（寒假）新高考数学一轮复习考点精讲+巩固训练+随堂检测05 三角函数的图象与性质（2份，原卷版+教师版）

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知识讲解
三角函数的图象与性质
三角函数型函数的图象和性质
正弦型函数、余弦型函数性质
，
振幅，决定函数的值域，值域为
决定函数的周期，
叫做相位，其中叫做初相
正切型函数性质
的周期公式为：
会用五代作图法及整体代换思想解决三角函数型函数的图象及性质
考点一、正弦（型）函数的图象及性质
【例1】函数为增函数的区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据三角函数单调性的求法求得正确答案.
【详解】，，，，
令可的的递增区间为.故选：C
【变式1】函数的最小正周期为
【答案】
【分析】化简即得解.
【详解】解：由题得，所以函数的最小正周期为.故答案为：
【变式2】关于函数有下述四个结论：
①f(x)是偶函数 ②f(x)在区间（,）单调递增
③f(x)在有4个零点 ④f(x)的最大值为2
其中所有正确结论的编号是
A．①②④B．②④C．①④D．①③
【答案】C
【分析】化简函数，研究它的性质从而得出正确答案．
【详解】为偶函数，故①正确．当时，，它在区间单调递减，故②错误．当时，，它有两个零点：；当时，，它有一个零点：，故在有个零点：，故③错误．当时，；当时，，又为偶函数，的最大值为，故④正确．综上所述，①④ 正确，故选C．
【变式3】（多选）关于函数，下列说法正确的是（ ）
A．函数在上最大值为B．函数的图象关于点对称
C．函数在上单调递增D．函数的最小正周期为
【答案】BD
【分析】根据给定条件，利用正弦函数的图象性质，逐项分析判断作答.
【详解】对于A，当时，，，最大值为2，A错误；
对于B，因为，则函数的图象关于点对称，B正确；
对于C，当时，，函数在上不单调，则在上不单调，C错误；对于D，函数的最小正周期，D正确.故选：BD.
考点二、余弦函数（型）的图象及性质
【例2】已知函数，则（ ）
A．在上单调递减B．在上单调递增
C．在上单调递减D．在上单调递增
【答案】C
【分析】化简得出，利用余弦型函数的单调性逐项判断可得出合适的选项.
【详解】因为.
对于A选项，当时，，则在上单调递增，A错；
对于B选项，当时，，则在上不单调，B错；
对于C选项，当时，，则在上单调递减，C对；
对于D选项，当时，，则在上不单调，D错.
故选：C.
【变式4】函数是（ ）
A．奇函数，且最大值为2B．偶函数，且最大值为2
C．奇函数，且最大值为D．偶函数，且最大值为
【答案】D
【分析】由函数奇偶性的定义结合三角函数的性质可判断奇偶性；利用二倍角公式结合二次函数的性质可判断最大值.
【详解】由题意，，所以该函数为偶函数，又，所以当时，取最大值.故选：D.
【变式5】记函数的最小正周期为T，若，为的零点，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】首先表示出，根据求出，再根据为函数的零点，即可求出的取值，从而得解；
【详解】解： 因为，（，）所以最小正周期，
因为，又，所以，即，
又为的零点，所以，解得，因为，所以当时；故答案为：
【变式6】已知函数的部分图像如图所示，则满足条件的最小正整数x为 ．
【答案】2
【分析】先根据图象求出函数的解析式，再求出的值，然后求解三角不等式可得最小正整数或验证数值可得.
【详解】由图可知，即，所以；由五点法可得，即；
所以.因为，；
所以由可得或；
因为，所以，
方法一：结合图形可知，最小正整数应该满足，即，
解得，令，可得，可得的最小正整数为2.
考点三、正切函数（型）的图象及性质
【例3】函数的最小正周期为 ．
【答案】
【分析】利用二倍角公式化简后，由正切函数的性质可得.
【详解】因为，即，所以，所以
于是易知，所求函数的最小值周期.
故答案为：
【变式7】已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．为奇函数B．在区间上单调递增
C．图象的一个对称中心为D．的最小正周期为π
【答案】C
【分析】根据正切函数的定义域、对称中心、周期、单调性逐项判断即可得解.
