高中数学人教A版 (2019)必修第一册4.4 对数函数第2课时学案设计

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这是一份高中数学人教A版 (2019)必修第一册4.4 对数函数第2课时学案设计，共12页。学案主要包含了解对数不等式，对数型函数的单调性，对数型函数性质的综合应用等内容，欢迎下载使用。

第2课时　对数函数的图象和性质(二)
学习目标　1.掌握对数型复合函数单调区间的求法及单调性的判定方法.2.会解简单的对数不等式．

知识点　对数型函数的性质及应用
1．y＝logaf(x)型函数性质的研究
(1)定义域：由f(x)>0解得x的取值范围，即为函数的定义域．
(2)值域：在函数y＝logaf(x)的定义域中确定t＝f(x)的值域，再由y＝logat的单调性确定函数的值域．
(3)单调性：在定义域内考虑t＝f(x)与y＝logat的单调性，根据同增异减法则判定．(或运用单调性定义判定)
(4)奇偶性：根据奇偶函数的定义判定．
(5)最值：在f(x)>0的条件下，确定t＝f(x)的值域，再根据a确定函数y＝logat的单调性，最后确定最值．
2．logaf(x) (1)讨论a与1的关系，确定单调性．
(2)转化为f(x)与g(x)的不等关系求解，且注意真数大于零．

1．y＝log2x2在[0，＋∞)上单调递增．(　×　)
2．y＝在(0，＋∞)上单调递增．(　×　)
3．ln x<1的解集为(－∞，e)．(　×　)
4．函数y＝的值域为[0，＋∞)．(　×　)

一、解对数不等式
例1　解下列关于x的不等式：
(1)>；
(2)loga(2x－5)>loga(x－1)；
(3)logx>1.
解　(1)由题意可得解得0 所以原不等式的解集为{x|0 (2)当a>1时，原不等式等价于解得x>4.
当0 解得综上所述，当a>1时，原不等式的解集为{x|x>4}；
当0 (3)当x>1时，logx>logxx，所以x<，无解；
当0logxx，所以综上，原不等式的解集为.
反思感悟　对数不等式的三种考查类型及解法
(1)形如logax>logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0 (2)形如logax>b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式(b＝logaab)，再借助y＝logax的单调性求解．
(3)形如logf(x)a>logg(x)a(f(x)，g(x)>0且不等于1，a>0)的不等式，可利用换底公式化为同底的对数进行求解，或利用函数图象求解．
跟踪训练1　(1)求满足不等式log3x<1的x的取值集合；
(2)已知log0.7(2x) 解　(1)∵log3x<1＝log33，
∴x满足的条件为即0 ∴x的取值集合为{x|0 (2)∵函数y＝log0.7x在(0，＋∞)上为减函数，
∴由log0.7(2x) 解得x>1.
∴x的取值范围是(1，＋∞)．
二、对数型函数的单调性
例2　求函数y＝的单调区间．
解　由于x2－3x＋5的判别式Δ＝(－3)2－4×5＝－11<0，
∴x2－3x＋5>0恒成立，即函数的定义域为R.
令u(x)＝x2－3x＋5，当x∈时，u(x)单调递减，当x∈时，u(x)单调递增．
又y＝为减函数，
∴y＝在上单调递增，在上单调递减．
综上，函数y＝的增区间为，减区间为.
反思感悟　形如f(x)＝logag(x)(a>0，且a≠1)的函数的单调区间的求法
(1)先求g(x)>0的解集(也就是函数f(x)的定义域)．
(2)当底数a>1时，在g(x)>0这一前提下，g(x)的单调增区间是f(x)的单调增区间；g(x)的单调减区间是f(x)的单调减区间．
(3)当底数00这一前提下，g(x)的单调增区间是f(x)的单调减区间，g(x)的单调减区间是f(x)的单调增区间．
跟踪训练2　求函数y＝的单调区间．
解　由条件知1－x2>0，∴－1 令t＝1－x2，x∈(－1,1)．
当x∈(－1,0]时，随着x的增大t增大，y＝减少．
∴当x∈(－1,0]时，y＝单调递减．
同理，x∈(0,1)时，y＝单调递增．
故y＝的增区间为(0,1)，减区间为(－1,0]．
三、对数型函数性质的综合应用
例3　(1)已知y＝loga(2－ax)在[0,1]上单调递减，则a的取值范围为(　　)
A．(0,1) B．(1,2)
C．(0,2) D．[2，＋∞)
答案　B
解析　∵f(x)＝loga(2－ax)在[0,1]上单调递减，
且y＝2－ax在[0,1]上单调递减，
∴∴1 (2)函数f(x)＝的值域是________．
答案　(－∞，－1]
解析　f(x)＝＝，
因为(x＋1)2＋2≥2，
所以≤＝－1，
所以函数f(x)的值域是(－∞，－1]．
(教师)
延伸探究
求本例(2)的函数f(x)在[－3,1]上的值域．
解　∵x∈[－3,1]，∴2≤x2＋2x＋3≤6，
∴≤≤，
即－log26≤f(x)≤－1，
∴f(x)的值域为[－log26，－1]．
反思感悟　(1)已知对数型函数的单调性求参数的取值范围，要结合复合函数的单调性规律，注意函数的定义域求解；若是分段函数，则需注意两段函数最值的大小关系．
(2)求对数型函数的值域一般是先求真数的范围，然后利用对数函数的单调性求解．
跟踪训练3　求下列函数的值域：
(1)f(x)＝log2(3x＋1)；
(2)f(x)＝log2·log2(1≤x≤4)．
解　(1)f(x)的定义域为R.
∵3x>0，∴3x＋1>1.
∵y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，
∴log2(3x＋1)>log21＝0，
∴f(x)的值域为(0，＋∞)．
(2)∵f(x)＝log2·log2＝(log2x－2)·(log2x－1)
＝2－，
又∵1≤x≤4，∴0≤log2x≤2，
∴当log2x＝，即x＝＝2时，f(x)取最小值－；
当log2x＝0，即x＝1时，f(x)取得最大值为2，
∴函数f(x)的值域是.

