（寒假）新高考数学一轮复习考点精讲+巩固训练+随堂检测13 双曲线方程及其性质（2份，原卷版+教师版）

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知识讲解
双曲线的定义
数学表达式：
双曲线的标准方程
焦点在轴上的标准方程 焦点在轴上的标准方程

标准方程为： 标准方程为：
双曲线中，，的基本关系

双曲线的几何性质
离心率与渐近线夹角的关系
通径：
（同椭圆）
通径长：，
半通径长：
双曲线的焦点到渐近线的距离为
考点一、双曲线的定义及其应用
【例1】－＝4表示的曲线方程为（ ）
A．－＝1(x≤－2) B．－＝1(x≥2)
C．－＝1(y≤－2) D．－＝1(y≥2)
【变式1】已知的顶点，，若的内切圆圆心在直线上，则顶点C的轨迹方程是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】已知圆：和圆：，动圆M同时与圆及圆外切，则动圆的圆心M的轨迹方程为 .
考点二、双曲线的标准方程
【例2】双曲线的左、右焦点分别为．过作其中一条渐近线的垂线，垂足为．已知，直线的斜率为，则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【变式3】已知抛物线分别是双曲线的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点，与双曲线的渐近线交于点A，若，则双曲线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【变式4】（多选）已知曲线是顶点分别为的双曲线，点（异于）在上，则（ ）
A．
B．的焦点为
C．的渐近线可能互相垂直
D．当时，直线的斜率之积为1
考点三、双曲线的几何性质
【例3】双曲线的右焦点到直线的距离为 ．
【变式5】已知双曲线：的左顶点为，右焦点为，焦距为6，点在双曲线上，且，，则双曲线的实轴长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【变式6】已知双曲线的左焦点为，是双曲线上的点，其中线段的中点恰为坐标原点，且点在第一象限，若，，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
考点四、双曲线的离心率
【例4】已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若．则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．3
【变式7】已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【变式8】已知为双曲线：的右焦点，平行于轴的直线分别交的渐近线和右支于点，，且，，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
考点五、双曲线中的最值问题
【例5】已知为双曲线的左焦点，为其右支上一点，点，则周长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式9】已知，分别是双曲线的左右焦点，且C上存在点P使得，则a的取值范围是 ．
【变式10】已知拋物线上一点到准线的距离为是双曲线的左焦点，是双曲线右支上的一动点，则的最小值为（ ）
A．12 B．11 C．10 D．9
【基础过关】
一、单选题
1．已知双曲线的离心率为，则（ ）
A． B． C． D．
2.已知双曲线的焦距为，则的渐近线方程是（ ）
A． B． C． D．
3.已知双曲线的右顶点为P，过点P的直线l垂直于x轴，并且与两条渐近线分别相交于A，B两点，则（ ）
A． B．2 C．4 D．
4.已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，直线与交于，两点，，且的面积为，则的离心率是（ ）
A． B． C．2 D．3
5.已知双曲线的右焦点为为虚轴上端点，是中点，为坐标原点，交双曲线右支于，若垂直于轴，则双曲线的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
6.点P是双曲线：（，）和圆：的一个交点，且，其中，是双曲线的两个焦点，则双曲线的离心率为 ．
7.已知双曲线的左、右焦点分别为、，过的直线交双曲线的右支于、两点．点满足，且，者，则双曲线的离心率是（ ）
A． B． C． D．
8.已知双曲线的左右焦点分别为，过作渐近线的垂线交双曲线的左支于点，已知，则双曲线的渐近线方程为 ．
课后训练
1.已知平面内两定点，，下列条件中满足动点的轨迹为双曲线的是（ ）
A．B．
C．D．
2.在平面直角坐标系中，已知的顶点，，其内切圆圆心在直线上，则顶点C的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
3.若双曲线离心率为，过点，则该双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
4.设O为坐标原点，，是双曲线C：的左、右焦点，过作圆O：的一条切线，切点为T．线段交C于点P，若的面积为，且，则C的方程为（ ）
A． B． C． D．
5.设双曲线：的左焦点和右焦点分别是，，点是右支上的一点，则的最小值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
6.（多选）已知，分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线上第一象限内一点，且，，关于的平分线的对称点恰好在上，则（ ）
A．的实轴长为2
B．的离心率为
C．的面积为
D．的平分线所在直线的方程为
7.已知动圆与圆外切，与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为 ．
8.双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的焦距为 .
9.已知双曲线的左焦点为F，过F且斜率为的直线交双曲线于点，交双曲线的渐近线于点且．若，则双曲线的离心率是 ．
10.已知双曲线：，为的右顶点，若点到的一条渐近线的距离为．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若，是上异于的任意两点，且的垂心为，试问：点是否在定曲线上？若是，求出该定曲线的方程；若不是，请说明理由．
随堂检测
1.已知双曲线的上、下焦点分别为，，P是双曲线上一点且满足，则双曲线的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
2.已知点，，则在平面内满足下列条件的动点P的轨迹为双曲线的是（ ）
A． B． C． D．
3.设点P是圆上的一动点，，，则的最小值为（ ）．
A． B． C．6 D．12
4.设分别是双曲线的左、右焦点，为坐标原点，过左焦点作直线与圆切于点，与双曲线右支交于点，且满足，，则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
5.若动圆过定点且和定圆：外切，则动圆圆心的轨迹方程是 .
6.已知双曲线的一条渐近线为，则C的焦距为 ．
7.双曲线的离心率为2，则右焦点到其渐近线的距离为 ．
8.已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为 ．
9.已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为．
(1)求C的方程；
(2)记C的左、右顶点分别为，，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线与交于点P．证明:点在定直线上.
焦点的位置
焦点在轴上
焦点在轴上
图形
标准方程
范围
顶点坐标
，
，
，
，
实轴
实轴长，实半轴长
虚轴
虚轴长，虚半轴长
焦点
，
，
焦距
焦距，半焦距
对称性
对称轴为坐标轴，对称中心为
渐近线方程
离心率
离心率对双曲线的影响
越大，双曲线开口越阔
越小，双曲线开口越窄