【详解】因为，所以，解得，
即函数的定义域不关于原点对称，所以不是奇函数，故A错误；
当时，，此时无意义，故在区间上单调递增不正确，故B错误；
当时，，正切函数无意义，故为函数的一个对称中心，故C正确；
因为，故是函数的一个周期，故D错误.
故选：C
【变式8】（多选）已知函数，则（ ）
A．函数的最小正周期为π
B．函数的图像关于点中心对称
C．函数在定义域上单调递增
D．若，则
【答案】BD
【分析】根据函数的最小正周期公式判断A选项，求的对称中心判断B选项，特殊值法判断C选项，求函数值域判断D选项.
【详解】的最小正周期为,A选项错误;
的对称中心，令,,对称中心为，当是对称中心,B选项正确;,函数在定义域上不是单调递增,C选项错误;当,则,可得,D选项正确;.故选：BD.
考点四、求三角函数图象的解析式
【例4】如图是函数的图象，那么（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由、在函数的图象结合五点作图法可得答案.
【详解】因为在函数的图象上，所以，，所以，此时，，
又点在函数的图象上，所以，由五点作图得该点是“五点”中的第五个点，所以，.故选：C.
【变式9】（多选）已知函数（，），若函数的部分图象如图所示，则关于函数下列结论正确的是（ ）

A．函数的图象关于直线对称
B．函数的图象关于点对称
C．函数在区间上单调递增
D．函数的图象可由函数的图象向左平移个单位长度得到
【答案】AC
【分析】根据函数图象，求解参数，代入的表达式中，利用正弦型函数的图象及性质，依次判断各项正误.
【详解】由题意结合函数图象可得，解得，故，
由，所以，又，所以，
所以，，对于A，因为，
所以函数的图象关于直线对称，故A正确；
对于B，因为，所以点不是函数的图象的对称中心，故B错误；
对于C，由，得，所以函数在区间上单调递增，故C正确；
对于D，将函数的图象向左平移个单位长度，
得，故D错误.故选：AC.
【变式10】已知函数，如图A，B是直线与曲线的两个交点，若，则 ．

【答案】
【分析】设，依题可得，，结合的解可得，，从而得到的值，再根据以及，即可得，进而求得．
【详解】设，由可得，由可知，或，，由图可知，，即，．
因为，所以，即，．
所以，所以或，
又因为，所以，．故答案为：．
考点五、三角函数图象及性质的综合应用
【例5】（多选）已知函数，则（ ）
A．若的最小正周期为，则
B．若，则在上的最大值为
C．若在上单调递增，则
D．若的图象向右平移个单位，得到的函数为偶函数，则的最小值为
【答案】AC
【分析】根据正弦型三角函数的图象性质逐项判断即可.
【详解】对于A，若的最小正周期为，则，所以，故A正确；对于B，若，则，当，则，所以，则在上的最大值为，故B不正确；对于C，当，则，由于在上单调递增，所以，解得，故C正确；对于D，的图象向右平移个单位得，因为其为偶函数，所以，所以，又，则的最小值为，故D不正确.故选：AC.
【变式11】已知函数的部分图象如图所示，其中，图中函数的图象与坐标轴的交点分别为，则下列代数式中为定值的是（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据图象，由求出，再由M，N点的坐标求出为定值.
【详解】由图象可得，，且，所以，
令，则，所以，则.故选：D
【变式12】（多选）已知函数，则下列说法正确的有（ ）
A．若，则
B．将的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于轴对称
C．若在上有且仅有4个零点，则的取值范围为
D．是的导函数，令.则在上的值域为
【答案】ABC
【分析】利用正弦函数的最值和周期性可判断A，根据图象平移和奇偶性可判断B，根据正弦函数的零点可判断C，再根据导数运算公式和正弦函数的图象性质可判断D.
【详解】A选项，由，故，必有一个最大值和一个最小值，
则为半个周期长度，正确；
B选项，由题意的图象关于y轴对称，正确；
C选项，，在上有且仅在4个零点，
结合正弦函数的性质知：，则，正确；
D选项，由题意，
则在时，，故值域为，错误.故选：ABC.
【基础过关】
一、单选题
1．函数的图象的一条对称轴方程是，则的最小正值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先化简，然后利用对称轴写出，即可求出答案
【详解】，因为图象的一条对称轴方程是，
，解得，故当时，取得最小正值．故选：D
2．已知函数，则使得和都单调递增的一个区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用复合函数的单调性，判断各选项是否正确.
