必修 第一册4.3 对数导学案

这是一份必修 第一册4.3 对数导学案，共8页。

4.3.2 对数的运算








问题：(1)计算lg24，lg28及lg232的值，你能分析一下三者存在怎样的运算关系吗？


(2)计算lg 10，lg 100，lg 1 000及lg 104的值，你能发现什么规律？





提示：(1)∵lg24＝2，lg28＝3，lg232＝5，


∴lg24＋lg28＝lg2(4×8)＝lg232；


lg232－lg28＝lg2eq \f(32,8)＝lg24；


lg232－lg24＝lg2eq \f(32,4)＝lg28.


(2)lg 10＝1，lg 100＝lg 102＝2，lg 1 000＝lg 103＝3，lg 104＝4，可见lg 10n＝nlg 10＝n.





1．对数的运算性质


如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：


(1)lga(MN)＝lgaM＋lgaN；


(2)lgaeq \f(M,N)＝lgaM－lgaN；


(3)lgaMn＝nlgaM(n∈R)．


思考：当M>0，N>0时，lga(M＋N)＝lgaM＋lgaN，lga(MN)＝lgaM·lgaN是否成立？


提示：不一定．


2．对数的换底公式


若a>0且a≠1；c>0且c≠1；b>0，


则有lgab＝eq \f(lgcb,lgca).





1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)


(1)lg2x2＝2lg2x.( )


(2)lga[(－2)×(－3)]＝lga(－2)＋lga(－3)．( )


(3)lgaM·lgaN＝lga(M＋N)．( )


(4)lgx2＝eq \f(1,lg2x).( )


[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√


2．计算lg84＋lg82等于( )


A．lg86 B．8


C．6 D．1


D [lg84＋lg82＝lg88＝1.]


3．计算lg510－lg52等于( )


A．lg58 B．lg 5


C．1 D．2


C [lg510－lg52＝lg55＝1.]


4．lgab·lgbc·lgca＝________.


1 [lgab·lgbc·lgca＝eq \f(lg b,lg a)·eq \f(lg c,lg b)·eq \f(lg a,lg c)＝1.]








【例1】 计算下列各式的值：


(1)eq \f(1,2)lg eq \f(32,49)－eq \f(4,3)lg eq \r(8)＋lg eq \r(245)；


(2)lg 52＋eq \f(2,3)lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2；


(3)eq \f(lg \r(2)＋lg 3－lg \r(10),lg 1.8).


[解] (1)原式＝eq \f(1,2)(5lg 2－2lg 7)－eq \f(4,3)·eq \f(3,2)lg 2＋eq \f(1,2)(2lg 7＋lg 5)


＝eq \f(5,2)lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋eq \f(1,2)lg 5


＝eq \f(1,2)lg 2＋eq \f(1,2)lg 5


＝eq \f(1,2)(lg 2＋lg 5)


＝eq \f(1,2)lg 10


＝eq \f(1,2).


(2)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2


＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2


＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3.


(3)原式＝eq \f(\f(1,2)lg 2＋lg 9－lg 10,lg 1.8)


＝eq \f(lg \f(18,10),2lg 1.8)


＝eq \f(lg 1.8,2lg 1.8)


＝eq \f(1,2).





1．利用对数性质求值的解题关键是化异为同，先使各项底数相同，再找真数间的联系．


2．对于复杂的运算式，可先化简再计算．化简问题的常用方法：


(1)“拆”：将积(商)的对数拆成两对数之和(差)；


(2)“收”：将同底对数的和(差)收成积(商)的对数．





eq \([跟进训练])


1．求下列各式的值：


(1)lg25＋lg 2·lg 50；


(2)eq \f(2,3)lg 8＋lg25＋lg 2·lg 50＋lg 25.


[解] (1)原式＝lg25＋(1－lg 5)(1＋lg 5)＝lg25＋1－lg25＝1.


(2)eq \f(2,3)lg 8＋lg25＋lg 2·lg 50＋lg 25＝2lg 2＋lg25＋lg 2(1＋lg 5)＋2lg 5


＝2(lg 2＋lg 5)＋lg2 5＋lg 2＋lg 2·lg 5＝2＋lg 5(lg 5＋lg 2)＋lg 2＝2＋lg 5＋lg 2＝3.





【例2】 (1)计算：


(lg2125＋lg425＋lg85)·(lg1258＋lg254＋lg52)．


(2)已知lg189＝a,18b＝5，求lg3645(用a，b表示)．


[解] (1)(lg2125＋lg425＋lg85)·(lg1258＋lg254＋lg52)＝(lg253＋lg2252＋lg235)·(lg5323＋lg5222＋lg52)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3＋1＋\f(1,3)))lg25·(1＋1＋1)lg52＝eq \f(13,3)·3＝13.


(2)∵18b＝5，∴b＝lg185.


又lg189＝a，


∴lg3645＝eq \f(lg1845,lg1836)＝eq \f(lg185＋lg189,1＋lg182)＝eq \f(a＋b,2－lg189)＝eq \f(a＋b,2－a).





(变结论)在本例(2)的条件下，求lg915(用a，b表示)


[解] ∵lg189＝a，∴lg183＝eq \f(a,2).又lg185＝b，


∴lg915＝eq \f(lg1815,lg189)＝eq \f(lg183＋lg185,lg189)＝eq \f(\f(a,2)＋b,a)＝eq \f(a＋2b,2a).