求与对数函数有关的复合函数的值域或最值
典例　求函数f(x)＝log2(4x)·，x∈的值域．
解　f(x)＝log2(4x)·
＝(log2x＋2)·
＝－[(log2x)2＋log2x－2]．
设log2x＝t.
∵x∈，∴t∈[－1,2]，
则有y＝－(t2＋t－2)，t∈[－1,2]，
因此二次函数图象的对称轴为t＝－，
∴函数y＝－(t2＋t－2)在上单调递增，在上单调递减，
∴当t＝－时，有最大值，且ymax＝.
当t＝2时，有最小值，且ymin＝－2.
∴f(x)的值域为.
[素养提升]　利用数学抽象把原函数看成关于log2x的一个二次函数，再通过数学运算计算出二次函数的最值，充分体现数学运算与数学抽象的核心素养．

1．函数f(x)＝的定义域为(　　)
A．(0,2) B．(0,2]
C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)
答案　C
解析　若函数f(x)有意义，则log2x－1>0，
∴log2x>1，∴x>2.
∴函数f(x)的定义域为(2，＋∞)．
2．不等式<的解集为(　　)
A．(－∞，3) B.
C. D.
答案　D
解析　由题意可得解得 3．若loga<1，则实数a的取值范围是(　　)
A.∪(1，＋∞) B.
C. D.
答案　A
解析　当a>1时，满足条件；
当0 综上，a∈∪(1，＋∞)．
4．函数f(x)＝ln(2－x)的单调减区间为________．
答案　(－∞，2)
解析　由2－x>0，得x<2.
又函数y＝2－x，x∈(－∞，2)为减函数，
∴函数f(x)＝ln(2－x)的单调减区间为(－∞，2)．
5．函数f(x)＝log3(x2＋2x＋4)的值域为________．
答案　[1，＋∞)
解析　令u＝x2＋2x＋4，则u＝(x＋1)2＋3≥3，
∴log3(x2＋2x＋4)≥log33＝1，
即函数f(x)＝log3(x2＋2x＋4)的值域为[1，＋∞)．

1．知识清单：
(1)利用对数函数单调性解不等式．
(2)求简单对数型复合函数的单调性及值域问题．
2．方法归纳：换元法．
3．常见误区：
求对数型复合函数的单调性易忽视定义域．

