（寒假）新高考数学一轮复习考点精讲+巩固训练+随堂检测14 抛物线方程及其性质（2份，原卷版+教师版）

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知识讲解
抛物线的定义
平面上一动点到定点的距离与到定直线：的点的轨迹叫做抛物线
抛物线的图形
数学表达式
标准方程的推导
设，由定义可知：，等式两边同时平方得：
抛物线的标准方程及其几何性质
通径
通径长：，半通径长：
焦半径（抛物线上的点到焦点的距离）
焦点弦的性质

考点一、抛物线的定义
【例1】已知点，直线，若动点到的距离等于，则点的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．直线
【答案】C
【分析】由抛物线的定义求解即可.
【详解】由抛物线的定义（平面内，到定点与定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线）可知，点的轨迹是抛物线.故选：C
【变式1】设圆与y轴交于A，B两点（A在B的上方），过B作圆O的切线l，若动点P到A的距离等于P到l的距离，则动点P的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意分别求得，的坐标与切线，再根据抛物线的定义即可求得动点的轨迹方程．
【详解】因为圆与轴交于，两点（在的上方），所以，，
又因为过作圆的切线，所以切线的方程为，因为动点到的距离等于到的距离，
所以动点的轨迹为抛物线，且其焦点为，准线为，所以的轨迹方程为．故选：A.
【变式2】复数（为虚数单位）在复平面内对应点，则下列为真命题的是（ ）．
A．若，则点在圆上
B．若，则点在椭圆上
C．若，则点在双曲线上
D．若，则点在抛物线上
【答案】D
【分析】、分别表示点与、之间的距离，记，，由复数模的几何意义和圆锥曲线的定义逐一判断可得答案.
【详解】表示点与之间的距离，表示点与之间的距离，记，，对于A，，表示点到、距离相等，则点在线段的中垂线上，故A错误； 或由，整理得，所以点在，故A错误；
对于B，由得，这不符合椭圆定义，故B错误；
对于C，若，，这不符合双曲线定义，故C错误；
对于D，若，则，整理得，为抛物线，故D正确.故选：D.
考点二、抛物线的标准方程
【例2】若抛物线上的点P到焦点的距离为8，到轴的距离为6，则抛物线的标准方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用抛物线定义即可求得p，然后可得方程.
【详解】由抛物线定义可得：，解得，所以抛物线的标准方程为.故选：C

【变式3】（多选）设抛物线：的焦点为，点在抛物线上，点，若，且，则抛物线的方程可以为（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】利用抛物线的定义、以及几何性质求解.
【详解】设，因为，所以，因为，所以，
即，所以，所以，解得，
所以，解得或，所以抛物线的方程为或．故选:BC.
考点三、抛物线的几何性质
【例3】已知抛物线的焦点为F，准线为l，与x轴平行的直线与l和抛物线C分别交于A，B两点，且，则（ ）
A．2 B． C． D．4
【答案】D
【分析】由抛物线定义结合得到为等边三角形，进而得到，求出，得到答案.
【详解】由抛物线定义可知，因为，所以为等边三角形，故，，所以，其中准线l与轴交点为，则，故，所以.

故选：D
【变式5】已知抛物线：的焦点为，点为上一点，为靠近点的三等分点，若，则点的纵坐标为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【分析】过点分别作准线的垂线，根据题意得到，求得,进而求得点的纵坐标.
【详解】过点分别作准线的垂线，垂足分别为，如图所示，设准线与轴的交点为，
因为为靠近点的三等分点，可得，又因为，可得,
又由抛物线的准线方程为，可得点的纵坐标为，即点点的纵坐标为.故选：C.

