（寒假）新高考数学一轮复习考点精讲+巩固训练+随堂检测03 三角函数概念与诱导公式（2份，原卷版+教师版）

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知识讲解
角的定义
平面内一条射线绕着端点从一位置旋转到另一个位置所形成的的图形叫做角；射线的端点叫做角的顶点，旋转开始时的射线叫做角的始边，旋转终止时的射线叫做角的终边
角的分类
按照角终边的位置可分为（象限角和轴线角）
按照选择方向可分为（正角（逆时针选择）、负角（顺时针选择）和零角（不旋转））
象限角
第Ⅰ象限角：，或，
第Ⅱ象限角：，
第Ⅲ象限角：，
第Ⅳ象限角：，或，
轴线角
终边落在轴正半轴上：，
终边落在轴负半轴上：，
终边落在轴正半轴上：，
终边落在轴负半轴上：，
终边落在轴上：，，终边落在轴上：，
终边落在坐标轴上：，，终边落在上：，
终边落在上：，或：，
β，α终边相同⇔β＝α＋2kπ，k∈Z.
β，α终边关于x轴对称⇔β＝－α＋2kπ，k∈Z.
β，α终边关于y轴对称⇔β＝π－α＋2kπ，k∈Z.
β，α终边关于原点对称⇔β＝π＋α＋2kπ，k∈Z.
终边相同的角
与终边相同的角的集合为：，
角度与弧度的关系
，
扇形的弧长、周长及面积公式
三角函数的定义
，正弦线：
，余弦线：
，正切线：
三角函数在各象限内的符号
三角函数值在各象限的符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦．
特殊角的三角函数值

两角互余的三角函数关系
互余，，
已知，则：
两角互补的三角函数关系
互补，，，
已知，则：，
常见三角不等式
若，则；若，则.
.
同角三角函数的基本关系
平方关系：
商数关系：
推导公式：
诱导公式
诱导类型
或，，
或，，
或，，
诱导方法：奇变偶不变，符号看象限
奇偶指的是或中的奇偶，
若为奇数，变函数名；，
若为偶数，不变函数名；，，
象限指的是原函数名的象限，再判断符号
规定：无论角多大，看作第一象限角（锐角）
诱导公式
， ，
， ，
，，
，，
，，
，，
，，
，，
， ，
，，
考点一、扇形的弧长及面积计算
【例1】沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在上，．“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式：．当时，（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接，分别求出，再根据题中公式即可得出答案.
【详解】解：如图，连接，因为是的中点，所以，又，所以三点共线，即，又，所以，则，故，
所以.故选：B.
【变式1】已知圆锥的侧面积（单位：） 为2π，且它的侧面积展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径（单位：）是 ．
【答案】
【分析】利用题目所给圆锥侧面展开图的条件列方程组，由此求得底面半径.
【详解】设圆锥底面半径为，母线长为，则，解得.
故答案为：
【变式2】如图，圆锥的底面半径为1，侧面展开图是一个圆心角为的扇形.把该圆锥截成圆台，已知圆台的下底面与该圆锥的底面重合，圆台的上底面半径为，则圆台的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由已知可得出圆锥的母线，进而根据圆锥、圆台的轴截面，即可得出答案.
【详解】假设圆锥半径，母线为，则.设圆台上底面为，母线为，则.
由已知可得，，所以.如图，作出圆锥、圆台的轴截面
则有，所以.所以圆台的侧面积为.
故选：C.
考点二、三角函数求值问题综合
【例2】已知直线的图像如图所示，则角是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
【答案】D
【分析】本题可根据直线的斜率和截距得出、，即可得出结果.
【详解】结合图像易知，，，则角是第四象限角，故选：D.
【变式3】已知点为角终边上一点，绕原点将顺时针旋转，点旋转到点处，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由三角函数的定义求得，根据题意得到射线为角的终边，结合两角差的正、余弦公式，求得和的值，进而求得点的坐标，得到答案.
【详解】因为，可得，由三角函数的定义，可得，
又由绕原点将顺时针旋转，可得且射线为角的终边，
所以，，
所以点的坐标为.故选：B.
【变式4】在平面直角坐标系中，若角的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，终边经过点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据三角函数特殊值求出点的坐标，由正弦函数定义即可求解.
【详解】依题意，因为，所以终边经过的点为，
所以终边在第四象限，所以.故选：B.
考点三、三角函数值的大小比较
【例3】的大小关系为
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】单位圆中，，，故选A.