1．若lg(2x－4)≤1，则x的取值范围是(　　)
A．(－∞，7] B．(2,7]
C．[7，＋∞) D．(2，＋∞)
答案　B
解析　由lg(2x－4)≤1，得0<2x－4≤10，即2 2．函数y＝的定义域为(　　)
A．[1，＋∞) B．(1，＋∞)
C. D.
答案　A
解析　要使函数有意义，需满足
∴　∴x≥1，
∴函数y＝的定义域为[1，＋∞)．
3．函数f(x)＝loga[(a－1)x＋1]在定义域上(　　)
A．是增函数 B．是减函数
C．先增后减 D．先减后增
答案　A
解析　当a>1时，y＝logat和t＝(a－1)x＋1都是增函数，
所以f(x)是增函数；
当0 所以f(x)是增函数．
4．函数y＝的单调递增区间是(　　)
A．(－∞，2) B．(2，＋∞)
C．(1,2) D．(2,3)
答案　D
解析　由－3＋4x－x2>0，得x2－4x＋3<0，
得1 设t＝－3＋4x－x2，其图象的对称轴为x＝2.
∵函数y＝为减函数，
∴要求函数y＝的单调递增区间，
即求函数t＝－3＋4x－x2,1 ∵函数t＝－3＋4x－x2,1 ∴函数y＝的单调递增区间为(2,3)．
5．若函数f(x)＝ax＋loga(x＋1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a，则a的值为(　　)
A. B.
C．2 D．4
答案　B
解析　当a>1时，a＋loga2＋1＝a，loga2＝－1，
a＝(舍去)．
当0 ∴loga2＝－1，a＝.
6．设0 答案　
解析　由于y＝logax(01，即ax>.由于0 可得x 7．不等式的解集为____________．
答案　(－∞，log2(－1))
解析　由 >0，得4x＋2x＋1<1，
即(2x)2＋2·2x<1，配方得(2x＋1)2<2，
所以2x<－1，两边取以2为底的对数，
得x 8．函数y＝log0.4(－x2＋3x＋4)的值域是________．
答案　[－2，＋∞)
解析　－x2＋3x＋4＝－2＋≤，
∴0<－x2＋3x＋4≤，
∴根据对数函数y＝log0.4x的图象(图略)即可得到：log0.4(－x2＋3x＋4)≥log0.4＝－2，
∴原函数的值域为[－2，＋∞)．
9．已知f(x)＝loga(1－x)＋loga(x＋3)(a>0且a≠1)．
(1)求函数f(x)的定义域、值域；
(2)若函数f(x)有最小值为－2，求a的值．
解　(1)由得定义域为{x|－3 f(x)＝loga(－x2－2x＋3)，
令t＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，
因为x∈(－3,1)，所以t∈(0,4]．
所以f(x)＝g(t)＝logat，t∈(0,4]．
当0 当a>1时，值域为(－∞，loga4]．
(2)f(x)min＝－2，由(1)及题意得得a＝.
10．已知函数f(x)＝loga(x＋1)，g(x)＝loga(1－x)，其中a>0，a≠1，F(x)＝f(x)－g(x)．
(1)求函数F(x)的定义域；
(2)判断F(x)的奇偶性，并说明理由；
(3)当a>1时，求使F(x)>0成立的x的集合．
解　(1)F(x)＝f(x)－g(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)，若要式子有意义，则
即－1 (2)F(x)＝f(x)－g(x)，其定义域为(－1,1)，
且F(－x)＝f(－x)－g(－x)＝loga(－x＋1)－loga(1＋x)
＝－[loga(1＋x)－loga(1－x)]＝－F(x)，
所以F(x)是奇函数．
(3)F(x)>0，即loga(x＋1)－loga(1－x)>0，
即loga(x＋1)>loga(1－x)．
当a>1时，有解得0 ∴使F(x)>0成立的x的集合为{x|0
11．设偶函数f(x)＝loga|x－b|在(－∞，0)上单调递增，则f(a＋1)与f(b＋2)的大小关系是(　　)
A．f(a＋1) C．f(a＋1)≥f(b＋2) D．f(a＋1)>f(b＋2)
答案　D
解析　由于此函数是偶函数，所以函数f(x)＝loga|x－b|中b＝0，
又函数在(－∞，0)上单调递增，所以在(0，＋∞)上单调递减，则0 所以，f(a＋1)>f(b＋2)．
12．已知函数f(x)＝直线y＝a与函数f(x)的图象恒有两个不同的交点，则a的取值范围是________．
答案　(0,1]
解析　函数f(x)的图象如图所示，

要使y＝a与f(x)图象有两个不同交点，则0 13．已知f(x)＝在区间[2，＋∞)上单调递减，则实数a的取值范围是________．
答案　(－4,4]
解析　二次函数y＝x2－ax＋3a的对称轴为x＝，
由已知，应有≤2，且满足当x≥2时x2－ax＋3a>0，
即解得－4 14．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，f ＝0，则不等式
>0的解集为________________________．
答案　∪(2，＋∞)
解析　∵f(x)是R上的偶函数，
∴它的图象关于y轴对称．
∵f(x)在[0，＋∞)上单调递增，
∴f(x)在(－∞，0]上单调递减，
由f ＝0，得f ＝0，函数的大致图象如图所示．

∴ >0⇒ <－或 >，
解得x>2或0 ∴x∈∪(2，＋∞)．

15．若函数f(x)＝在区间(3m－2，m＋2)内单调递增，则实数m的取值范围为(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　由－x2＋4x＋5>0，解得－1 由复合函数单调性可得函数f(x)＝的单调递增区间为(2,5)．
要使函数f(x)＝在区间(3m－2，m＋2)内单调递增，
只需解得≤m<2.
16．已知函数f(x)＝的图象关于原点对称，其中a为常数．
(1)求a的值；
(2)若当x∈(1，＋∞)时，f(x)＋解　(1)(1)∵函数f(x)的图象关于原点对称，
∴函数f(x)的定义域关于原点对称，
∵>0，
∴(x－1)(1－ax)>0，令(x－1)(1－ax)＝0，
得x1＝1，x2＝，∴＝－1，a＝－1，
经验证，a＝－1满足题意．
(2)f(x)＋＝＋
＝，
当x>1时，<－1，
∵当x∈(1，＋∞)时，f(x)＋ ∴m≥－1.