【变式6】已知抛物线，直线与C的一个交点为M，F为抛物线C的焦点，O为坐标原点，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据抛物线的定义以及正弦定理得出结果.
【详解】如图，抛物线C的准线，直线n与x轴交于点，过点M作准线n的垂线，垂足为Q，由抛物线的性质可得，所以，
又，所以，故，即．

故选：C.
考点四、抛物线中的最值问题
【例4】已知点是抛物线的焦点，点，且点为抛物线上任意一点，则的最小值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【分析】利用抛物线的定义求解即可.
【详解】因为点是抛物线的焦点，所以，解得，所以抛物线的方程为：．由抛物线的定义知：点到点的距离等于点到准线的距离，结合点与抛物线的位置关系可知，的最小值是点到准线的距离，故的最小值为7．
故选：C.

【变式7】已知为抛物线的焦点，直线与交于，两点，则的最小值是（ ）
A．10 B．9 C．8 D．5
【答案】B
【分析】设，，联立得，则，利用基本不等式即可得出答案.
【详解】设，，联立得，则.
所以.当且仅当，即，时，上式取等号，故.故选：B
【变式8】已知F为抛物线的焦点，P为该抛物线上的动点，点，则的最大值为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【分析】设点，由点与点距离公式计算以及的长，代入所求结合二次函数的性质可求出最大值.
【详解】设，则，又，所以，则.令，则，，即时，取得最大值，此时.故选：D
【基础过关】
一、单选题
1.已知抛物线上的点到其焦点的距离为4，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】先利用点在抛物线上，得到，再结合条件和抛物线的定义即可得出结果.
【详解】因为点在上，所以，得到，又点到其焦点的距离为4，根据抛物线定义知，，得到,故选：D.
2.已知是抛物线上一点，为抛物线的焦点，点，若，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用已知条件求解抛物线的焦点坐标，求出M的坐标，然后求解三角形的面积.
【详解】抛物线，焦点坐标，准线方程为，设点，由抛物线的定义可知，等于到准线的距离，即，又，故，故，.故选：C.
3.已知抛物线C：的焦点为F，抛物线C的准线与坐标轴相交于点P，点，且的面积为2，若Q是抛物线C上一点，则周长的最小值为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由的面积求出，为定值，的周长最小，需最小，即最小，此时MQ垂直于抛物线C的准线，求值即可.
【详解】由题可知，的面积为，则．则有,准线方程为，，Q点到准线距离为，的周长最小，需最小，即最小，所以当MQ垂直于抛物线C的准线时，的周长最小，且最小值为．故选：B.
4.已知椭圆的长轴长为，它的一个焦点与抛物线的焦点重合，则椭圆的标准方程为 ．
【答案】
【分析】求得抛物线焦点即椭圆焦点，再设椭圆方程，由椭圆长轴长和焦点坐标求得，，再由，，的关系求即可.
【详解】抛物线方程化为标准方程得，焦点坐标为，∵抛物线焦点与椭圆的一个焦点重合，∴椭圆焦点在轴，设椭圆方程为，（），则由焦点坐标和长轴长知，，∴，∴，∴椭圆的标准方程为.故答案为：.
5.已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于不同的两点，.若，则 .
【答案】/
【分析】根据给定条件，结合抛物线的定义求出点N的坐标，进而求出直线的方程，再与抛物线方程联立求出点M的坐标作答.
【详解】抛物线的焦点为，设，由抛物线的对称性不妨令，如图，

