（寒假）新高考数学一轮复习考点精讲+巩固训练+随堂检测10 导数与函数的极值、最值（2份，原卷版+教师版）

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若函数f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，，而且在点x＝a附近的左侧，右侧，则点a叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值．
(2)函数的极大值与极大值点
若函数f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，，而且在点x＝b 附近的左侧，右侧，则点b叫做函数的极大值点，f(b)叫做函数的极大值．
（3）极值与导数的关系
是极值点
是极值点，即：是为极值点的必要非充分条件
函数的最值与导数
(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件
如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．
(2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤
①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；
②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
考点一、求函数的极值或极值点
【例1】已知函数在上满足，当时取得极值.
（1）求的单调区间和极大值；
（2）证明：对任意、，不等式恒成立.
【答案】（1）单调递增区间为、，单调递减区间为，极大值为；（2）证明见解析.
【分析】（1）由可求得，由题意得出可解出、的值，可得出函数的解析式，然后利用导数可求得函数的单调区间和极大值；
（2）求得函数在区间上的最大值，最小值，由此可得出，进而可证得结论.
【详解】（1），由，得，可得.
，，
由于函数在处取得极值，则，解得，，
，从而.
当时，，则函数在上是增函数；
在时，，则函数在上是减函数；
当时，，则函数在上是增函数.
所以，函数在处取得极大值，即；
（2）由（1）知，函数在上是减函数，
当时，，.
所以，对任意、，不等式.
【例2】已知函数（为自然对数的底数）
（1）若曲线在点处的切线平行于轴，求的值；
（2）求函数的极值；
（3）当时，若直线与曲线没有公共点，求的最大值.
【答案】（1）（2）当时，函数无极小值；当，在处取得极小值，无极大值（3）的最大值为
【分析】（1）求出，由导数的几何意义，解方程即可；（2）解方程，注意分类讨论，以确定的符号，从而确定的单调性，得极大值或极小值（极值点多时，最好列表表示）；（3）题意就是方程无实数解，即关于的方程在上没有实数解．一般是分类讨论，时，无实数解，时，方程变为，因此可通过求函数的值域来求得的范围．
【详解】（1）由,得．又曲线在点处的切线平行于轴,
得,即,解得．
（2）,①当时,,为上的增函数,所以函数无极值．
②当时,令,得,．,;,．
所以在上单调递减,在上单调递增,
故在处取得极小值,且极小值为,无极大值．
综上,当时,函数无极小值
当,在处取得极小值,无极大值．
（3）当时,，令,
则直线:与曲线没有公共点,等价于方程在上没有实数解．
假设,此时,,又函数的图象连续不断,由零点存在定理,可知在上至少有一解,与“方程在上没有实数解”矛盾,故．
又时,,知方程在上没有实数解．所以的最大值为．
解法二:
（1）（2）同解法一．
（3）当时,．直线:与曲线没有公共点,
等价于关于的方程在上没有实数解,即关于的方程:（*）
在上没有实数解．
①当时,方程（*）可化为,在上没有实数解．
②当时,方程（*）化为．令,则有．令,得,
当变化时,的变化情况如下表:
当时,,同时当趋于时,趋于,从而的取值范围为．
所以当时,方程（*）无实数解, 解得的取值范围是．
综上,得的最大值为．
【变式2】已知函数
（Ⅰ）求函数的单调区间和极值；
（Ⅱ）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，证明当时，
（Ⅲ）如果，且，证明
【答案】（Ⅰ）f(x)在()内是增函数，在()内是减函数．函数f(x)在x=1处取得极大值f(1)且f(1)= （Ⅱ）见解析（Ⅲ）见解析
【详解】（Ⅰ）解：f’，令f’(x)=0,解得x=1，当x变化时，f’(x)，f(x)的变化情况如下表
所以f(x)在()内是增函数，在()内是减函数．函数f(x)在x=1处取得极大值f(1)且f(1)=
（Ⅱ）证明：由题意可知g(x)=f(2-x),得g(x)=(2-x) 令F(x)=f(x)-g(x),即
于是
当x>1时，2x-2>0,从而’(x)>0,从而函数F（x）在[1,+∞)是增函数．
又F(1)=0，所以x>1时，有F(x)>F(1)=0,即f(x)>g(x).
