高考数学一轮复习：6数列-跟踪训练4（题型归纳与重难专题突破提升）

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1．已知数列满足，且，则的前2022项之积为
A．B．C．D．
【解答】解：，且，
，，，，，
，．
则的前2022项之积．
故选：．
2．九连环是我国从古至今广为流传的一种益智游戏，它由九个铁丝圆环相连成串，在某种玩法中，用表示解下个圆环所需要移动的最少次数，数列满足，且则
A．1B．4C．7D．16
【解答】解：数列满足，且，
，，．
故选：．
3．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，，从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，即，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”．记，则
A．B．C．D．
【解答】解：因为，
所以，
又因为，所以．
故选：．
4．数列满足若，则等于
A．B．C．D．
【解答】解：因为数列满足，，
所以，，，，
所以数列具有周期性，周期为4，
所以．
故选：．
5．已知数列满足，那么
A．是等差数列B．是等差数列
C．是等差数列D．是等差数列
【解答】解：，
，
，，
，
数列是等差数列，
故选：．
6．在数列中，，，则
A．B．C．D．
【解答】解：，
．
故选：．
7．若数列各项均为正数，且，则下列结论错误的是
A．对任意，都有
B．数列可以是常数列
C．若，则数列为递减数列
D．若，则当时，
【解答】解：由得，
△，依题意，所以△，
由于，所以可由，
解得，负根舍去，
选项，由于，所以，故选项正确；
①，
选项，若，解得，
此时是常数列，故选项正确；
令，令，
则，
所以当时，；当时，，
所以当时，是单调递减数列，
即，故选项错误；
同时，，
则当时，，故选项正确．
故选：．
8．卢卡斯数列满足，．且的前6项和．则
A．29B．47C．76D．123
【解答】解：设，
则，，，，，
则，
即，
则，，，．
故选：．
9．已知为递增数列，前项和，则实数的取值范围是
A．，B．C．，D．
【解答】解：为递增数列，前项和，
当时，，
当时，，
由为递增数列，只需满足，即，解得，
则实数的取值范围是，
故选：．
10．若数列满足，，则的值为
A．2B．C．D．
【解答】解：由题意得，，，，
所以数列是以4为周期的数列，
故．
故选：．
11．在数列中，，，且，若数列单调递增，则实数的取值范围为
A．B．C．，D．
【解答】解：因为，所以，，
所以，又，，
所以数列的偶数项按项数从小到大排列可得一公差为3的等差数列，
所以当为偶数时，，
当为大于等于3的奇数时，，
因为数列单调递增，所以，
所以当为大于等于3的奇数时，，化简可得，
当为大于等于4偶数时，，解得，
由可得，，
所以．
故选：．
12．设数列中，，且，则
A．B．C．2D．
【解答】解：因为数列中，，且，
所以，，，，，，
所以数列是周期为3数列，所以．
故选：．
13．设数列的前项和为，若，，则
A．27B．64C．81D．128
【解答】解：，，
则，，
，
．
故选：．
14．已知数列的前项和为，且满足，则
A．16B．18C．20D．25
【解答】解：依题意，．
故选：．
15．已知数列的前项和为，且满足，若，则
A．2B．4C．20D．40
【解答】解：的前项和为，且满足，且，
令，可得，即，可得，
则，
故选：．
二．多选题（共5小题）
16．已知数列前项和为，，，，则下列正确的是
A．数列为等比数列
B．
C．
D．数列的前项和为
【解答】解：由可得，，则，
又，，所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，故正确；
因为，当时，
，
当时，也满足上式，
所以，故错误；
因为，即数列是以1为首项，2为公比的等比数列，
则其前项和，故正确；
因为，
则其前项和
，故正确．
故选：．
17．数列满足，，，则
A．当时，
B．当时，
C．当时，记数列的前项和为，则
D．当方程有唯一解时，存在正实数，使得恒成立
【解答】解：对于，因为，则，
则，即数列从第2项起，每一项是它的前一项的3倍，
因为，所以，所以，故正确；
对于，当时，，则，
所以数列是以为首项，2为公比的等比数列，所以，故正确；
对于，因为，由易知对任意的，，