显然，而，则，，于是直线的方程为，由得，解得，所以.故答案为：
6.已知抛物线的的准线与轴交于点，，是的焦点，是上一点，，则 .
【答案】
【分析】设，利用向量的关系式，求得点的坐标，代入抛物线方程即可．
【详解】抛物线的准线为，由题意，，设，则，，因为，所以，所以，，代入得，解得（负值舍），所以.故答案为：
7.已知点，点P在抛物线上运动，F是抛物线的焦点，连接PF并延长与圆交于点B，则的最小值是 .
【答案】4
【分析】求出焦点，设.表示出，令，换元根据基本不等式即可求出答案.
【详解】由题意可知，抛物线的焦点为.设点，则由抛物线的定义得，.要使最小，则应有，此时有.令，则，，因为，显然有，则由基本不等式知，当且仅当，即时等号成立.故的最小值为.故答案为：4.
课后训练
1.已知动圆M与直线y=2相切，且与定圆 外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据动圆M与直线y=2相切，且与定圆外切，可得动点M到C（0，-3）的距离与到直线y=3的距离相等，由抛物线的定义知，点M的轨迹是抛物线，由此易得轨迹方程．
【详解】设动圆圆心为M(x，y)，半径为r，由题意可得M到C(0，－3)的距离与到直线y＝3的距离相等,
由抛物线的定义可知，动圆圆心的轨迹是以C(0，-3)为焦点，以y＝3为准线的一条抛物线，
所以，其方程为，故选：A
2.已知抛物线的焦点为，点，线段与抛物线相交于点，若抛物线在点处的切线与直线垂直，则抛物线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设点的坐标为，利用导数求得抛物线在点处的切线斜率，利用直线垂直时斜率的关系求解即可．.
【详解】抛物线的焦点为，设点的坐标为，
抛物线方程变形为，由，所以抛物线在点处的切线斜率为，
由抛物线在点处的切线与直线垂直，得，即，所以.
因为点在线段上，所以，所以，解得，
所以抛物线的方程为.故选：D
3.已知点是抛物线上的一点，，是抛物线的焦点，且，则的值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】D
【分析】根据抛物线标准方程可得，设出点的坐标利用向量的坐标运算即可计算出的值.
【详解】易知，由点在抛物线上，可设；又，由可得即，计算可得；又，可得.故选：D
4.（多选）已知抛物线经过点，其焦点为，过点的直线与抛物线交于点，，设直线，的斜率分别为，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【分析】由点坐标代入求出，即可求出抛物线方程与焦点坐标，设直线，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，根据焦点弦公式判断B，根据数量积的坐标表示判断C，根据斜率公式判断D.
【详解】因为抛物线经过点，所以，解得，故A正确；
所以抛物线方程为，则焦点，设直线，则，消去整理得，
则，所以，，则，
，所以，故B正确；
所以，，所以，故C错误；，故D正确；
故选：ABD
5.焦点为的抛物线上有一点，为坐标原点，则满足的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将点的坐标代入抛物线中，解得，从而得到点和点的坐标，要满足，则只需点为的垂直平分线和的垂直平分线的交点，进而求解即可．
【详解】将点的坐标代入抛物线中得，解得，则，所以的斜率为1，且的中点为，则的垂直平分线方程为，即，又的垂直平分线方程为，
又，则点为的垂直平分线和的垂直平分线的交点，所以点的坐标为．
故选：B．
6.已知抛物线，圆，P为E上一点，Q为C上一点，则的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．3
【答案】B
【分析】设，利用两点距离公式结合点在抛物线上有，再利用二次函数的性质和圆的半径即可得到答案.
【详解】由题意知,设，则,
所以当时,，又因为圆的半径为1，所以.故选：B.

7.已如，是抛物线上的动点（异于顶点），过作圆的切线，切点为，则的最小值为 .
【答案】3
【分析】设出点的坐标，结合圆的切线的性质求出，再借助式子几何意义作答.
【详解】依题意，设，有，圆的圆心，半径，
于是，

