，∵a>1，∴0

则y＝a－x在(－∞，＋∞)上是减函数，过定点(0,1)；


对数函数y＝lgax在(0，＋∞)上是增函数，过定点(1,0)．故选C.


2．函数y＝2＋lg2x(x≥1)的值域为( )


A．(2，＋∞) B．(－∞，2) C．[2，＋∞) D．[3，＋∞)


答案 C


解析 当x≥1时，lg2x≥0，


所以y＝2＋lg2x≥2.


3．已知a＝lg23.6，b＝lg43.2，c＝lg43.6，则( )


A．a>b>c B．a>c>b C．b>a>c D．c>a>b


答案 B


解析 a＝lg23.6>1,1>c＝lg43.6>b＝lg43.2，故选B.


4．已知函数y＝lga(x－3)－1的图象恒过定点P，则点P的坐标是________．


答案 (4，－1)


解析 y＝lgax(a>0，且a≠1)的图象恒过点(1,0)，


令x－3＝1，得x＝4，此时y＝－1.


5．已知f(x)＝lg3x.


(1)作出这个函数的图象；


(2)若f(a)

解 (1)作出函数y＝lg3x的图象如图所示．





(2)由图象知，当0

恒有f(a)

∴所求a的取值范围为(0,2)．





1．知识清单：


(1)对数函数的图象及性质．


(2)利用对数函数的图象及性质比较大小．


2．方法归纳：图象变换，数形结合法．


3．常见误区：作对数函数图象易忽视底数a>1与0







1．若0

A．第一象限 B．第二象限


C．第三象限 D．第四象限


答案 A


解析 ∵y＝lga(x＋5)过定点(－4,0)且单调递减，


∴函数图象不过第一象限，故选A.


2．已知<<0，则( )


A．n

C．1

答案 D


解析 因为0

所以m>n>1，故选D.


3．设a＝lg36，b＝lg510，c＝lg714，则( )


A．c>b>a B．b>c>a


C．a>c>b D．a>b>c


考点 对数值大小比较


题点 对数值大小比较


答案 D


解析 a＝lg36＝lg32＋1，b＝lg52＋1，c＝lg72＋1，


在同一坐标系内分别画出y＝lg3x，y＝lg5x，y＝lg7x的图象，





当x＝2时，由图易知lg32>lg52>lg72，


∴a>b>c.


4.如图，曲线是对数函数y＝lgax的图象，已知a的取值有eq \f(4,3)，eq \r(3)，eq \f(3,5)，eq \f(1,10)，则相应C1，C2，C3，C4的a的值依次是( )





A.eq \r(3)，eq \f(4,3)，eq \f(1,10)，eq \f(3,5)


B.eq \r(3)，eq \f(4,3)，eq \f(3,5)，eq \f(1,10)


C.eq \f(4,3)，eq \r(3)，eq \f(3,5)，eq \f(1,10)


D.eq \f(4,3)，eq \r(3)，eq \f(1,10)，eq \f(3,5)


答案 B


5．已知实数a＝lg45，b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))0，c＝lg30.4，则a，b，c的大小关系为( )


A．b

C．c

答案 D


解析 由题意知，a＝lg45>1，b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))0＝1，


c＝lg30.4<0，故c

6．比较大小，用不等号连接起来．


(1)；


(2)lg25________lg75；


(3)lg34________2；


(4)lg35________lg64.


答案 (1)> (2)> (3)< (4)>


7．函数y＝lga(x－4)＋2(a>0且a≠1)恒过定点________．


答案 (5,2)


解析 令x－4＝1得x＝5，


此时y＝lga1＋2＝2，


所以函数y＝lga(x－4)＋2恒过定点(5,2)．


8．如果函数f(x)＝(3－a)x与g(x)＝lgax的增减性相同，则实数a的取值范围是________．


答案 1

解析 若f(x)，g(x)均为增函数，


则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3－a>1，,a>1，))即1

若f(x)，g(x)均为减函数，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0<3－a<1，,0

故1

9.已知函数y＝lga(x＋b)的图象如图所示．





(1)求实数a与b的值；


(2)函数y＝lga(x＋b)与y＝lgax的图象有何关系？


解 (1)由图象可知，函数的图象过(－3,0)点与(0,2)点，


所以得方程0＝lga(－3＋b)与2＝lgab，


解得a＝2，b＝4.