（Ⅲ）证明：（1）若
（2）若
根据（1）（2）得
由（Ⅱ）可知，>,则=，所以>,从而>.因为，所以，又由（Ⅰ）可知函数f(x)在区间（-∞，1）内事增函数，所以>,即>2.
考点二、根据函数极值或极值点求参数值或范围
【例2】（多选）若函数既有极大值也有极小值，则（ ）．
A．B．C．D．
【答案】BCD
【分析】求出函数的导数，由已知可得在上有两个变号零点，转化为一元二次方程有两个不等的正根判断作答.
【详解】函数的定义域为，求导得，
因为函数既有极大值也有极小值，则函数在上有两个变号零点，而，因此方程有两个不等的正根，于是，即有，，，显然，即，A错误，BCD正确.故选：BCD
【变式3】已知函数，若函数在处取得极小值，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】考查 的单调性，令，即 或，单调递增，设方程 的根为，通过对分类讨论，研究函数 的单调性即可得出．
【详解】，
考查 的单调性，令，即，
或，即 或，
单调递增，设方程 的根为
①若，则不等式组 的解集为和，，
此时 在和，上单调递增，在 上单调递减，与在处取极小值矛盾；
②若，则不等式组 的解集为和，此时在上单调递增，与在处取极小值矛盾；③若，则不等式组 的解集为 和，
此时在 和上单调递增，在，上单调递减，满足在处取极小值，
由单调性，．综上所述：．则的取值范围为．
故答案为：．
【变式4】已知函数有两个极值点，，且，则实数m的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据极值点的定义，结合函数零点的定义，通过构造函数，利用数形结合思想进行求解即可.
【详解】由有两个不同实根，且，
设，当时，，当时，，
在单调递减，在单调递增，所以，
显然当时，，当时，，图象如下：
所以有，则有，当时，即.，
时，，故答案为：
考点三、利用导数求函数最值
【例3】函数在区间的最小值、最大值分别为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用导数求得的单调区间，从而判断出在区间上的最小值和最大值.
【详解】，所以在区间和上，即单调递增；在区间上，即单调递减，又，，，所以在区间上的最小值为，最大值为.故选：D
【变式5】已知函数，其中a为实数.
(1)若，求函数在区间上的最小值；
(2)若函数在上存在两个极值点，，且.求证：.
【答案】(1)0；(2)证明见解析
【分析】利用导函数的判断函数的单调性即可求最小值.
先根据，为函数在上存在两个极值点，可得，为的两根，可得，带入后即证，再根据，和的关系，消元后只需要证明即，结合，即证.
【详解】（1）当时，，，，
令，，则，所以在上单调递增，故，
所以，在上单调递增，所以当时，的最小值为．
（2）依题意，在上存在两个极值点，，且．
所以在R上有两个不等的实根，，且．令，，
所以当时，，所以在上单调递减，
当时，，在上单调递增，故函数在处取得最小值，
要使得在R上有两个不同的零点，必须满足得，
此时，故．因为，是的两个不等的实根，
所以，即要证：，即证：，
只要证：．下面首先证明：．要证：，即证：，
因，在上单调递增，只要证：，即证：，
令，，则，
所以在上单调递减，，即．
因为，所以．所以，故．
要证：，只要证：，即证：，只要证：，即证：，
事实上，，显然成立，得证．
【变式6】已知函数，，.
(1)讨论函数在区间上的最大值；
(2)确定k的所有可能取值，使得存在，对任意的，恒有.
【答案】(1)答案详见解析；(2)
【分析】（1）构造函数，求得，对进行分类讨论，由此求得所求的最大值.
（2）对进行分类讨论，化简不等式，利用构造函数法，结合导数来求得的值.
【详解】（1），，则，
当时，对任意恒成立，又，所以恒成立，
所以在上递减，所以的最大值为.
当时，在区间，递增；在区间递减.
所以的最大值是.
（2）由（1）知，当时，时，；
当时，对任意，，要使成立，显然.
当时，，令，
则，对于方程，，
所以方程有两个不同的实数根，，
由于，所以，故在区间，递增，
此时，即，所以满足题意的不存在.
当时，由（1）知，存在，使得对任意的恒有，
此时，
令，，
对于方程，，
所以方程两个不同的实数根，，
由于，所以，所以在区间递增，
此时即，
即与中较小者为，则当时，恒有，所以满足题意的不存在.
