高考数学一轮复习：6数列-跟踪训练5（题型归纳与重难专题突破提升）

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1．已知数列满足：，，则数列的前100项的和为
A．50B．98C．100D．102
【解答】解：由，，
令、2、3、4，，
可得，，
两式相加可得，，，
两式相加，，，
进行推论归纳可得，，
所以，对任意的，，
所以，数列的前100项的和为．
故选：．
2．已知数列中，，则数列的前项和为
A．B．C．D．
【解答】解：，
，且，
数列是首项为4，公比为9的等比数列，
故的前项和为．
故选：．
3．已知数列满足，记为不小于的最小整数，，则数列的前2023项和为
A．2020B．2021C．2022D．2023
【解答】解：由题意得，
则当时，，
当时也满足上式，
所以，
所以，
即时，，
故的前2023项和为．
故选：．
4．已知数列的前项和为，，则
A．1012B．C．2023D．
【解答】解：，
，，，，
，，
以此类推，，，，
．
故选：．
5．数列满足，且，则数列的前2024项的和
A．B．C．D．
【解答】解：由题意，可知，
，
，
，
，
数列是以4为最小正周期的周期数列，
，
．
故选：．
6．已知数列满足，，其前项和为，则
A．B．C．3D．
【解答】解：由题意，可得，
，
，
，
，
，
数列是以4为最小正周期的周期数列，
，
．
故选：．
7．高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称．小学进行的求和运算时，他这样算的：，，，，共有50组，所以，这就是著名的高斯算法，课本上推导等差数列前项和的方法正是借助了高斯算法．已知正数数列是公比不等于1的等比数列，且，试根据以上提示探求：若，则
A．2023B．4046C．2022D．4044
【解答】解：根据等比数列的下标性质由，
函数，
，
令，
则，
，．
故选：．
8．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号．设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数．已知数列满足，且，若，数列的前项和为，则
A．4956B．4959C．4962D．4965
【解答】解：，
，，，，
，又，
，
，
，
．
故选：．
9．课本选择性必修第二册第一章介绍了斐波那契数列，若数列满足，，则称数列为斐波那契数列，若把斐波那契数列中的奇数用1替换，偶数用换得到数列，在数列的前10项中任取3项，则这3项之和为1的不同取法有
A．60种B．63种C．35种D．100种
【解答】解：由题意得数列中各项依次为奇数、奇数、偶数、奇数、奇数、偶数、，
数列的前10项中，有7项为1，3项为，
若所取3项之和为1，则取2个值为1的项，1个值为的项，
故不同的取法种数为．
故选：．
10．已知正项数列中，，则数列的前120项和为
A．4950B．10C．9D．
【解答】解：由，可得数列是首项为1公差为1的等差数列，
则，又，则，
则，
则数列的前120项和为．
故选：．
11．欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数，且与互质的正整数的个数，例如：（1），（3）．数列满足，其前项和为，则
A．1024B．2048C．1023D．2047
【解答】解：由题意得，
则，即表示从1到的正整数中，与互质的正整数的个数，相当于去掉从1到的正整数中所有2的倍数的个数（共个数），
．
．
故选：．
12．已知数列满足为的前项和．现有四个结论：①当取最大值时，；②当取最小值时，；③当取最大值时，；④的最大值为．其中正确的个数为
A．1B．2C．3D．4
【解答】解：由题意知，则，因为，
所以，
令，所以，所以，所以，
即或，又，故．
当取最大值时，，此时，则，，
故，故①正确；
当取最小值时，，此时，则，，
故，故②不正确；
由，知，
即，当且仅当时取等号，
故当取最大值时，，
此时，故③不正确，④不正确，故有1个正确．
故选：．
13．已知数列的前项和为，且满足，则
A．130B．169C．200D．230
【解答】解：依题意，由，
可得
．
故选：．
14．数列满足，且前项和为，数列满足，则为
A．18B．28C．32D．36
【解答】解：由，可得数列是首项为3，公差为2的等差数列，
则前项和为，
则，
可得时，数列递减，时，数列递增．
则
，
故选：．
15．如图所示的数阵称为杨辉三角．斜线上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：1，2，3，3，6，4，10，，记这个数列的前项和为，则等于
A．128B．144C．155D．164
【解答】解：根据题意，解：由题意可得锯齿形的数列：1，2，3，3，6，4，10，，
即组合数、、、、、、、、
故
．
故选：．
二．多选题（共5小题）
16．已知为数列前项和，则下列结论成立的有
A．若数列为等比数列，且，则数列为等差数列
B．若数列为等差数列，若，则
C．若数列为等差数列，其前10项中，偶数项的和与奇数项的和之比为，且，则公差为2
D．若数列的通项公式为，则该数列的前100项和
【解答】解：选项：依题意，设等比数列得公比为，，
所以数列为等差数列，选项正确；
选项：数列为等差数列，则，，
又，即，化简可得，
则，，所以，选项错误；
选项：等差数列的前10项中，偶数项的和为，奇数项的和为，
又偶数项的和与奇数项的和之比为，且，则，解得，，
所以，选项正确；
选项：，
则，，选项正确；
故选：．
