（寒假）新高考数学一轮复习考点精讲+巩固训练+随堂检测06 正余弦定理与解三角形（2份，原卷版+教师版）

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知识讲解
1. 正弦定理
（1）基本公式：
（其中为外接圆的半径）
（2）变形
2. 三角形中三个内角的关系
，eq \f(A＋B,2)＝eq \f(π,2)－eq \f(C,2)
，，
3. 余弦定理
（1）边的余弦定理
，，
（2）角的余弦定理
，，
4. 三角形的面积公式
考点一、正弦定理边角互化与解三角形
【例1】在中，内角的对边分别是，若，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先利用正弦定理边化角，然后结合诱导公式和两角和的正弦公式求得的值，最后利用三角形内角和定理可得的值.
【详解】由题意结合正弦定理可得，
即，
整理可得，由于，故，据此可得，
则.故选：C.
【变式1】在中，内角的对边分别为.若，且，则
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】边换角后约去sin B，得sin(A＋C)＝，所以sin B＝，但∠B非最大角，所以∠B＝.
【变式2】在中，角的对边分别是，且，求角
【答案】
【分析】由正弦定理结合三角恒等变换计算即可；
【详解】在中，由正弦定理得：，
而，所以，
化简得，因为，所以，，
即，所以，又因为，所以，即.
考点二、利用正弦定理判断三角形解的个数
【例2】根据下列条件，判断三角形解的情况，下列结论中正确的是（ ）
（1），，，有一个解.
（2），，，有两个解
（3），，，无解
（4），，，有一解
A．（1）（2） B．（2）（4）
C．（1）（2）（3） D．（1）（2）（4）
【答案】D
【分析】由条件利用正弦定理求得角的正弦值，再根据大边对大角可得三角形解得个数，从而得出结论.
【详解】对于（1）：，，，由正弦定理得，解得，有唯一解，故（1）正确；
对于（2）：，，，由正弦定理得 ，解得，再由大边对大角可得C> B ,故C可以是锐角也可以是钝角，故三角形有2解，故（2）正确。
对于（3）：，，，则由正弦定理得，解得，再由大边对大角，可得C为锐角，故三角形有唯一解，故（3）不正确，
对于（4）：，，，由正弦定理得，解得，再由B为锐角，可得三角形有唯一解，故（4）正确，
故选：D.
【变式3】设在中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，若满足的不唯一，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据正弦定理计算可得；
【详解】解：由正弦定理，即，所以，
因为不唯一，即有两解，所以且，即，
所以，所以，即；故选：A
【变式4】中，角的对边分别是，，.若这个三角形有两解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由正弦定理结合已知，可推得.进而根据三角形解得个数推得，即可得出答案.
【详解】由正弦定理可得，.要使有两解，即有两解，则应有，且，所以，所以.故选：B．
考点三、余弦定理求值
【例3】在中，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用正弦定理的边角变换与余弦定理即可得解.
【详解】因为，所以由正弦定理得，即，则，故，又，所以.故选：B.
【变式5】在中，已知，，，则（ ）
A．1 B． C． D．3
【答案】D
【分析】利用余弦定理得到关于BC长度的方程，解方程即可求得边长.
【详解】设，结合余弦定理：可得：，
即：，解得：（舍去），故.故选：D.
【变式6】记锐角的内角、、的对边分别为、、，已知．求
【答案】
【分析】利用正弦定理将角化边，再由余弦定理计算可得；
【详解】因为，由正弦定理可得，
所以，又，所以.
考点四、利用正余弦定理判断三角形的形状
【例4】在已知分别为的三个内角的对边，若，则是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
【答案】C
【分析】由余弦定理求解即可.
【详解】由余弦定理可得，则为钝角，即是钝角三角形.故选：C
【变式7】设中角，，所对的边分别为，，；若，，；则为（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上都有可能
【答案】A
【分析】根据余弦定理即可求解.
【详解】由余弦定理可得,故为锐角，由于，因此均为锐角，故为锐角三角形，故选：A
【变式8】在中，若，则的形状为（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
【答案】D
【分析】根据正弦定理或三角恒等变换，记得判断的形状.
【详解】由正弦定理，以及二倍角公式可知，,
即，整理为，即，得，或,所以的形状为等腰三角形或直角三角形.故选：D
考点五、三角形面积的应用
【例5】在中，已知，，.
