必修 第一册4.4 对数函数学案及答案

4.4：对数函数

知识点1：对数函数的概念

1.对数函数的概念

一般地，函数叫做对数函数，其中指数是自变量，定义域是.

2.判断一个函数是对数函数的依据

（1）形如；（2）底数满足；（3）真数是，而不是的函数；（4）定义域.例如：是对数函数，而、都不是对数函数，可称为对数型函数.

例1-1：（多选题）下列函数中为对数函数的（    ）.

A.        B.     C.     D.

答案：CD

指数点2：对数函数的图象和性质

函数的图象和性质如下表：

例2-2：函数的大致图象是（   ）

答案：A

例2-3：若函数的图象恒过点A，则A的坐标为       .

答案：（1,4）

例2-4：已知函数在（0，2）上的值域是（1，），则的大致图象是（    ）.

答案：B

知识点3：反函数

1.反函数的定义

一般地，对于函数，设它的值域为C.我们根据这个函数中的的关系，用把表示出来，得到.如果对于在C中的任何一个值，通过，在A中都有唯一的值和他对应，那么就表示是自变量的函数.这样的函数叫做的反函数，记作.

2.反函数的性质

（1）互为反函数的两个函数的图像关于直线对称.

（2）若互为反函数的两个函数是同一个函数，则该函数的图象关于直线对称.

（3）若函数图象上有一点，则必在其反函数的图象上；反之，若点在反函数的图象上，则必在其原函数的图象上.

（4）互为反函数的两个函数的单调性相同.

例3-5：设函数与的图像关于直线对称，则（    ）.

1. 4             B.            C. 1               D.

答案：C

例3-6：函数的反函数为（    ）

A.     B.     C.     D.

答案：B

例3-7：设常数，函数.若的反函数的图象经过点（3,1），则       .

答案：7

知识点4：几类函数的增长差异

1.几种不同增长的函数模型

（1）一次函数模型

一次函数模型的增长特点是直线上升，其增长速度不变.

（2）指数函数模型

指数函数模型的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”.

（3）对数函数模型

对数函数模型的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓.

（4）幂函数模型

当时，幂函数是增函数，且当时，越大其函数值的增长速度就越快.

2.几类函数的增长差异

一般地，在区间上，尽管函数，，都单调递增，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上.

随着的增大，的增长速度越来越快，最终会超过并远远大于的增长速度（即使的值远远大于的值也是如此），而的增长速度则会越来越慢.

因此，总会存在一个，使得当时，有

例4-8：某公司为了适应市场需求，对产品结构进行了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润与产量的关系，则可选用（    ）

A.一次函数模型     B.二次函数模型        C.指数函数模型   D.对数函数模型

答案：D

例4-10：函数的图象如图所示：

（1）试根据函数增长的差异指出曲线分别对应的函数；

（2）比较两函数增长的差异（以两图象交点为分界点，对，的大小进行比较）

答案：（1）    

（2）当；当

当；当.

重难拓展

底数对对数函数图像的影响

在同一平面直角坐标系中作出几个常见对数函数的图像：

1. 底数与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当时，对数函数的图像“上升”；当时，对数函数的图象“下降”.
2. 函数的图像关于轴对称.
3. 底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是还是，在第一象限内，取相同的函数值，不同的图象对应的对数函数的底数自左向右逐渐变大.

（1）上下比较：在直线的右侧，当时，越大，图象越靠近轴；当时，越小，图象越靠近轴；

（2）左右比较：比较图象与直线的交点，交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大.

例5-11：如图所示的曲线分别是对数函数的图像，则的大小关系为            （用“＞”号连接）.

答案：

例5-12：若，试比较的大小.

答案：

解题指导

题型1：对数型复合函数的定义域

例13：求下列函数的定义域：

（1）               （2））

（3）              （4）.  

答案：（1）  （2）  （3） （4）

变式训练:函数的定义域是（   ）

A.（0,2）        B.（0,2]        C.       D.

答案：D

题型2：对数函数图象的应用

1.利用对数函数作有关函数图像

例14：作出函数的图象.

答案：

2.图象的识别问题

例15：函数的图象大致是（   ）

答案：A

例16：函数与在同一直角坐标系中的大致图象可能是（   ）.

答案：D

变式训练：如果函数是减函数，那么函数的图象大致是（    ）.

答案：C

3.图象的应用——数形结合

例17：方程的实根的个数为（   ）

1. 0             B. 1              C. 2              D. 3

答案：C

变式训练：当时，不等式恒成立，则的取值范围是（   ）

A.（0,1）        B.（1,2）         C.              D.（0，）

答案：C

题型3：对数函数单调性的应用

1.研究对数型复合函数的单调性及最值

例18：求下列函数的单调区间：

（1）                （2）

答案：（1）单调递增区间是，单调递减区间是.