因此，表示抛物线上的点到y轴距离与到定点的距离的和，而点在抛物线内，当且仅当是过点垂直于y轴的直线与抛物线的交点时，取得最小值3，所以的最小值为3.故答案为：3.
8.已知抛物线，其焦点为F，PQ是过点F的一条弦，定点A的坐标是，当取最小值时，则弦PQ的长是 .
【答案】
【分析】如图，过点作准线的垂线，垂足为，则，由图可知当三点共线时，取最小值，由此可得点的坐标，从而可得直线的方程，联立方程求出点的坐标，即可得解.
【详解】抛物线的焦点，准线为，如图，过点作准线的垂线，垂足为，则，所以，当且仅当三点共线时取等号，
所以当取最小值时，点的横坐标为，当时，，即，
所以，所以直线的方程为，
联立，消得，解得或，当时，，即，
所以.故答案为：.
随堂检测
1.已知抛物线的焦点为在抛物线上，且，则（ ）
A．2 B．4 C．8 D．12
【答案】B
【分析】根据抛物线的定义即可得解.
【详解】由题意可得，则．故选：B.
2.抛物线的焦点到直线的距离为，则（ ）
A．1 B．2 C． D．4
【答案】B
【分析】首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得的值.
【详解】抛物线的焦点坐标为，其到直线的距离：，
解得：(舍去).故选：B.
3.抛物线的焦点为，其准线与双曲线的渐近线相交于两点，若的周长为，则（ ）
A．2 B． C．8 D．4
【答案】A
【分析】利用双曲线的渐近线、抛物线的焦点和准线以及两点的距离公式进行计算求解.
【详解】由题知，双曲线的渐近线为，抛物线的焦点，准线方程为，由得两点坐标为，，所以，因为的周长为，所以，解得.故B，C，D错误.故选：A.
4.已知抛物线C的焦点F在x轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为2，过点F且倾斜角为的直线交抛物线C于A，B两点，则（ ）．
A． B．5 C． D．2
【答案】A
【分析】先求抛物线方程，再联立方程应用韦达定理，最后应用焦半径公式计算即可.
【详解】设抛物线C的方程为，因为焦点到准线的距离为2，则，
抛物线C为：，焦点，准线方程为，直线方程为，

由消去y得：，设，，则，，
所以．故选：A.
5.已知抛物线的焦点为，为上的动点，为圆上的动点，设点到轴的距离为，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】作出图形，过点作垂直于抛物线的准线，垂足为点，利用抛物线的定义可知，分析可知，当且仅当、为线段分别与圆、抛物线的交点时，取最小值，即可得解.
【详解】根据已知得到，圆，所以，圆的半径为，
抛物线的准线为，过点作，垂足为点，则，
由抛物线的定义可得，所以，.
当且仅当、为线段分别与圆、抛物线的交点时，两个等号成立，因此，的最小值为.
故选：D.
6.设为抛物线的焦点，为抛物线上一点，若，则点的横坐标为 ．
【答案】4
【分析】根据焦半径公式求横坐标即可.
【详解】设，由，得，所以，解得．故答案为：4.
7.已知A，B是拋物线上两个不同的点，F为拋物线的焦点，G为的重心．若，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】由抛物线定义得到，所以，再由重心坐标公式可得， ，故，求出 即可得的最小值.
【详解】∵，∴，
∴（提示：重心坐标公式）．过点A作准线的垂线，垂足为，
∴．故答案为：.
8.已知斜率为的直线过抛物线的焦点，且与该抛物线交于两点，若为该抛物线上一点，为圆上一点，则的最小值为 .
【答案】.
【分析】利用直线的点斜式方程写出直线的方程，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理及焦点弦公式，结合三点共线线段最小及两点间的距离公式即可求解.
【详解】由题可知直线的方程为，设，则
由,消去，整理得，所以，
所以，解得，所以，而圆的圆心,
因为，当且仅当点在同一条直线上取等号，且点位于点之间，如图所示：
又，所以的最小值为.故答案为：.
9.已知动点到定点的距离比到直线的距离小2，设动点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)设是轴上的点，曲线与直线交于，且的面积为，求点的坐标.
【答案】(1)；(2)或
【分析】（1）根据抛物线的定义求解即可；
（2）联立直线和抛物线方程，消元后由根与系数的关系、弦长公式、点到直线的距离求出三角形面积解得即可得出点的坐标.
【详解】（1）依题意动点到定点的距离等于动点到直线的距离，由抛物线的定义可知，动点的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线，所以曲线的方程为.
（2）联立方程，整理得,设，则有,
于是,设到直线的距离为，因为，
由点到直线的距离公式得,又，所以，
于是，解得或.故点的坐标为或.
焦点位置
轴正半轴
轴负半轴
轴正半轴
轴负半轴
图形
标准方程
焦点坐标
准线方程