【变式5】设则
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】试题分析：利用诱导公式、三角函数的单调性即可得出．
解：∵a=sin33°，b=cs55°=sin35°，∴a＜b，又，∴c＞b＞a．故选C．
【变式6】已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用时，判断的大小，由余弦函数性质判断大小可得．
【详解】考虑在时，．所以，即，从而，即；又，即，故选：B
考点四、同角三角函数的基本关系
【例4】设甲：，乙：，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】B
【分析】根据充分条件、必要条件的概念及同角三角函数的基本关系得解.
【详解】当时，例如但，即推不出；当时，，即能推出.综上可知，甲是乙的必要不充分条件.故选：B
【变式7】已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】用二倍角的余弦公式，将已知方程转化为关于的一元二次方程，求解得出，再用同角间的三角函数关系，即可得出结论.
【详解】，得，即，解得或（舍去），又.故选：A.
【变式8】若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用弦化切可求得的值，再利用两角和的正切公式可求得的值.
【详解】因为，解得，所以，.
故选：A.
考点五、诱导公式的综合应用
【例5】若为偶函数，则 ．
【答案】2
【分析】利用偶函数的性质得到，从而求得，再检验即可得解.
【详解】因为为偶函数，定义域为，
所以，即，
则，故，此时，
所以，又定义域为，故为偶函数，所以.
故答案为：2.
【变式9】已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用诱导公式可求得的值，结合角的取值范围可求得角，进而可求得结果.
【详解】由得，又，，，故选：A.
【变式10】已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用三角函数诱导公式，结合同角的三角函数关系将原式化简，即可求得答案.
【详解】因为，则,
故选:D．
【基础过关】
1．如图，点为角的终边与单位圆的交点，（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据单位圆、三角函数的定义、同角三角函数的基本关系及诱导公式求解.
【详解】由单位圆可知，，且为第一象限角，
根据同角三角函数的基本关系可得，所以，
所以.故选：D
2.已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，若点是角终边上一点，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由点坐标作出终边，根据三角函数定义求出和，把化简再求值即可.
【详解】由题意知，，所以，，因为.故选：C.
3.已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据，借助于诱导公式，即可求得结果．
【详解】，的值为，故选：
4.如图，在扇形中，C是弦的中点，D在上，．其中，长为．则的长度约为（提示：时，）（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据弧长公式，结合已知求出角的余弦的近似值，求出CO,最后得到CD即可.
【详解】设圆心角，，，所以，，
所以．故选：B.
5.已知角的终边经过点，且，则 ．
【答案】/0.96
【分析】根据三角函数的定义列出求解出，得到，结合诱导公式和正弦二倍角公式即可计算得到答案.
【详解】由题意知，，，
所以，化简得解得或又因为，即，所以，所以角的终边经过点，所以，所以．
故答案为：
【能力提升】
6.已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用诱导公式及二倍角余弦公式计算可得.
【详解】因为，所以，
所以．故选：B.
7.已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用诱导公式、余弦的倍角公式可得答案.
【详解】因为，所以
.故选：A.
8.若，则（ ）
A．0 B． C．3 D．7
【答案】D
【分析】由条件结合平方关系及二倍角公式可求，根据商的关系和二倍角公式及诱导公式化简，代入求值即可.
【详解】因为，所以，所以，即
又，所以，
故选：D.
9.（ ）
A． B． C． D．6
【答案】A
【分析】利用二倍角公式及诱导公式计算计算可得.
【详解】
.故选：A
10.若，则的值为 ．
【答案】或
【分析】根据给定条件，利用齐次式法求出，再利用诱导公式及二倍角的余弦公式求解作答.
【详解】因为，则，
则，即，解得，
所以的值为或.故答案为：或
11.由，可求得 .
【答案】
【分析】由题意得到，利用二倍角的正弦公式得到，即可求解．
【详解】，，，
，，，或（舍．
故答案为：．
巩固训练
1.已知α是第四象限角，cs α＝，则sin α等于（ ）
A． B．－ C． D．－
【答案】B
【分析】根据同角三角函数平方关系式以及三角函数值在各象限的符号即可解出．
【详解】由条件知α是第四象限角，所以，即sin α＝＝＝.故选：B．
2.中国古代数学专著《九章算术》的第一章“方田”中载有“半周半径相乘得积步”，其大意为：圆的半周长乘以其半径等于圆面积.南北朝时期杰出的数学家祖冲之曾用圆内接正多边形的面积“替代”圆的面积，并通过增加圆内接正多边形的边数n使得正多边形的面积更接近圆的面积，从而更为“精确”地估计圆周率π.据此，当n足够大时，可以得到π与n的关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设圆的半径为，由题意可得，化简即可得出答案.