(2)由(1)知，y＝lg2(x＋4)．函数y＝lg2(x＋4)的图象可以由y＝lg2x的图象向左平移4个单位长度得到．


10．求下列函数的定义域与值域：


(1)y＝lg2(x－2)；


(2)y＝lg4(x2＋8)．


解 (1)由x－2>0，得x>2，


所以函数y＝lg2(x－2)的定义域是(2，＋∞)，值域是R.


(2)因为对任意实数x，lg4(x2＋8)都有意义，


所以函数y＝lg4(x2＋8)的定义域是R.


又因为x2＋8≥8，


所以lg4(x2＋8)≥lg48＝eq \f(3,2)，


即函数y＝lg4(x2＋8)的值域是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，＋∞)).





11．函数f(x)＝lg2(3x＋1)的值域为( )


A．(0，＋∞) B．[0，＋∞)


C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)


答案 A


解析 ∵3x>0，∴3x＋1>1.


∴lg2(3x＋1)>0.


∴函数f(x)的值域为(0，＋∞)．


12．若0

A．3y<3x B．lgx3

C．lg4x

答案 C


解析 因为0

所以由函数的单调性得3x<3y，lgx3>lgy3，lg4xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))y，故选C.


13．若f(x)是对数函数且f(9)＝2，当x∈[1,3]时，f(x)的值域是________．


答案 [0,1]


解析 设f(x)＝lgax(a>0，且a≠1)，


因为lga9＝2，所以a＝3，即f(x)＝lg3x.


又因为x∈[1,3]，所以0≤f(x)≤1.


14．已知f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－2ax＋5a，x<1，,lg7x，x≥1))的值域为R，那么实数a的取值范围是________．


答案 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，\f(1,2)))


解析 要使函数f(x)的值域为R，则必须满足


eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－2a>0，,lg71≤1－2a＋5a，))


即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a<\f(1,2)，,a≥－\f(1,3)，))所以－eq \f(1,3)≤a




15．若函数f(x)＝lga(x＋b)的图象如图所示，其中a，b为常数，则函数g(x)＝ax＋b的图象大致是( )








考点 对数函数的图象


题点 同一坐标系下的指数函数与对数函数的图象


答案 D


解析 由f(x)的图象可知0

∴g(x)的图象应为D.


16．已知函数f(x)＝||.


(1)画出函数y＝f(x)的图象；


(2)写出函数y＝f(x)的单调区间；


(3)当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，m))时，函数y＝f(x)的值域为[0,1]，求m的取值范围．


解 (1)先作出y＝的图象，再把y＝的图象x轴下方的部分往上翻折，得到f(x)＝||的图象如图．





(2)f(x)的定义域为(0，＋∞)，由图可知，f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．


(3)由f(x)＝||的图象可知f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝f(2)＝1，f(1)＝0，


由题意结合图象知，1≤m≤2.y＝lgax (a>0，且a≠1)
底数
a>1
0图象
定义域
(0，＋∞)
值域
R
单调性
在(0，＋∞)上是增函数
在(0，＋∞)上是减函数
共点性
图象过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0
函数值特点
x∈(0,1)时，y∈(－∞，0)；


x∈[1，＋∞)时，y∈[0，＋∞)
x∈(0,1)时，y∈(0，＋∞)；


x∈[1，＋∞)时，y∈(－∞，0]
对称性
函数y＝lgax与y＝的图象关于x轴对称