17．在1261年，我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中提出了如图所示的三角形数表，这就是著名的“杨辉三角”，它是二项式系数在三角形中的一种几何排列．从第1行开始，第行从左至右的数字之和记为，如：，，，的前项和记为，依次去掉每一行中所有的1构成的新数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，，记为，的前项和记为，则下列说法正确的是
A．
B．的前项和为
C．
D．
【解答】解：从第一行开始，每一行的数依次对应的二项式系数，
为一个等比数列，，
所以，故错误；
，的前项和为，故正确；
去掉每一行中的1以后，每一行剩下的项数分别为0，1，2，，构成一个等差数列，
项数之和为的最大整数为10，
杨辉三角中取满了第11行，第12行首位为1，
在中去掉，取的就是第12行中的第三项，，故正确；
，这11行中共去掉了22个1，
故正确，
故选：．
18．下列说法中正确的有
A．若数列为等差数列，数列的前项和为，则，，成等差数列
B．若数列为等比数列，且，则为递增数列
C．若数列的前项和，那么这个数列的通项公式为
D．数列，，，，的前项和为
【解答】解：对于，等差数列的前项和为，设其公差为，
则，
，
即，，成等差数列，正确；
对于，等比数列的公比为，
由，得，
解得或，
当时，，
即，则为递增数列，
当，，
有，则为递增数列，
所以为递增数列，正确；
对于，因为，不满足，错误；
对于，当时，数列，，，，的前项和为，
而无意义，错误．
故选：．
19．已知等差数列的前项和为，若，，则
A．
B．若，则的最小值为
C．取最小值时
D．设，则
【解答】解：设数列的首项为，公差为，
因为，，所以，解得，，
选项，，即正确；
选项，若，则，且，，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，此时，，所以等号取不到，即错误；
选项，令，则，
所以数列的前5项均为负数，从第6项开始为正数，
所以取最小值时，，即正确；
选项，，
所以，
所以，
两式相减得，，
所以，即错误．
故选：．
20．杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，著有《详解九章算法》、《日用算法》和《杨辉算法》．杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的，杨辉三角本身包含了很多有趣的性质．从第1行开始，第项从左至右的数字之和记为数列，如：，，，的前项和记为．图中实线上的数1、3、6、10、记为数列，下列说法正确的有
A．
B．
C．第2023行中第1011个数和第1012个数相等
D．的前10项和为
【解答】解：由题意可知，所以，故正确；
，故正确；
第2023行中第1011个数为，第1012个数为，，故错误；
由题意可知，所以，故前10项和为，故正确．
故选：．
三．填空题（共5小题）
21．幻方又称为魔方，方阵或厅平方，最早记载于中国公元前500年的春秋时期492《大戴礼》中，宋代数学家杨辉称之为纵横图．如图3所示，将1，2，3，，9填入的方格内，使三行、三列、两对角线的三个数之和都等于15，便得到一个3阶幻方；一般地，将连续的正整数1，2，3，，填入的方格内，使得每行、每列、每条对角线上的数字的和相等，这个正方形就叫做阶幻方．记阶幻方的一条对角线上的数字之和为（如，则 505 ．
【解答】解：根据题意，时，需要将100个正整数1，2，3，，100，填入的方格内，
全部数字的和为，
而幻方中，每一行的数字的和相等，则每一行数字之和为，
又由幻方中，每行、每列、每条对角线上的数字的和相等，故．
故答案为：505．
22．若数列的通项公式是，则 3036 ．
【解答】解：因为，所以，，，，
所以．
故答案为：3036．
23．数列的前项和为，且，则 ．
【解答】解：，
．
故答案为：．
24．数列满足，，为的前项和，若，则的范围为 ．
【解答】解：，
令，，则，
，，
，
数列的前项和，
又，，
，
，
，
又，
的范围为．
故答案为：．
25．已知等差数列中，，，记数列的前项和为，若，对任意的恒成立，则整数的最小值是 4 ．
【解答】解：由题意等差数列的公差，
故，所以，
由于
，
单调递减，，
所以，从而．
故答案为：4．
四．解答题（共3小题）
26．已知数列的首项，其前项和为，且，
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
【解答】解：（1）因为，
所以当时，，
两式相减，得，即，
所以，
又当时，，
所以，即，解得，
所以，满足上式，
故，，
所以数列是以为首项，3为公比的等比数列，
所以，即．
（2）由（1）知，
所以，
设，数列的前项和为，
则①，
②，
①②有，
所以，
所以．
27．设公比为正数的等比数列的前项和为，满足，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设为数列在区间，中的项的个数，求数列前100项的和．
【解答】解：（1）已知公比为正数的等比数列的前项和为，
设等比数列的公比为，
由，
得，
即，
得，
又，
解得或（舍去），
得，
又，
所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，
故数列的通项公式为；
（2）由为数列在区间，中的项的个数，
可知，，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
．
数列前100项的和为480．
28．已知等差数列的前项和为，，且，，成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
【解答】解：（1）不妨设等差数列的首项、公差分别为，，
由题意有，
所以有，即，
所以，
又因为，，成等比数列，
所以，整理得，
解得，所以，
由等差数列定义可知；
（2）由（1）可知，所以，
由题意当时，有，
所以，
以上两式相减得
，
所以，
且当时，有，
综上所述：．