当时，由（1）知当时，，
令，，
所以当时，递减，所以在区间上，
故当时，恒有，此时任意实数满足题意.
综上所述，.
考点四、由函数最值求参数值或范围
【例4】当时，函数取得最大值，则（ ）
A．B．C．D．1
【答案】B
【分析】根据题意可知，即可解得，再根据即可解出．
【详解】因为函数定义域为，所以依题可知，，，而，所以，即，所以，因此函数在上递增，在上递减，时取最大值，满足题意，即有．故选：B.
【变式7】已知与有相同的最小值.
(1)求实数的值；
(2)已知，函数有两个零点，求证：.
【答案】(1)1；(2)证明见解析
【分析】（1）利用导数求得和的最小值，由它们相等可得参数的值；
（2）由有零点得，不妨令，利用导数得出，令，证明，从而证得，令，证明，从而证明，再由不等式得证结论成立．
【详解】（1），则，
若单调递减，若单调递增．.
，若，则无最小值，.
若单调递减，若单调递增，
，，，，
令，则，在上单调递增.
又，；
（2），，，则，
时，，时，，
在上单调递减，上单调递增，不妨令，则，
①令，单调递增，，
∴，，，，
②令，单调递增，，
，，由上知，，
，，．
【基础过关】
一、多选题
1．设函数的定义域为是的极大值点，以下结论一定正确的是（ ）
A．B．是的极大值点
C．是的极小值点D．是的极大值点
【答案】BC
【分析】根据极值的定义结合函数的对称性进行判断即可.
【详解】是的极大值点．则存在区间，，对任意有，不一定是最大值，A错误；的图象与的图象关于轴对称，因此，对任意有，是的极大值点，B正确；的图象与的图象关于轴对称，因此对任意有，C正确；由BC的推理可知是的极小值点，D错误．故选：BC．
2.已知实数成等比数列，且函数，当时取到极大值，则等于 .
【答案】
【分析】通过导函数，求出极值，再利用等比数列的性质，即可求解.
【详解】令，则函数的定义域为，
导函数，当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，所以当时，函数取极大值，极大值为，所以，故，又成等比数列，所以，
故答案为：.
3.设函数．
（1）当时，求函数的最大值；
（2）当，，方程有唯一实数解，求正数的值．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）先写解析式，利用导数判断函数函数单调性并求最值即可；
（2）先写解析式代入方程，把方程有解问题转化成构造函数的零点问题，研究其导数、最值情况，构建关系求解参数即可.
【详解】解：（1）依题意，知的定义域为，
当时，，
令，解得．（∵），
当时，，此时单调递增；当时，，此时单调递减．
所以的极大值为，此即为最大值；
（2）由，，得
因为方程有唯一实数解，所以有唯一实数解，
设，则，令，即．
因为，，所以（舍去），，
当时，，在上单调递减，
当时，，在单调递增，
当时，，取最小值．因为有唯一解，所以，
则，即．所以，
因为，所以 （*）设函数，
易见当时，是增函数，所以至多有一解．
因为，所以方程（*）的解为，即，解得．
4.已知函数
(1)当时，求函数的极值；
(2)当时，恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)极小值为，无极大值；(2)
【分析】（1）首先求函数的导数，判断导数的单调性，根据导数的零点，判断函数的单调性，即可求解函数的极值；
（2）由不等式参变分离为在恒成立，构造函数后，利用导数求函数的最值，即可求参数的取值范围.
【详解】（1）当时，，
则在上单调递增，因为，所以，，单调递减，
，，单调递增，所以函数的极小值为，无极大值.
（2）令，则即，因为
即在时恒成立，令，
，故单调递增，
所以，故．
5.已知为函数的极值点．
(1)求；
(2)证明：当时，．
【答案】(1)；(2)证明见解析
【分析】（1）求出函数的导函数，依题意，即可求出的值，再检验即可；
（2）设，求出函数的导函数，即可得到，再由零点存在性定理得到存在唯一，使，即可得到的单调性，再结合特殊值，即可证明.
【详解】（1）定义域为，，由，解得，
若时，则，当时，，即在上单调递增；
当时，，即在上单调递减，
所以在处取得极大值，符合题意，因此．
（2）设，则，又，
因为，，所以存在唯一，使，
且当时，，单调递减，当时，，单调递增，
当时，，单调递减．由得，所以，
因此当时，，而，于是当时，．
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1.已知函数有两个极值点，则实数a的取值范围是 .