【详解】当从增加到时，从0递减到，从递增到1，
所以从递减到，从递减到，A错误；
当从增加到时，从递减到，从1递减到，
所以从递增到，从递减到，B错误；
当从增加到时，从递减到，从递减到，
所以从递增到，从递减到，C错误；
当从增加到时，从-1递增到，从递减到0，
所以从递增到，从递增到，D正确；
故选：D
3．已知函数，若对于任意实数x，都有，则的最小值为（ ）
A．2B．C．4D．8
【答案】C
【分析】根据给定条件，可得函数图象的对称中心，再利用正弦函数的性质列式求解作答.
【详解】因为对于任意实数x，都有，则有函数图象关于点对称，因此，解得，而，所以当时，取得最小值4.故选：C
4．已知函数的图象关于点对称，那么的最小值为 ．
【答案】
【分析】代入余弦函数的零点满足的公式判断即可.
【详解】的图象关于点对称，，即，令，可得的最小值为．故答案为：
5．已知函数（）在区间上单调递减，且为偶函数，则 ．
【答案】
【分析】根据是正弦函数的单调递减区间的子集推出，根据为偶函数推出，，二者结合可得.
【详解】当时，，由在区间上单调递减，
得，解得,因为，所以．
因为为偶函数，所以，，
解得，，又，所以．故答案为：.
6．已知函数在区间上存在最大值，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【分析】化简，得，转化为在区间上存在最小值，根据余弦函数的性质可得结果.
【详解】，
因为在区间上存在最大值，所以在区间上存在最小值，
由，得，所以，即.故答案为：
7．已知函数的两个相邻的零点之差的绝对值为，且是的最小正零点，则 .
【答案】1
【分析】根据函数两个相邻的零点之差的绝对值求出周期和，再根据的最小正零点求出，即可求出的值．
【详解】令函数，得，所以函数两个相邻的零点之差的绝对值为，即，解得，又因为是的最小正零点，所以，
即，所以，，解得，，又，所以，即，所以．故答案为：．
【能力提升】
一、单选题
1．已知（为常数），若在上单调，且，则的值可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据在上单调，可得，再由求得的一条对称轴和一个对称中心，进而求得，再求的值.
【详解】对于函数，，因为在上单调，所以，即.
又，所以为的一条对称轴，且即为的一个对称中心，因为，所以和是同一周期内相邻的对称轴和对称中心，
则，即，所以，所以，又为的一个对称中心，则，，则，，当时，.故选：A.
二、多选题
2．已知曲线关于轴对称，关于原点对称，设函数，则（ ）
A．B．
C．函数的最小正周期是D．函数的值域是
【答案】CD
【分析】根据对称确定，代入得到函数解析式，A错误，取特殊值排除B，根据周期公式得到C正确，求值域得到D正确，得到答案.
【详解】关于轴对称，，
故关于原点对称，，，故，
，
即，对选项A：，错误；
对选项B：取，，，错误；
对选项C：，对于恒成立，正确；
对选项D：，对于恒成立，正确．故选：CD．
3．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数的最小正周期是
B．函数的最大值为1，最小值为
C．函数的图像在区间上单调递减
D．函数的图像关于对称
【答案】AD
【分析】首先根据降幂公式化简，根据周期函数的定义即可判断A；设，求出的值域，即可判断B；由得出，根据复合函数的单调性，即可判断C；根据对称轴的定义，即可判断D．
【详解】，对于A：设的周期为，
则,
所以，其中，解得，所以最小值为，故A正确；
对于B：设，则，所以函数的最大值为1，最小值为，故B错误；
对于C：由B得当时，，且在上单调递减，
因为在上单调递减，在上单调递增，
所以在上单调递增，在上单调递减，故C错误；
对于D：由 ，
，所以，所以关于直线对称，故D正确，故选：AD．
4．已知函数，则下列说法正确的有（ ）
A．若，则
B．将的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于轴对称
C．函数的最小正周期为
D．若在上有且仅有3个零点，则的取值范围为
【答案】ABD
【分析】对A：必有一个最大值和一个最小值可求；对B：求出平移后函数解析式判断是否为偶函数；对C：化简后求周期；对D：求出的范围，数据正弦曲线的图象列出满足的不等式并求解.
