（寒假）新高考数学一轮复习考点精讲+巩固训练+随堂检测04 三角恒等变换（2份，原卷版+教师版）

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知识讲解
正弦的和差公式

余弦的和差公式

正切的和差公式

正弦的倍角公式

余弦的倍角公式
升幂公式：
，
降幂公式：
，
正切的倍角公式
半角公式
(1)sin eq \f(α,2)＝± eq \r(\f(1－cs α,2)). (2)cseq \f(α,2)＝± eq \r(\f(1＋cs α,2)).
(3)taneq \f(α,2)＝± eq \r(\f(1－cs α,1＋cs α))＝eq \f(sin α,1＋cs α)＝eq \f(1－cs α,sin α).
以上称之为半角公式，符号由eq \f(α,2)所在象限决定．
和差化积与积化和差公式
推导公式
辅助角公式
，，其中，
考点一、两角和与差的三角函数综合应用
【例1】若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由两角和差的正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解.
【详解】[方法一]：直接法
由已知得：,
即：，即：
所以故选：C
[方法二]：特殊值排除法
解法一:设β=0则sinα +csα =0，取，排除A, B；再取α=0则sinβ +csβ= 2sinβ，取β，排除D；选C.
[方法三]：三角恒等变换

所以
即
故选：C.
【变式1】已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将所给的三角函数式展开变形，然后再逆用两角和的正弦公式即可求得三角函数式的值.
【详解】由题意可得：，则：，，
从而有：，即.故选：B.
【变式2】已知2tanθ–tan(θ+)=7，则tanθ=（ ）
A．–2 B．–1 C．1 D．2
【答案】D
【分析】利用两角和的正切公式，结合换元法，解一元二次方程，即可得出答案.
【详解】，，令，则，整理得，解得，即.故选：D.
考点二、倍角公式的综合应用
【例2】（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意结合诱导公式可得，再由二倍角公式即可得解.
【详解】由题意，.故选：D.
【变式3】已知 =，则的值是 .
【答案】
【分析】直接按照两角和正弦公式展开，再平方即得结果.
【详解】
故答案为：
【变式4】若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母()，进行齐次化处理，化为正切的表达式，代入即可得到结果．
【详解】将式子进行齐次化处理得：
．故选：C．
【变式5】若，则 ， ．
【答案】
【分析】先通过诱导公式变形，得到的同角等式关系，再利用辅助角公式化简成正弦型函数方程，可求出，接下来再求．
【详解】[方法一]：利用辅助角公式处理
∵，∴，即，即，
令，，则，∴，即，
∴ ，则.故答案为：；.
[方法二]：直接用同角三角函数关系式解方程
∵，∴，即，
又，将代入得，解得，
则.故答案为：；.
考点三、半角公式的综合应用
【例3】已知为锐角，，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据二倍角公式（或者半角公式）即可求出．
【详解】因为，而为锐角，解得：．
故选：D．
【变式6】已知，若是第二象限角，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据诱导公式求，再利用平方关系可求，然后利用公式即可求解.
【详解】解：因为，所以，又是第二象限角，所以，
所以.故选：B．
【变式7】数学里有一种证明方法叫做Prfwithutwrds，也被称为无字证明，是指仅用图象而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于这种证明方法的特殊性，无字证时被认为比严格的数学证明更为优雅与有条理.如下图，点为半圆上一点，，垂足为，记，则由可以直接证明的三角函数公式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据直角三角形中的定义写出，用表示出，然后分析可得．
【详解】由已知，则，，又，，，，因此，故选：C．
考点四、辅助角公式的综合应用
【例4】若函数的一个零点为，则 ； ．
【答案】 1
【分析】先代入零点，求得A的值，再将函数化简为，代入自变量，计算即可.
【详解】∵，∴，∴
，故答案为：1，
【变式8】函数的最小正周期和最大值分别是（ ）
A．和 B．和2 C．和 D．和2
【答案】C
【分析】利用辅助角公式化简，结合三角函数周期性和值域求得函数的最小正周期和最大值.
【详解】由题，，所以的最小正周期为，最大值为.故选：C．
【变式9】若函数的最大值为2，则常数的一个取值为 ．
【答案】（均可）
【分析】根据两角和的正弦公式以及辅助角公式即可求得，可得，即可解出.
【详解】因为，
所以，解得，故可取.故答案为：（均可）.