(1)求；
(2)若D为BC上一点，且，求的面积.
【答案】(1)；(2).
【分析】(1)首先由余弦定理求得边长的值为，然后由余弦定理可得，最后由同角三角函数基本关系可得；
(2)由题意可得，则，据此即可求得的面积.
【详解】（1）由余弦定理可得：，
则，，.
（2）由三角形面积公式可得，
则.
【变式9】记的内角的对边分别为，已知．
(1)求；
(2)若，求面积．
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）根据余弦定理即可解出；
（2）由（1）可知，只需求出即可得到三角形面积，对等式恒等变换，即可解出．
【详解】（1）因为，所以，解得：．
（2）由正弦定理可得
，变形可得：，
即，而，所以，又，所以，
故的面积为．
【变式10】记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知．
(1)求的面积；
(2)若，求b．
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）先表示出，再由求得，结合余弦定理及平方关系求得，再由面积公式求解即可；
（2）由正弦定理得，即可求解.
【详解】（1）由题意得，
则，
即，由余弦定理得，整理得，则，
又，则，，则；
（2）由正弦定理得：，则，
则，.
考点六、外接圆、内切圆半径问题
【例6】已知在中，其角、、所对边分别为、、，且满足．
(1)若，求的外接圆半径；
(2)若，且，求的内切圆半径
【答案】(1)1；(2)1
【分析】（1）由正弦定理、两角和的正弦公式和辅助角公式化简已知式，可得，即可求出，再由正弦定理的定义可求得的外接圆半径；
（2）由余弦定理和三角形的面积公式求解即可.
【详解】（1）因为，所以，
所以，因为，
所以，所以，
因为，所以，所以，因为，所以，
所以，所以外接圆半径．所以.
（2）因为，由题可知，所以，
又因为，可得，因为．
由的面积，得．
【变式11】在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且．
(1)求的外接圆半径R；
(2)求内切圆半径r的取值范围．
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）由正弦边角关系可得，应用余弦定理即可求，进而确定其大小；
（2）由正弦定理有，，根据余弦定理有，结合（1）及，应用三角恒等变换有，由三角形内角性质、正弦函数性质求范围即可.
【详解】（1）因为，由正弦边角关系得，即，
由余弦定理，得，又，所以，
由，则.
（2）由正弦定理得，所以，，
由余弦定理，得，所以，
利用等面积法可得，则
，
∵，∴，故，则，
所以，故.
考点七、双正弦及双余弦模型
【例7】在中，为中点，．
(1)若，求的面积；
(2)若，求的长．
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）在中，先利用余弦定理求出角，再根据三角形的面积公式即可得解；
（2）在中，先利用正弦定理及二倍角的正弦公式求出及，再利用正弦定理求解即可.
【详解】（1）在中，，
由余弦定理可知，
因为，所以，所以;
（2）在中，设,则由正弦定理，
即，得，所以，
，所以，
所以，
由正弦定理得：，即．
【变式13】在中，点D在BC 上，满足AD＝BC，．
(1)求证：AB，AD，AC成等比数列；
(2)若，求．
【答案】(1)证明见解析；(2)
【分析】（1）由正弦定理得，再由，得到，即得证；
（2）记A，B，C的对边分别为a，b，c，由（1）得，设，在△ABD与△ACD中，分别使用余弦定理，解方程组可求出或，依题意排除，利用余弦定理即可求出.
【详解】（1）在中，由正弦定理得：①，
由已知得：②，
由①②联立得：，因为，所以．
故AB，AD，AC成等比数列；（2）在△ABC中，记A，B，C的对边分别为a，b，c，
故，由（1）知：③，
在△ABD中，设，由已知得，
由余弦定理得：，即④，
在△ACD中，设，由已知得，
由余弦定理得：，⑤，
由⑤＋④×2整理得：⑥，
由③⑥联立整理得：，解得：或，
当时，由可求得，所以故舍去，
当时，由可求得，满足，
在△ABC中，由余弦定理得综上：
【变式14】如图，在中，角的对边分别为.已知.
(1)求角；
(2)若为线段延长线上一点，且，求.
【答案】(1)；(2)
【分析】(1)运用正弦定理以及诱导公式求解；(2)根据条件运用正弦定理求解.
【详解】（1）由条件及正弦定理可得：，
即
故，则有，
又，故有，
或（舍去），或（舍去），
则，又，所以；
（2）设，在和中，由正弦定理可得
于是，又，则，，；综上，，.