（2）单调递增区间是，单调递减区间是

例19：函数在区间上单调递减的必要不充分条件是（   ）

A.        B.       C.    D.

答案：C

变式训练1：已知函数，则函数的值域是（   ）

A.         B.         C.          D.

答案：B

变式训练2：已知函数，若，当时，总有，则区间有可能是（    ）

A.       B.        C.          D.

答案：B

2.对数式的大小比较

例20.比较下列各组中的两个值的大小：

（1）             （2）

（3）              （4）

答案：（1）＞     （2）＜      （3）＞     （4）＞  

例21：设为正数，且，则（    ）.

A.       B.      C.        D.

答案：D

变式训练1：已知，则（    ）

A.       B.        C.      D.

答案：C

变式训练2：（多选题）已知正实数满足等式，则下列五个关系式中可能成立的是（   ）

A.      B.         C.       D.     E.

答案：BDE

3.解对数不等式：

例22：解下列不等式：

（1）      （2）        （1）

答案：（1）.    （2）       

（3）当时，解集为；当时，原不等式的解集为

变式训练：已知函数在区间[-2，-1]上总有，求实数的取值范围.

答案：

题型4：对数型复合函数的奇偶性

例23：已知函数.

（1）若为奇函数，求的值；

（2）在（1）的条件下，若在（）上的值域为（-1，+），求的值.

答案：（1）     （2）.

易错提醒

易错1：忽略真数大于0致误

例24：若函数在[0,1]上单调递减，则的取值范围是（   ）.

A.（0,1）       B.（1,2）      C.（0,2）         D.（1，+）

答案：B

易错2：忽略对底数的讨论致误

例25：函数在[2,4]上的最大值与最小值的差是1，则的值为     .

答案：2或

易错3：未注意指数函数值域的特殊性致错

例26：关于的方程有正实数根，则实数的取值范围为       .

答案：

高考链接

考向1：对数函数的定义域与值域

例28：函数的定义域为         .

答案：

例29：下列函数中，其定义域和值域分别与函数的定义域和值域相同的是（   ）

A.         B.        C.       D.  

答案：D

考向2：对数函数的单调性及其应用

例30：函数的单调递增区间是（     ）

A.        B.        C.       D.

答案：D

例31：若，则（   ）

A.       B.       C.      D.

答案：B

考向3：对数函数图像及其应用

例32：（1）下列函数中，其图象与函数的图象关于直线对称的是（    ）

A.           B.      C.     D.

答案：B

（2）如图，函数的图象为折线ACB，则不等式的解集是（   ）

A.                B.

C.                D.

答案：C

考向4：对数函数的综合问题

例33：设函数，则是（    ）

A.奇函数，且在（0,1）上单调递增

B.奇函数，且在（0,1）上单调递减

C.偶函数，且在（0,1）上单调递增

D.偶函数，且在（0,1）上单调递减

答案：A

基础巩固：

1.函数的定义域为（   ）

A.（-1,2）          B.        C.            D.[-1,2]

2.指数函数的反函数的图象过点（4,2），则（   ）

A. 3               B. 2           C. 9                D.4

3.下列函数中，在区间（-1,1）上单调递减是（    ）

A.         B.       C.          D.

4.设，，，则的大小关系正确是（   ）

A.        B.      C.           D.

5.已知函数，直线与这三个函数的交点的横坐标分别为，则的大小关系是（   ）

A.         B.        C.       D.

6.已知函数.

（1）求的定义域；

（2）判断函数的奇偶性，并说明理由；

（3）求不等式的解集.

7.已知函数，求使关系式成立的实数的取值范围.

能力提升：

8.已知函数的图像如图所示，则下列结论成立的是（    ）.

A.              B.

C.           D.

9.在同一直角坐标系中，函数的图象可能是（   ）

10.设函数的图象与的图像关于直线对称，且，则（    ）.

A.-1             B. 1           C. 2              D. 2

11.设，，则（   ）

A.       B.     C.      D.

12.已知奇函数在R上是增函数，.若，，，则的大小关系为（   ）

A.         B.         C.         D.

13.已知函数.若，且，则的取值范围是（   ）.

A.        B.       C.           D.

14.记表示不超过的最大整数，已知，则（   ）.

A. 2            B. 3              C. 4               D. 5

15.关于的方程的解的个数为        .

16.若是偶函数，则         .

17.函数的最小值为         .

参考答案：

1. C
2. B
3. D
4. A
5. B
6. （1）；  （2）奇函数；    （3）当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.
8. D
9. D
10. C
11. B
12. C
13. C
14. C
15. 1