考点五、三角恒等变换的综合应用
【例5】下列化简不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用三角恒等变换的知识进行化简，从而确定正确答案.
【详解】A选项，
，所以A选项正确.
B选项，，B选项正确.
C选项，，C选项正确.
D选项，，D选项错误.故选：D
【变式10】若，则（ ）
A．0 B． C．1 D．
【答案】C
【分析】根据题意和正弦的倍角公式，化简得到，再由余弦的倍角公式，得到，令，求得，结合，即可求解.
【详解】解：由，可得，
又由正弦的倍角公式，可得，
即，
令，则，解得，
所以.故选：C.
【变式11】已知为第二象限角，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由平方关系和辅助角公式可求解.
【详解】为第二象限角，，
原式.
.故选：B.
【变式12】函数的最小值为 .
【答案】
【分析】根据二倍角公式化简，即可求解最值.
【详解】因为，所以当时，，此时的最小值为.故答案为：
【基础过关】
一、单选题
1．设，则等于（ ）
A．-2 B．2 C．-4 D．4
【答案】C
【分析】先用两角差的正切公式可求出的值，再用两角和的正切公式即可求解
【详解】因为，所以，故，故选：C．
2．已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用诱导公式及二倍角余弦公式计算可得.
【详解】因为，所以
.故选：C
3．已知，，则（ ）
A．4 B．6 C． D．
【答案】D
【分析】由正弦和正切的和差角公式即可代入求值.
【详解】由得，进而可得，所以，故选：D
4．已知直线的倾斜角为，则（ ）
A．-3 B． C． D．
【答案】B
【分析】利用直线的斜率的定义及二倍角的余弦公式，结合同角三角函数的平方关系和商数关系即可求解.
【详解】因为直线的倾斜角为，所以.
所以.故选：B.
5．若，，则（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【分析】首先求出，即可得到，再根据计算可得.
【详解】因为，所以，，，
又，所以，即，
所以.故选：C
6．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用二倍角公式，两角和的正弦公式化简求解即可.
【详解】由题意得，，因为，所以，
所以，即，所以.故选：B
7．已知锐角，满足，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【分析】利用二倍角公式公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，再根据两角差的正切公式计算可得.
【详解】因为，所以，所以，
所以，即，即，
所以.故选：C
8．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【分析】先根据二倍角公式化简条件得：，再根据角的范围及诱导公式得，利用正弦函数的单调性可得，化简求值即可.
【详解】由，得，①
化简①式，得，又，
所以，即，
因为，，所以，
且在上单调递增，所以，
所以，则，所以.故选：B．
二、填空题
9．已知，则 .
【答案】/-0.8
【分析】根据正切的差角公式得出，再结合同角三角函数的平方关系，构造齐次式化简弦为切计算即可.
【详解】由，又，
代入得.故答案为：
10．若，则的值为 ．
【答案】或
【分析】根据给定条件，利用齐次式法求出，再利用诱导公式及二倍角的余弦公式求解作答.
【详解】因为，则，
则，即，解得，
所以的值为或.故答案为：或
【能力提升】
一、单选题
1．已知角，满足，，则（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【分析】根据积化和差公式可得，结合二倍角公式以及弦切互化得齐次式即可求解.
【详解】由得，
进而，则
所以，
则.故选：A.
2．已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据角的变换及诱导公式、二倍角的正弦公式、同角三角函数的基本关系求解.
【详解】，，
.故选：D
3．设，，，则有（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用辅助角公式化简a，正切二倍角公式和放缩放化简b，余弦二倍角公式化简c，然后根据正弦函数的单调性比较可得.
【详解】，
，，当，单调递增，所以，所以.故选：C
4．已知锐角满足，则（ ）
A． B． C． D．1
【答案】D
【分析】先根据求出，再利用二倍角得正切公式求出，再根据两角和得正切公式即可得解.
【详解】由，得，即，
解得，又为锐角，所以，又，
即，解得（舍去），所以，所以.
故选：D.
5．若，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用二倍角和两角差的余弦公式，再结合角的范围，即可求解.
【详解】依题意可知，，
即，即，
得，因为，，所以，即.故选：D