【基础过关】
一、单选题
1．记的内角的对边分别为，，，若，则为（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
【答案】D
【分析】由已知条件和正弦定理得，再由角的范围得满足的关系.
【详解】由，得，由正弦定理得，
所以，因为，所以或，所以或.
即是等腰或直角三角形.故选：D.
2．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则c＝（ ）
A．4 B．6 C． D．
【答案】D
【分析】根据正弦定理化边为角有，再利用两角和与差的正弦公式有，再利用正弦定理进行化角为边有.
【详解】因为，根据正弦定理得，
移项得，即，即，
则根据正弦定理有．故选：D.
3．在锐角中，内角的对边分别为，，，且，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据已知条件利用正弦定理把边化角，然后可得，再根据角都是锐角即可求解.
【详解】因为，，所以，
所以由正弦定理得，即，
因为，，所以，所以，即，
因为，即，解得.故选：A.
4．我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”，设的三个内角所对的边分别为，，，面积为S，则“三斜求积”公式为，若，，则用“三斜求积”公式求得的面积为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】对于，利用正弦定理角化边可得，继而化简可得，代入“三斜求积”公式即得答案.
【详解】由得，由得，
故，A.
5．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若且，，则（ ）
A． B． C．8 D．4
【答案】D
【分析】由可得，求出，利用正弦定理可得答案.
【详解】在中，由可得，即
所以，因为，所以，且，所以，又，可得，
由正弦定理可得．故选：D.
6.在中，角的对边分别为，若，则外接圆的面积为 .
【答案】
【分析】首先利用正弦定理，边化角，再结合三角恒等变换，以及余弦定理，求得和角，即可求得三角形外接圆的半径和面积.
【详解】由正弦定理得，
因为，所以，即，可得.因为，所以，得，解得.，化简得，由正弦定理､余弦定理，得，化简得，由正弦定理可得，得，因此外接圆的面积为.故答案为：
7.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)求A的大小；
(2)若， ，求BC边上高的长.
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）利用正弦定理化边为角，结合三角变换可得答案；
（2）利用余弦定理求出边，根据面积相等可得答案.
【详解】（1）∵，∴，
∴，即.
又∵，，∴，.
（2）设BC边上的高为h，∵，即，解得 ，
∴，解得，即BC边上的高为 .
【能力提升】
一、单选题
1．中，三边之比，则（ ）
A． B．4 C． D．
【答案】C
【分析】首先由结合余弦定理得出，然后根据二倍角公式和正弦定理即可得出结果.
【详解】因为， 不妨设，
则，由正弦定理可得
.故选：C.
2．在中，角的对边分别为，若，则的值可为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据三角恒等变换结合条件可得，然后利用正弦定理可得，再通过换元法，构造函数利用导数研究函数的性质进而即得.
【详解】由题知，
则，
即，因为，所以，则，
所以，则，为钝角，为锐角，
，
因为，则，则，则，
令，则，令，则，
所以在上单调递减，又，则，故选：D.
3.已知的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，已知的面积S满足，则角A的值为 ．
【答案】
【分析】根据余弦定理和三角形面积公式化简已知条件，得
求解可得角A的值.
【详解】由已知得，根据余弦定理和三角形面积公式，
得，化简为，由于，
所以，化简得，
即 ，解得，或（舍），
由于，所以.故答案为：
4.在中，角所对的边分别是，已知．
(1)求角；
(2)若，且的面积为，求．
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）根据正弦定理，利用边化角的思想，结合三角函数的恒等变换，可得答案；
（2）根据三角形的面积公式，结合余弦定理，可得答案.
【详解】（1）由已知可得，即，
由正弦定理可得，
即，
即，因为，所以即．
因为，所以．
（2）由已知得，又，所以，
故，解得．
5.记的内角的对边分别为.已知.
(1)求；
(2)证明：.
【答案】(1)；(2)证明见解析.
【分析】（1）根据，由诱导公式逆推可得，再由，可得，再代入计算即可；
（2）根据（1）可得，再通过二倍角公式化简计算可得，换元后构造新函数，求解导函数从而判断函数单调性，从而可得，再结合正弦函数的平方关系与商式关系，判断三角函数的范围，由正弦定理边角互化即可证明.
【详解】（1）由，得，由题意可知，存在，
所以，即，所以，所以.