【详解】设圆的半径为，将内接正边形分成个小三角形，由内接正边形的面积无限接近圆的面即可得：，解得：.故选：A.
3.已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据同角三角关系分析运算，注意三角函数值的符号的判断.
【详解】由题意可得：，整理得，
且，可得，即，可得，
因为，可得，所以.故选：D.
4.已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先利用诱导公式和恒等变换进行化简，再利用任意角三角函数求解即可.
【详解】由题意得，所以.故选：B.
5.已知，则的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先证明当0＜x＜时，，从而可得，再利用正切函数和余弦函数的单调性可得答案.
【详解】先证明：当0＜x＜时， 如图，角x终边为OP，其中点P为角x的终边与单位圆的交点，PM⊥x轴，交x轴与点M，A点为单位圆与x轴的正半轴的交点，AT⊥x轴，交角x终边于点T，
则有向线段MP为角x的正弦线，有向线段AT为角x的正切线，设弧PA＝l＝x×1＝x，由图形可知：S△OAP＜S扇形OAP＜S△OAT，即所以＜＜，即所以 又由函数在上单调递增，所以
又由函数在上单调递减，则
所以所以，即 故选：C．
随堂检测
1.的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据诱导公式，将所求的角转化为特殊锐角，即可求解.
【详解】.故选：B.
2.圆锥侧面展开图扇形的圆心角为60°，底面圆的半径为8，则圆锥的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】运用扇形的弧长公式及圆锥的侧面积公式计算即可.
【详解】设圆锥的半径为r，母线长为l，则，由题意知，，解得：，
所以圆锥的侧面积为.故选：A.
3.若则在（ ）
A．第一、三象限 B．第一、二象限 C．第一、四象限 D．第二、四象限
【答案】A
【分析】先确定每个函数在各个象限的符号，进一步判断即可得出答案.
【详解】因为在第一、二象限为正，第三、四象限为负；在第一、四象限为正，第二、三象限为负.而，所以在第一、三象限.故选：A.
4.如图是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若扇形的两个圆弧所在圆的半径分别是1和3，且，则该圆台的体积为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，求出圆台的上下底面圆的半径，再求出圆台的高并结合圆台的体积公式求解作答.
【详解】设圆台上底面圆半径为，下底面圆半径为，依题意，，且，解得，而圆台的母线长，因此圆台的高，所以圆台的体积.
故选：C
5.设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由三角函数的性质结合充分条件、必要条件的定义即可得解.
【详解】因为可得：当时，，充分性成立；当时，，必要性不成立；所以当，是的充分不必要条件.故选：A.
6.（多选）已知角的终边与单位圆交于点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】点代入单位圆的方程求出点可得，再由弦化切可得答案.
【详解】角的终边与单位圆交于点，，，，
当时，；当时，．故选：AC.
7.已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据已知式子结合同角三角函数的商数关系与平方关系，可求得的值，再由诱导公式求得的值.
【详解】解：①，
由于代入①，得：，
由于，所以，故，所以.故选：C.
8.已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先求，再将目标式化为齐次式求解即可.
【详解】由已知得：，所以.故选：A
9.已知，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】取，然后可得出答案.
【详解】因为，所以可取，因为，所以故选：C
10.如果是第二象限角，且满足，那么（ ）
A．是第一象限角 B．是第三象限角
C．可能是第一象限角，也可能是第三象限角 D．是第二象限角
【答案】B
【分析】由是第二象限角，有，结合，即可求的范围，进而确定其所在象限.
【详解】因为，
所以，即，∵是第二象限角，故，，
∴，，所以此时可能在第一象限角，也可能在第三象限角
又，∴，.所以在第三象限角故选：B.
11.若点关于轴对称点为，写出的一个取值为 ．
【答案】（满足即可）
【分析】根据在单位圆上，可得关于轴对称，得出求解.
【详解】与关于轴对称，即关于轴对称，
，则，当时，可取的一个值为.
故答案为：（满足即可）.
12.若，则 ．
【答案】
【分析】根据同角三角关系求，进而可得结果.
【详解】因为，则，又因为，则，
且，解得或（舍去），
所以.故答案为：.
角度制
弧度制
弧长公式
面积公式
周长公式
是扇形的半径，是圆心角的度数
是扇形的半径，是圆心角弧度数，是弧长
度
弧度
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
1
不存在
0
不存在
0