【详解】由，故必有一个最大值和一个最小值，则为半个周期长度，故正确；由题意的图象关于轴对称，B正确；
的最小正周期为C错误.
，在上有且仅在3个零点，
结合正弦函数的性质知：，则，D正确；故选：ABD
5．已知函数的图象关于直线对称，那么（ ）
A．函数为奇函数
B．函数在上单调递增
C．若，则的最小值为
D．函数的图象向右平移个单位长度得到的图象，则的最大值为
【答案】ACD
【分析】根据题意求得，得到，利用三角函数图象变换，以及三角函数的图象与性质，结合利用导数求得函数的单调性与最值，逐项判定，即可求解.
【详解】由函数的图象关于直线对称，可得，所以，所以，对于A中，由为奇函数，所以A正确；对于B中，由，可得，当时，即，函数单调递减；当时，即，函数单调递增，
所以在上不是单调函数，所以B错误；
对于C中，若，则和中，其中一个为最大值 ，另一个为最小值，
则的最小值为半个周期，即，所以C正确；
对于D中，把函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象，
则，
令，可得，则，
令，求得，当时，，单调递减；
当时，，单调递增；当时，，单调递减，且，可得，所以的最大值为，所以D正确.
故选：ACD.
课后训练
1．已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条相邻对称轴，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意分别求出其周期，再根据其最小值求出初相，代入即可得到答案.
【详解】因为在区间单调递增，所以，且，则，，当时，取得最小值，则，，则，，不妨取，则，则，故选：D.
2．（多选）已知函数的图像关于点中心对称，则（ ）
A．在区间单调递减 B．在区间有两个极值点
C．直线是曲线的对称轴 D．直线是曲线的切线
【答案】AD
【分析】根据三角函数的性质逐个判断各选项，即可解出．
【详解】由题意得：，所以，，即，
又，所以时，，故．
对A，当时，，由正弦函数图象知在上是单调递减；
对B，当时，，由正弦函数图象知只有1个极值点，由，解得，即为函数的唯一极值点；
对C，当时，，，直线不是对称轴；
对D，由得：，
解得或,从而得：或,
所以函数在点处的切线斜率为，
切线方程为：即．故选：AD．
3．已知函数，的图象与直线的两个相邻交点的距离等于，则的单调递增区间是
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】，由题设的周期为，∴，由得，，故选C.
4．函数的部分图象如图所示，则（ ）

A．－2B．－1C．0D．
【答案】C
【分析】根据图象及“五点法”求函数解析式.
【详解】由图可知，且过点，代入解析式可知，即．
因为，所以，所以，
所以．故答案为：C
5．（多选）已知函数，若是的一个极大值点，与此极大值点相邻的一个零点为，则下列结论正确的是（ ）
A．在区间上单调递减
B．将的图象向右平移个单位长度可得的图象
C．在区间上的值域为
D．的图象关于直线对称
【答案】BC
【分析】先根据题意求出，再利用极大值点和的范围求出，得到的解析式，利用余弦函数的单调性即可判断A的正误；利用三角函数图象的平移变换法则即可判断B的正误；利用余弦函数的图象与性质求出在区间上的值域，即可判断C的正误；求出的值，即可判断D的正误．
【详解】选项A：由题知，，∴，则，
又是的一个极大值点，∴，，即，，
∵，∴，∴，当时，，
∴函数在区间上先增后减，故A错误；
选项B：将的图象向右平移个单位长度可得的图象，故B正确；
选项C：当时，，∴在区间上的值域为，故C正确；
选项D：，则的图象不关于直线对称，故D错误．
故选：BC.
6．已知函数在上单调，且的图象关于点对称，则（ ）
A．的最小正周期为
B．
C．将的图象向右平移个单位长度后对应的函数为偶函数
D．函数在上有且仅有一个零点
【答案】ACD
【分析】根据函数的单调性和对称性列式求出，再根据最小正周期公式可判断A；根据解析式计算可判断B；利用图象变换和余弦函数的奇偶性可判断C，利用余弦函数的图象可判断D.
【详解】因为函数在上单调，
所以的最小正周期满足，即，所以.