（2）由，得，
故，令，则，
，当时，；当时，；
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
又，所以，进而，，
可得，所以.而，故.
所以.
课后训练
1.在中，内角所对的边分别为，则下列条件能确定三角形有两解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】结合已知条件和正弦定理即可求解.
【详解】对于A：由正弦定理可知，，∵，∴，故三角形有一解；对于B：由正弦定理可知，，∵，∴，故三角形有两解；对于C：由正弦定理可知，∵为钝角，∴B一定为锐角，故三角形有一解；对于D：由正弦定理可知，，故故三角形无解.故选：B.
2.在中，角的对边分别是，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由余弦定理即可求解.
【详解】由得，所以，
由于,故选：A
3.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则的形状为（ ）
A．等腰或直角三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】B
【分析】根据同角关系以及正弦定理边角互化可得，由余弦二倍角公式以及和差角公式可得，即可判断三角形形状.
【详解】由得,
由正弦定理得,
由于,所以，
所以,由于为三角形的内角，所以,又得,进而可得,而为三角形内角，故，进而，故三角形为等边三角形，故选：B
4.在 中，角 A、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且满足.
(1)求的值；
(2)若，求的面积.
【答案】(1)2；(2)12
【分析】（1）将通分，结合两角和的正切公式即可求解；
（2）由（1）切化弦可求出，由两角和与差的余弦公式得，进而求得，再根据正弦定理结合三角形面积公式即可求解.
【详解】（1）由可得，，
因为，所以可得，解得.
（2）由（1）知，所以，又因为，所以，
所以，即，又，
所以，由正弦定理可得，，
所以，所以，
所以的面积.
5.已知的角对边分别为，满足，.
(1)求；
(2)求外接圆的半径.
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）根据正弦定理边角互化以及和差角公式化简可得，结合三角函数同角关系即可求解，
（2）由余弦定理代入已知关系即可得，由正弦定理即可求解.
【详解】（1）由以及正弦定理可得：，
，
，，
，而.
（2）
，整理得，.
由正弦定理可得.
随堂检测
1.在△ABC中，csC=，AC=4，BC=3，则csB=（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据已知条件结合余弦定理求得，再根据，即可求得答案.
【详解】在中，，，
根据余弦定理：，
可得 ，即由故.故选：A.
2.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，c＝3．且该三角形有两解，则a的值可以为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【分析】根据正弦定理可求出，再依据该三角形有两解可知，，即得角A的取值范围，依据正弦函数的图象即可求出的取值范围，从而得解．
【详解】由正弦定理得，且，所以，即．
因为该三角形有两个解，当时只有一解，所以．
故选：B.
3.在中，角的对边分别为，若，则的形状为（ ）
A．直角三角形 B．等腰非等边三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形
【答案】A
【分析】由余弦定理得到，，从而，代入中，得到，由勾股定理逆定理得到为直角三角形.
【详解】由题意得：，即，故，
因为，所以，故，即
因为，所以，即，故，故，故，
所以为直角三角形.故选：A
4.已知的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且．若，则的外接圆半径为 ．
【答案】
【分析】运用余弦定理和正弦定理进行求解即可.
【详解】根据余弦定理由，
而，因此有，因为，所以，
由正弦定理可知的外接圆半径为，故答案为：
5.我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是，其中a，b，c是三角形的三边，S是三角形的面积．设某三角形的三边，则该三角形的面积 ．
【答案】.
【分析】根据题中所给的公式代值解出．
【详解】因为，所以．
故答案为：.
6.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．
(1)求的值；
(2)若，求的面积．
【答案】(1)；(2)．
【分析】（1）先由平方关系求出，再根据正弦定理即可解出；
（2）根据余弦定理的推论以及可解出，即可由三角形面积公式求出面积．
【详解】（1）由于， ，则．因为，
由正弦定理知，则．
（2）因为，由余弦定理，得，
即，解得，而，，
所以的面积．
7.在中，角的对边分别为，已知，且.
(1)求的外接圆半径；
(2)求内切圆半径的取值范围.
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）由正弦定理及余弦定理求得，由求；
（2）由正弦定理求的范围，再用求得后即可求的取值范围.
【详解】（1）由正弦定理，，可得
再由余弦定理，，又，所以.因为，所以.
（2）由（1）可知：，则.
则.
在中，由正弦定理，，所以，
则
，
又，所以，所以，
，所以.