（寒假）新高考数学一轮复习考点精讲+巩固训练+随堂检测08 数列求和（2份，原卷版+教师版）

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知识讲解
1．公式法
(1)等差数列的前n项和公式
Sn＝eq \f(na1＋an,2)＝na1＋eq \f(nn－1,2)d.
(2)等比数列的前n项和公式
①当q＝1时，Sn＝na1；
②当q≠1时，Sn＝eq \f(a11－qn,1－q)＝eq \f(a1－anq,1－q).
2．分组转化法
把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个能求和的数列，再求解．
3．裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项．
常见的裂项技巧：
；
；

指数型；
对数型.
等
4．倒序相加法
把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广．
5．错位相减法
主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广．
万能公式：
形如的数列求和为，
其中，，
6．并项求和法
一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．
考点一、公式法直接求和
【例1】记为数列的前n项和．已知．
(1)证明：是等差数列；
(2)若成等比数列，求的最小值．
【变式1】记是公差不为0的等差数列的前n项和，若．
（1）求数列的通项公式；
（2）求使成立的n的最小值．
【变式2】已知公比大于的等比数列满足．
（1）求的通项公式；
（2）求.
考点二、分组转化求和
【例2】设数列是首项为1，公差为d的等差数列，且，，是等比数列的前三项．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
【变式3】已知数列的前项和为.
(1)求的通项公式；
(2)设数列满足：，记的前项和为，求.
【变式4】已知是数列的前项和，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
考点三、裂项相消求和
【例3】记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
【变式5】已知数列满足.
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【变式6】设数列前n项和满足，．
(1)证明：数列为等比数列；
(2)记，求数列的前n项和．
考点四、错位相减求和
【例4】设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项．
（1）求的公比；
（2）若，求数列的前项和．
【变式7】设是首项为1的等比数列，数列满足．已知，，成等差数列．
（1）求和的通项公式；
（2）记和分别为和的前n项和．证明：．
【变式8】设为数列的前n项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
考点五、奇偶并项求和
【例5】已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，．
(1)求的通项公式；
(2)证明：当时，．
【变式9】已知是各项均为正数的数列，为的前n项和，且，，成等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)已知，求数列的前n项和．
【变式10】已知为等差数列，为等比数列，．
（Ⅰ）求和的通项公式；
（Ⅱ）记的前项和为，求证：；
（Ⅲ）对任意的正整数，设求数列的前项和．
考点六、数列求和之不等式综合
【例6】已知数列满足，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求证：.
【变式11】已知数列满足，当时，.
(1)求数列的通项公式；
(2)已知数列，证明：.
【变式12】已知数列的各项均为正数，其前项和满足，数列满足.
(1)求的通项公式；
(2)设数列的前项和为，若对一切恒成立，求实数的取值范围.
【基础过关】
1.已知等比数列的各项均为正数，其前项和为，且，，成等差数列，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
2.已知等比数列的各项均为正数，且，.
(1)求的通项公式；
(2)数列满足，求的前n项和.
3.已知数列满足：，，设，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，，求证：．
4.已知数列的前项和为，且，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和，求证：．
5.已知等差数列，首项，其前项和为，点在斜率为1的直线上．
(1)求数列的通项公式；
(2)若为数列的前项和，求证：．
课后训练
1.设数列的前项和为，当时，有．
(1)求证：数列是等差数列；
(2)若，，求的最大值．
2.已知数列满足，．
(1)令，证明：数列为等比数列；
(2)求数列的前项和．
3.已知各项均不为零的数列的前项和为，，.
(1)求的通项公式；
(2)若恒成立，求正整数的最大值.
4.已知数列的前n项和为，且满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前n项和.
5.已知正项数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，若数列满足，求证：．
6.数列满足：，等比数列的前项和为，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列的前项和为，试证明.
7.已知数列的前n项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列的前n项和为，且，若对于恒成立，求的取值范围．
随堂检测
1.已知数列为单调递增的等比数列，且，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
2.设等比数列{an}满足，．
（1）求{an}的通项公式；
（2）记为数列{lg3an}的前n项和．若，求m．
3.已知数列中，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)求证：数列的前n项和.
4.已知数列满足．
(1)证明是等比数列；
(2)若，求的前项和．
5.已知数列中，，且.
(1)求证：数列是等差数列；
(2)记数列，求数列的前项和.
6.已知数列是公差为3的等差数列，数列是公比为2的等比数列，且满足． 将数列与的公共项按照由小到大的顺序排列，构成新数列．
(1)证明：
(2)求数列的前n项和．