课后训练
2．的值为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【分析】运用正切两角和公式变形求解即可.
【详解】，令，则，
所以，即.故选：A.
2．已知，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用和角、差角的正弦公式求出，再利用二倍角的余弦公式计算作答.
【详解】因为，而，因此，
则，所以.
故选：B
3．已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用二倍角的余弦公式求解.
【详解】解：因为，所以，即，所以．，故选：B．
4．函数的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据平方关系结合二倍角的正弦公式及降幂公式化简，再根据余弦函数的周期性即可得解.
【详解】解：
，因为函数的最小正周期.故选：B.
5．已知，则的近似值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先求出，再根据利用两角差的正、余弦公式展开，最后利用诱导公式变形，代入计算可得.
【详解】因为，所以，所以
.故选：B
6．已知，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用已知条件和两角和的正切公式，先求出角，再利用已知条件即可求解.
【详解】因为，又因为，，
所以，
所以因为，所以，
所以，所以当为奇数时，，，当为偶数时，，，
因为，所以，因为，所以.故选：C.
7.若为锐角，且，则 ．
【答案】2
【分析】根据两角和的正切公式变形即可得解.
【详解】因为，
所以
，故答案为：2
8．若函数的最小值为，则常数的一个取值为 .（写出一个即可）
【答案】（答案不唯一）.
【分析】化简函数解析式，由条件结合正弦函数性质求常数的一个取值即可.
【详解】可化为，所以，
设，则，设，
则，因为函数的最小值为，所以，，
所以或，其中，故答案为：（答案不唯一）.
随堂检测
1．（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用两角差的余弦公式即可求解.
【详解】．故选：A.
2．若tanα＝3，tanβ＝，则tan(α－β)等于（ ）
A．3B．－3C．D．
【答案】C
【分析】由两角差的正切公式即可求解.
【详解】解：tan(α－β)＝＝＝，故选：C.
3．的值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据二倍角的正弦公式化简计算即可.
【详解】解：.故选：B.
4．已知，则（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】A
【分析】利用两角和差的正弦公式将题给条件化简，得到关于的方程，解之即可求得的值.
【详解】，
，又，
则，则故选：A
5．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由二倍角公式可得，再结合已知可求得，利用同角三角函数的基本关系即可求解.
【详解】，
，，，解得，
，.故选：A.
6．函数是
A．奇函数，且最大值为2 B．偶函数，且最大值为2
C．奇函数，且最大值为 D．偶函数，且最大值为
【答案】D
【分析】由函数奇偶性的定义结合三角函数的性质可判断奇偶性；利用二倍角公式结合二次函数的性质可判断最大值.
【详解】由题意，，所以该函数为偶函数，
又，所以当时，取最大值.
故选：D.
7.若，是第三象限的角，则＝（ ）
A．2 B． C．﹣2 D．
【答案】C
【分析】将表达式中的正切化成正余弦，由，求出，代入即可求解．
【详解】由且是第三象限的角，可得，
又由，即.故选：C.
8．已知，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由已知条件算出即可求解.
【详解】因为，所以，
因为，所以，
所以.故选：C.
9．已知实数满足，则的最大值是（ ）
A． B．4 C． D．7
【答案】C
【分析】法一：令，利用判别式法即可；法二：通过整理得，利用三角换元法即可，法三：整理出圆的方程，设，利用圆心到直线的距离小于等于半径即可.
【详解】法一：令，则，代入原式化简得，
因为存在实数，则，即，
化简得，解得，故 的最大值是，
法二：，整理得，
令，，其中，则，
，所以，则，即时，取得最大值，
法三：由可得，
设，则圆心到直线的距离，解得故选：C.
10．已知则函数的最大值为 .
【答案】
【分析】利用三角恒等变换、辅助角公式表示出的解析式，再用换元法将函数转化为二次函数即可求最大值.
【详解】,
令,因为,所以,所以,
所以,所以,对称轴,
所以在单调递增,所以当时，,
即当,时，有最大值.故答案为: .
11．已知为锐角，且，则 .
【答案】
【分析】利用两角和的正弦公式化简得到，利用辅助角公式得到，即可求出，从而得解.
【详解】因为，
，又，
所以，所以，即，
因为为锐角，所以，所以，所以，即.故答案为：.