【答案】
【分析】求函数导函数，由已知可得有两个不相等的正实数根，利用导数研究函数的性质，作出其图象，由此可求a的取值范围.
【详解】函数的定义域为，导函数，
由已知有两个不相等的正实数根，所以有两个不相等正实数根，
令，则，由，得.
当时，，函数在上单调递增；
当时，，函数在上单调递减.
又，，当时，，当时，，
当时，，由以上信息可得，函数的图象大致如下：

所以a的取值范围是.故答案为：.
2.已知函数.
(1)求函数在区间上的最小值；
(2)判断函数的零点个数，并证明.
【答案】(1)；(2)有个零点，证明见解析
【分析】（1）对求导，令，，得出在的单调性，结合零点存在性定理可得在上单调递增，在上单调递减，再比较的大小，即可得出答案.
（2）利用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理，讨论，和时，的正负，即可得出证明.
【详解】（1）的定义域为，故，
令，，当时，，
所以在上单调递减，且，，
所以由零点存在定理可知，在区间存在唯一的，使
又当时，；当时，；
所以在上单调递增，在上单调递减，
又因为，，
所以函数在区间上的最小值为.
（2）有个零点，证明如下：因为，，若，，
所以在区间上单调递增，又，，
结合零点存在定理可知，在区间有且仅有一个零点，
若，则，则，若，因为，所以，
综上，函数在有且仅有一个零点.
3.已知函数.
(1)求函数的极值点个数；
(2)若不等式在上恒成立，求可取的最大整数值.
【答案】(1)极值点个数为1；(2)4
【分析】（1）求出，然后证明只有一个变号零点即可；
（2）条件不等式可转化为，然后求出，分、两种情况得到的单调性，然后可得到成立，然后利用导数可分析出答案.
【详解】（1）已知，可得
令，则，
函数单调递减，且当时，，故函数先增后减，
当时，，
其中，∴，∴
当时，，
∴函数只有一个零点，∴函数的极值点个数为1.
（2）变形，得，整理得，
令，则，∵，∴，
若，则恒成立，即在区间上单调递增，
由，∴，∴，∴，此时可取的最大整数为2，
若，令，则，令，则，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以在区间上有最小值，，
于是问题转化为成立，求的最大值，
令，则，∵当时，，单调递减，
当时，单调递增，∴在处取得最大值，
∵，∴，∵，，
，此时可取的最大整数为4.
综上，可取的最大整数为4.
随堂检测
1.设函数，则（ ）
A．是奇函数 B．当时，有最小值2
C．在区间上单调递减 D．有两个极值点
【答案】BCD
【分析】对A：根据奇偶性定义判断；对B：使用基本不等式求解；对C：根据的单调性及平移判断；对D：用导数结合偶函数判断.
【详解】，对A：定义域为，且，故是偶函数，故A错误；对B：当时，，当时，取得最小值，故B正确；
对C：当时，，，当时，，故在上为减函数，而可以由向右平移1个单位得到，故在区间上单调递减，故C正确；
对D：当时，，当时，，故在上为减函数，当时，，故在上为增函数，故为极小值点，且当时只有一个极小值点，
因为是偶函数，所以有两个极值点，故D正确.故选：BCD
2.已知函数存在两个极值点，，则以下结论正确的为（ ）
A．B．
C．若，则D．
【答案】BD
【分析】由题可得方程有两个不相等的实数根，，构造函数，利用导数研究函数的性质画出函数的大致图象，然后结合条件逐项分析即得.
【详解】由题可得，则即，显然，
若方程有两个不相等的实数根，，即方程有两个不相等的实数根，，
即的图象与直线有两个交点，且横坐标分别为，，
又，所以由可得，由可得，
所以在，上单调递减，在上单调递增，且当时，，当时，，
对A，要使函数存在两个极值点，，则，A错误；
对B，当时，的图象如图，易知，B正确；
对C，若，则，得，故，C错误；
对D，因为，所以，又，所以，，所以，故，所以，D正确．故选：BD．
3.若函数在区间上存在最小值，则整数的取值可以是 ．
【答案】（答案不唯一，、均可）
【分析】利用导数分析函数的单调性与极值，作出图形，求出使得的的值，根据函数在区间上有最小值可得出关于实数的不等式组，解之即可.
