（寒假）新高考数学一轮复习考点精讲+巩固训练+随堂检测07 空间向量（2份，原卷版+教师版）

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知识讲解
1．空间向量及其有关概念
2．数量积及坐标运算
(1)两个空间向量的数量积：
①a·b＝|a||b|cs〈a，b〉
②a⊥b⇔a·b＝0(a，b为非零向量)
③设a＝(x，y，z)，则|a|2＝a2，|a|＝eq \r(x2＋y2＋z2).
(2)空间向量的坐标运算：
3．直线的方向向量与平面的法向量
(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或共线，则称此向量a为直线l的方向向量．
(2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量．
(3)方向向量和法向量均不为零向量且不唯一．
空间位置关系的向量表示
设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为u，ν，则
(1)线线平行：l∥m⇔a∥b⇔a＝kb，k∈R；
线面平行：l∥α⇔a⊥u⇔a·u＝0；
面面平行：α∥β⇔u∥ν⇔u＝kν，k∈R.
(2)线线垂直：l⊥m⇔a⊥b⇔a·b＝0；
线面垂直：l⊥α⇔a∥u⇔a＝ku，k∈R；
面面垂直：α⊥β⇔u⊥ν⇔u·ν＝0.
两条异面直线所成角的求法
设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则l1与l2所成的角θ的范围为(0，eq \f(π,2)]，公式为cs θ＝eq \f(|a·b|,|a||b|)
直线与平面所成角的求法
设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，a与n的夹角为β，
则sin θ＝|cs β|＝eq \f(|a·n|,|a||n|).
求二面角的大小
(1)如图①，AB，CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))〉．
如图②③，n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足
|cs θ|＝|cs〈n1，n2〉|，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角)．
空间两点间的距离公式
若，，则 =.
点到平面的距离
（为平面的法向量，是经过面的一条斜线，）.
考点一、空间向量的基本概念及其运算
【例1】设向量，，当数与满足下列哪种关系时，向量与轴垂直（ ）
A．B．C．D．
【变式1】（多选）设、为空间中的任意两个非零向量，下列各式中正确的有（ ）
A．B．
C．D．
【变式2】（多选）《九章算术》中，将上、下底面为直角三角形的直三棱柱叫做堑堵，在如图所示的堑堵中，，则（ ）．
A．
B．
C．向量在向量上的投影向量为
D．向量在向量上的投影向量为
考点二、空间中的距离求解
【例2】在空间直角坐标系中，直线的方程为，空间一点，则点到直线的距离为（ ）
A．B．1C．D．
【变式3】如图，平行六面体中，，，，，则线段的长为 .

【变式4】如图所示的多面体是由底面为的长方体被截面所截得到的，其中，，，，则点到平面的距离为（ ）
A．B．C．D．
考点三、异面直线所成角
【例3】“曲池”是《九章算术》记载的一种几何体，该几何体是上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如图所示的曲池，面ABCD，，底面扇环所对的圆心角为，的长度是长度的2倍，，则异面直线与所成角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
【变式5】已知正四棱锥的侧棱长为2，底面边长为，点E在射线PD上，F，G分别是BC，PC的中点，则异面直线AE与FG所成角的余弦值的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【变式6】如图所示，正方体中，点为底面的中心，点在侧面 的边界及其内部移动，若，则异面直线与所成角的余弦值的最大值为（ ）
A．B．C．D．
考点四、线面角
【例4】在四棱锥中，底面．
(1)证明：；
(2)求PD与平面所成的角的正弦值．
【变式7】如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，为底面圆的内接正三角形，且边长为，点在母线上，且.

(1)求证：直线平面；
(2)求证：平面平面；
(3)若点为线段上的动点．当直线与平面所成角的正弦值最大时，求此时点到平面的距离.
【变式8】如图，四面体中，，E为的中点．
(1)证明：平面平面；
(2)设，点F在上，当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值．
【变式9】图①是直角梯形，，，四边形是边长为的菱形，并且，以为折痕将折起，使点到达的位置，且.

(1)求证：平面平面；
(2)在棱上是否存在点，使得点到平面的距离为？若存在，求出直线与平面所成角的正弦值；若不存在，请说明理由.
考点五、二面角
【例5】已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，D为棱上的点．
（1）证明：；
（2）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小?
【变式10】如图，在圆台中，分别为上、下底面直径，且，， 为异于的一条母线．
(1)若为的中点，证明：平面；
(2)若，求二面角的正弦值．
【基础过关】
1.如图，在直三棱柱中，，E为的中点，．
(1)证明：．
(2)求二面角的余弦值．
2.如图，在四棱锥中，平面，，，，，，为的中点．

(1)证明：；
(2)求二面角的平面角的余弦值．
课后训练
1.在四面体中，，，，，则的值为（ ）
A．7B．9C．11D．13
2.如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长都是a，且，，E为的中点，则点E到直线的距离为（ ）

A．B．C．D．
3.如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，M，N分别为的中点，.
（1）证明：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
随堂检测
1.已知向量，若与垂直，则（ ）.
A．B．C．D．
2.如图，已知是侧棱长和底面边长均等于的直三棱柱，是侧棱的中点.则点到平面的距离为（ ）
A．B．C．D．
3.如图，在三棱柱中，底面为正三角形，侧棱垂直于底面，.若E是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
4.如图，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角为．设M，N分别为的中点．
(1)证明：；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
概念
语言描述
共线向量
(平行向量)
表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合
共面向量
平行于同一个平面的向量
共线向量定理
对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b⇔存在λ∈R，使a＝λb
共面向量定理
若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面⇔存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb
空间向量基本定理及推论
定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组{x，y，z}使得p＝xa＋yb＋zc.
推论：设O，A，B，C是不共面的四点，则对平面ABC内任一点P都存在唯一的三个有序实数x，y，z，使eq \(OP, \s\up7(―→))＝xeq \(OA, \s\up7(―→))＋yeq \(OB, \s\up7(―→))＋zeq \(OC, \s\up7(―→))且x＋y＋z＝1
a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)
向量和
a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)
向量差
a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)
数量积
a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3
共线
a∥b⇒a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R，b≠0)
垂直
a⊥b⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
夹角公式
cs〈a，b〉＝eq \f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\\al(2,1)＋a\\al(2,2)＋a\\al(2,3))\r(b\\al(2,1)＋b\\al(2,2)＋b\\al(2,3)))