1．在化简带有对数的表达式时，若对数的底不同，需利用换底公式．


2．常用的公式有：lgab·lgba＝1，lganbm＝eq \f(m,n)lgab，lgab＝eq \f(1,lgba)等．





eq \([跟进训练])


2．求值：


(1)lg23·lg35·lg516；


(2)(lg32＋lg92)(lg43＋lg83)．


[解] (1)原式＝eq \f(lg 3,lg 2)·eq \f(lg 5,lg 3)·eq \f(lg 16,lg 5)＝eq \f(lg 16,lg 2)＝eq \f(4lg 2,lg 2)＝4.


(2)原式＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(lg 2,lg 3)＋\f(lg 2,lg 9)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(lg 3,lg 4)＋\f(lg 3,lg 8)))


＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(lg 2,lg 3)＋\f(lg 2,2lg 3)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(lg 3,2lg 2)＋\f(lg 3,3lg 2)))


＝eq \f(3lg 2,2lg 3)·eq \f(5lg 3,6lg 2)


＝eq \f(5,4).





[探究问题]


1．若2a＝3b，则eq \f(a,b)等于多少？


提示：设2a＝3b＝t，则a＝lg2t，b＝lg3t，∴eq \f(a,b)＝lg23.


2．对数式lgab与lgba存在怎样的等量关系？


提示：lgab·lgba＝1，


即lgab＝eq \f(1,lgba).


【例3】 已知3a＝5b＝c，且eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝2，求c的值．


[思路点拨]


eq \x(求c的值)


[解] ∵3a＝5b＝c，∴a＝lg3c，b＝lg5c，


∴eq \f(1,a)＝lgc3，eq \f(1,b)＝lgc5，


∴eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝lgc15.


由lgc15＝2得c2＝15，即c＝eq \r(15).





1．把本例条件变为“3a＝5b＝15”，求eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)的值．


[解] ∵3a＝5b＝15，∴a＝lg315，b＝lg515，


∴eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝lg153＋lg155＝lg1515＝1.


2．若本例条件改为“若a，b是正数，且3a＝5b＝c”，比较3a与5b的大小．


[解] ∵3a＝5b＝c，∴a＝lg3c，b＝lg5c，


∴3a－5b＝3lg3c－5lg5c


＝eq \f(3lg c,lg 3)－eq \f(5lg c,lg 5)＝eq \f(lg c3lg 5－5lg 3,lg 3lg 5)


＝eq \f(lg clg 125－lg 243,lg 3lg 5)<0，


∴3a<5b.





应用换底公式应注意的两个方面


1化成同底的对数时，要注意换底公式的正用、逆用以及变形应用.


2题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式统一成一种形式.











1．记牢2个知识点


(1)对数的运算性质；(2)换底公式．


2．掌握2种方法


(1)利用对数的运算性质，可以把乘、除、乘方运算转化为加、减、乘的运算，加快计算速度．


(2)利用结论lgab·lgba＝1，lganbm＝eq \f(m,n)lgab化简求值更方便．





1．若a>0，a≠1，x>0，n∈N*，则下列各式：


(1)(lgax)n＝nlgax；


(2)(lgax)n＝lgaxn；


(3)lgax＝－lgaeq \f(1,x)；


(4)eq \r(n,lgax)＝eq \f(1,n)lgax；


(5)eq \f(lgax,n)＝lgaeq \r(n,x).


其中正确的有( )


A．2个 B．3个


C．4个 D．5个


A [根据对数的运算性质lgaMn＝nlgaM(M>0，a>0，且a≠1)知(3)与(5)正确．]


2．计算lg92·lg43＝( )


A．4 B．2


C.eq \f(1,2) D．eq \f(1,4)


D [lg92·lg43＝eq \f(lg 2,lg 9)·eq \f(lg 3,lg 4)＝eq \f(lg 2,2lg 3)·eq \f(lg 3,2lg 2)＝eq \f(1,4).]


3．设10a＝2，lg 3＝b，则lg26＝( )


A.eq \f(b,a) B.eq \f(a＋b,a)


C．ab D．a＋b


B [∵10a＝2，∴lg 2＝a，


∴lg26＝eq \f(lg 6,lg 2)＝eq \f(lg 2＋lg 3,lg 2)＝eq \f(a＋b,a).]








5．计算：(1)lg535－2lg5eq \f(7,3)＋lg57－lg51.8；


(2)lg2eq \r(\f(7,48))＋lg212－eq \f(1,2)lg242－1.


[解] (1)原式＝lg5(5×7)－2(lg57－lg53)＋lg57－lg5eq \f(9,5)＝lg55＋lg57－2lg57＋2lg53＋lg57－2lg53＋lg55＝2.


(2)原式＝lg2eq \f(\r(7),\r(48))＋lg212－lg2eq \r(42)－lg22


＝lg2eq \f(\r(7)×12,\r(48)×\r(42)×2)＝lg2eq \f(1,2\r(2))


＝lg22eq \s\up12(－eq \f(3,2))＝－eq \f(3,2).


学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解对数的运算性质．(重点)


2．能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数．(难点)


3．会运用运算性质进行一些简单的化简与证明．(易混点)
1.借助对数的运算性质化简、求值，培养数学运算素养．


2．通过学习换底公式，培养逻辑推理素养.
对数运算性质的应用
对数的换底公式
对数运算性质的综合应用