【详解】因为，则.
由可得，由可得或，
所以，函数的减区间为，增区间为、，
所以，函数的极大值为，极小值为，令，其中，则，解得，因为函数在区间上存在最小值，则，解得，所以，整数的取值集合为.故答案为：（答案不唯一，、均可）.
4.已知函数在处取得极值-14.
(1)求a，b的值；
(2)求曲线在点处的切线方程；
(3)求函数在上的最值.
【答案】(1)；(2)
(3)函数在上的最小值为，最大值为.
【分析】(1)求导，利用在处的导数值为0，并且，解之检验即可求解；
(2)结合（1）的结果，求出函数在处的导数值，利用导数的几何意义，代入即可求解；
(3) 结合（1）的结果，列出在时，随的变化，的变化情况，进而即可求解.
【详解】（1）因为函数，所以，又函数在处取得极值.
则有，即，解得：，
经检验，时，符合题意，故.
（2）由（1）知：函数，则，所以，
又因为，所以曲线在点处的切线方程为，
也即.
（3）由（1）知：函数，则，令，解得：，
在时，随的变化，的变化情况如下表所示：
由表可知：当时，函数有极小值；
当时，函数有极大值；
因为，，
故函数在上的最小值为，最大值为.
5.已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求在区间上的最大值；
(3)设实数使得对恒成立，写出的最大整数值，并说明理由.
【答案】(1)；(2)；(3)，理由见解析
【分析】（1）求出函数在处的导数，即切线斜率，求出，即可得出切线方程；
（2）求出函数在区间上的单调性，求出最值即可；
（3）将不等式等价转化为在上恒成立.构造函数，利用导数求出函数的单调性和最小值，进而得证.
【详解】（1）因为，所以，则，又，
所以曲线在点处的切线方程为.
（2）令，
则，当时，，在上单调递增.
因为，，所以，使得.
所以当时，，单调递减；当时，，单调递增，
又，，所以.
（3）满足条件的的最大整数值为.理由如下：
不等式恒成立等价于恒成立.令，
当时，，所以恒成立.当时，令，，，
与的情况如下：
所以，当趋近正无穷大时，，且无限趋近于0，
所以的值域为，因为，所以的最小值小于且大于.
所以的最大整数值为.
6.已知函数．
(1)当时，求的最大值；
(2)若恰有一个零点，求a的取值范围．
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）由导数确定函数的单调性，即可得解；
（2）求导得，按照、及结合导数讨论函数的单调性，求得函数的极值，即可得解.
【详解】（1）当时，，则，
当时，，单调递增；当时，，单调递减；
所以；
（2），则，
当时，，所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
所以，此时函数无零点，不合题意；
当时，，在上，，单调递增；
在上，，单调递减；
又，由（1）得，即，所以，
当时，，
则存在，使得，所以仅在有唯一零点，符合题意；
当时，，所以单调递增，又，所以有唯一零点，符合题意；
当时，，在上，，单调递增；
在上，，单调递减；此时，
由（1）得当时，，，所以，
此时存在，使得，
所以在有一个零点，在无零点，所以有唯一零点，符合题意；
综上，a的取值范围为.
7.已知函数 ．
(1)当时，求函数的单调递增区间
(2)若函数在的最小值为，求的最大值．
【答案】(1)单调递增区间为；(2) ．
【分析】（1）求导并判断导数符号，进一步可得单调区间；
（2）求导，对进行分类讨论，根据函数在的最小值为，求得的取值范围，从而得到的最大值．
【详解】（1）当时，，则，
令，在R上单调递增，
当时，，当时，，即在上递减，在上递增，
故， 所以恒成立，仅当时取等号，
即的单调递增区间为
（2）
当时，时，，时，，则在取得最小值，符合题意；
当时，时，，时，， 时，，
因为最小值为，所以得，即；
当时，由（1）可知单调递增，则当时无最小值，不合题意；
当时，时，，时，， 时，，
则有，不合题意；
综上可得，的最大值 ．
减
增
X
()
1
()
f’(x)
+
0
-
f(x)
极大值
单调递减
单调递增
单调递减
1