所以，
因为，所以，
由可得，所以，
所以，
所以，
故有，故正确；
对于，取，若，即．
令，，
当时，，单调递减；当时，，单调递增．
故，故有唯一解，即有唯一解．
，，
由指数函数比变化的速度快，得越来越大，且无最大值，
故不成立，故错误．
故选：．
18．斐波那契数列又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”．斐波那契数列用递推的方式可如下定义：用表示斐波那契数列的第项，则数列满足：，，记，则下列结论正确的是
A．数列是递增数列
B．
C．
D．
【解答】解：对于选项，由知，的前10项依次为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，
其中，第一二项相等，不满足递增性，故选项错误；
对于选项，根据递推公式，得，故选项正确；
对于选项，，，，
，，
，即，故选项正确；
对于选项，由递推式，得，，，，
累加得，
，
，
即，故选项正确．
故选：．
19．已知是数列的前项和，，则下列递推关系中能使存在最大值的有
A．B．C．D．
【解答】解：对于，由，，可得，，
当为正奇数且趋近于无穷大时，也趋近于正无穷大，故不存在最大值，故不正确；
对于，由，得，又，，
当时，，当时，，当时，，
当或时，取得最大值，故正确；
对于，由，，得，，，
，又，递减，当时，取最大值，故正确；
对于，由，，得，，，，
数列的周期为3，故不存在最大值，故不正确．
故选：．
20．已知数列的前项和为，若，，则下列说法正确的是
A．是递增数列
B．数列中的最小项为
C．数列是等差数列
D．，，成等差数列
【解答】解：，是公差为2的等差数列，，所以是递增数列，故正确；
，，时，最小，故错误；
，，是等差数列，故正确；
，，，故错误．
故选：．
三．填空题（共5小题）
21．已知数列的各项均为非零实数，其前项和为，，且对于任意的正整数均有．
（1）若，则 2 ；
（2）若，则满足条件的无穷数列的一个通项公式可以是 ．
【解答】解：（1）由已知，当时，有，
又，，代入上式，解得；
（2）由已知，，得，
当时，，
即，所以或，
又，，所以（答案不唯一）．
22．数列的前项和为，且，，则满足的最小的自然数的值为 10 ．
【解答】解：由可得：，又，
所以数列是以4为首项，2为公比的等比数列，
因此，
所以，
设，
则，
所以数列是单调递增数列，
因此有，即，
所以数列是单调递增数列，
而，
，
因此满足的最小的自然数的值为10．
故答案为：10．
23．已知数列的前项和为，满足对任意的，均有，则 ．
【解答】解：由，可得，即，
当时，，
所以，
所以，
，
故答案为：．
24．已知首项为1的数列满足，则 ．
【解答】解：由，得，
因为，所以，进而，
所以数列是首项为，公比为5的等比数列，
所以，即．
故答案为：．
25．已知数列满足，且，则 ， ．
【解答】解：数列满足，且，
可得数列是首项为1，公比为2的等比数列，
则，．
故答案为：，．
四．解答题（共3小题）
26．设为正项数列的前项和，满足．
（1）求的通项公式：
（2）若不等式对任意正整数都成立，求实数的取值范围．
【解答】解：（1）由，得，
两式相减得，即，
即，
因为数列是正项数列，所以，
所以，
又，解得（负值舍），
所以；
（2）由（1）知不等式对任意正整数都成立，
即不等式对任意正整数都成立，
当时，，解得，且，
下面证明当，且时，不等式对任意正整数都成立，
当时，，则，
只需证对任意正整数都成立即可，因为，
，
所以不等式对任意正整数都成立，实数的取值范围为，且．
27．已知数列的前项和为，，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，的前项和为，若对任意的正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【解答】解：（1），
，
又，
数列是以为首项，公差为1的等差数列，
，即，
当时，
，
又不满足上式，则；
（2）由（1）得，
，
①，
②，
由①②得，
整理得，
又因为对任意的正整数，恒成立，则，
，
在上单调递增，，
由得，
故实数的取值范围是．
28．已知数列，的前项和分别为，，且，，当时，满足．
（1）求；
（2）求．
【解答】解：（1）当时，；
当时，
，
也满足上式，
．
（2），
由（1）得：，
，
当时，
，
也满足上式，
．
，①
． ②
由①②得：
，
．