因为的图象关于点对称，所以，，得，，
由，得，因为，所以，.所以.
对于A，的最小正周期为，故A正确；
对于B，，，
所以，故B不正确；
对于C，将的图象向右平移个单位长度后对应的函数为为偶函数，故C正确；
对于D，，令，得，令，由，得，作出函数与直线的图象如图：

由图可知，函数与直线的图象有且只有一个交点，所以函数在上有且仅有一个零点，故D正确.故选：ACD
随堂检测
1．函数的部分图象如图，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】先利用图象中的1和3，求得函数的周期，求得，最后根据时取最大值1，求得，即可得解．
【详解】解：根据函数的图象可得：函数的周期为，∴，
当时取最大值1，即，又，所以，故选：C．
2．函数的最小正周期是( )
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先根据三角函数的辅角公式将函数化简为的形式，再由可得到答案．
【详解】(其中)，．故选：C．
3.函数的最小值为（ ）
A．2B．0C．D．6
【答案】B
【分析】设，则，结合二次函数性质求其最小值即可.
【详解】因为，设，则，由二次函数性质可得当上单调递减，所以当，取最小值，最小值为0，故当时，函数取最小值，最小值为0，故选：B.
4．函数，，的部分图象如图所示，则函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据图像的最值求出，由周期求出，可得，再代入特殊点求出，化简即得所求.
【详解】由图像知，，，解得，
因为函数过点，所以，
，即，解得，
因为，所以，.故选：A
5．（多选）如图是函数的部分图象，则下列结论正确的是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】由图象求出的解析式，再结合三角函数的诱导公式逐项分析即得.
【详解】设，则的最小正周期为：，
所以，因为的最大值为，最小值为，所以，所以，
因为，所以，
所以，故A正确，
，故B不正确；
，故D正确；
，故C不正确.故选：AD.
6．已知函数（为常数，）在处取得最小值，则函数是（ ）
A．奇函数且它的图象关于点对称B．奇函数且它的图象关于点对称
C．偶函数且它的图象关于点对称D．偶函数且它的图象关于点对称
【答案】A
【分析】由题意先求出的最简形式，即可得到函数，再根据三角函数性质对选项逐一判断
【详解】，其中，
若在处取得最小值，则，所以即，
所以，
所以，
可得函数是奇函数，且图象关于点对称．故选：A
7．已知函数，则（ ）
A．的最小正周期为，最大值为 B．的最小正周期为，最大值为
C．的最小正周期为，最大值为 D．的最小正周期为，最大值为
【答案】B
【分析】首先利用余弦的倍角公式，对函数解析式进行化简，将解析式化简为，之后应用余弦型函数的性质得到相关的量，从而得到正确选项.
【详解】根据题意有，所以函数的最小正周期为，
且最大值为，故选B.
8．（多选）已知函数的初相为，则下列结论正确的是（ ）
A．的图象关于直线对称
B．函数的一个单调递减区间为
C．若把函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则为偶函数
D．若函数在区间上的值域为
【答案】AB
【分析】根据已知条件求出函数的解析式，然后计算的值即可判断A项；利用整体思想及正弦函数的单调性求函数的单调递减区间即可判断B项；由三角函数图象的平移变换法求出函数的解析式即可判断C项；由x范围求得的范围，进而求得在区间上的值域即可判断D项．
【详解】由题意知，所以．
对于选项A，，所以的图象关于直线对称，故A项正确；
对于选项B，由，，得，，
则当时，函数的一个单调递减区间为，故B项正确；
对于选项C，的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，
所以为奇函数，故C项错误；
对于选项D，因为，所以，所以，所以，
即：在区间上的值域为，故D项错误．故选：AB.
9．函数的最小值为 ．
【答案】.
【分析】本题首先应用诱导公式，转化得到二倍角的余弦，进一步应用二倍角的余弦公式，得到关于的二次函数，从而得解.
【详解】，
，当时，，故函数的最小值为．
．
图象
定义域
值域
最值
当时，；当
时，．
当时，
；当
时，．
既无最大值也无最小值
周期性
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
单调性
在
上是增函数；
在
上是减函数．
在上是增函数；
在上是减函数．
在
上是增函数．
对称性
对称中心
对称轴
对称中心
对称轴
对称中心
无对称轴