2020-2021学年8.3 简单几何体的表面积与体积学案及答案

8.3.2   圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积

1.通过对圆柱、圆锥、圆台的研究，掌握圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积的求法；

2．会求与圆柱、圆锥、圆台、球有关的组合体的表面积与体积；

3.会用球的体积与表面积公式解决实际问题；

4．会解决球的切、接问题．

1.教学重点：圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积；

2.教学难点：与圆柱、圆锥、圆台、球有关的组合体的表面积与体积会解决球的切、接问题。

1．圆柱、圆锥、圆台的表面积

2.圆柱、圆锥、圆台的体积公式

V圆柱＝    (r是底面半径，h是高)，

V圆锥＝            (r是底面半径，h是高)，

V圆台＝             (r′、r分别是上、下底面半径，h是高)．

3．球的表面积

设球的半径为R，则球的表面积S＝       ，即球的表面积等于它的大圆面积的

  倍．

4．球的体积

设球的半径为R，则球的体积V＝         3.

一、探索新知

思考1：圆柱的展开图是什么？怎么求它的表面积？

思考2：圆锥的展开图是什么？怎么求它的表面积？

 思考3：参照圆柱和圆锥的侧面展开图，试想象圆台的侧面展开图是什么 ，它的表面积是什么？

思考4：圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系？你能用圆柱、圆锥、圆台的结构特征来解释这种关系吗？

思考5：根据圆台的特征，如何求圆台的体积？

思考6：圆柱、圆锥、圆台的体积公式之间有什么关系？结合棱柱、棱锥、棱台的体积公式，你能将它们统一成柱体、锥体、台体的体积公式吗？柱体、椎体、台体的体积公式之间又有什么关系？

1.球的表面积公式：（R为球的半径）

例1.如图，某种浮标由两个半球和一个圆柱黏合而成，半球的直径是0.3m，圆柱高0.6m，如果在浮标表面涂一层防水漆，每平方米需要0.5kg涂料，那么给1000个这样的浮标涂防水漆需要多少涂料？

思考7：在小学，我们学习了圆的面积公式，你记得是如何求得的吗？类比这种方法，你能由球的表面积公式推导出球的体积吗？

例2.如图，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，求球与圆柱的体积之比。

1．若圆锥的高等于底面直径，则它的底面积与侧面积之比为(　　)

A．1∶2　　　　　　　　 B．1∶

C．1∶   D.∶2

2．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为(　　)

A．7　　　　B．6　　　　C．5　　　　D．3

3．已知圆台上、下底面半径分别为1,2，高为3，则圆台体积为        ．

4．一个高为2的圆柱，底面周长为2π，该圆柱的表面积为        ．

5．一个正方体的八个顶点都在体积为π的球面上，则正方体的表面积为        ．

6．已知圆锥的底面半径为2，高为5，求这个圆锥的体积．

7．(1)已知球的直径为2，求它的表面积和体积；

(2)已知球的体积为，求它的表面积．

这节课你的收获是什么？

参考答案：

思考1.圆柱的侧面展开图为矩形

思考2圆锥的侧面展开图是扇形

思考3.圆台的侧面展开图是扇环

思考4.

思考5.由于圆台是由圆锥截成的，因此可以利用两个锥体的体积差．得到圆台的体积公式(过程略)．

     其中S ，分别为上、下底面面积，h为圆台（棱台）的高．

思考6.

例1.解：一个浮标的表面积为

所以给1000个这样的浮标涂防水漆约需涂料

思考7 第一步，分割

球面被分割成n个网格，连接球心O和每个

小网格的顶点。

设“小锥体”的体积为：

则球的体积为：

第二步，求近似和

所以

如果网格分的越细,则:“小锥体”就越接近小棱锥。的值就趋向于球的半径R，

因为，所以球的体积为

例2.解：设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为2R。

达标检测

1.【答案】C　

【解析】设圆锥底面半径为r，则高h＝2r，∴其母线长l＝r.∴S侧＝πrl＝πr2，S底＝πr2.则S底∶S侧＝1∶.

2.【答案】A　

【解析】设圆台较小底面半径为r，则另一底面半径为3r.由S＝π(r＋3r)·3＝84π，解得r＝7.

3.【答案】7π　

【解析】由已知圆台上、下底面积分别为

S上＝π，S下＝4π.

则V圆台＝·(π＋＋4π)·3＝7π.

4.【答案】6π　

【解析】由底面周长为2π可得底面半径为1.S底＝2πr2＝2π，S侧＝2πr·h＝4π，所以S表＝S底＋S侧＝6π.

5.【答案】8　

【解析】设球的半径为R，正方体的棱长为a，

则πR3＝π，故R＝1，由a＝2R＝2，所以a＝，所以正方体的表面积为S＝6a2＝6×＝8.

6.【解析】由题意V锥体＝Sh＝πr2·h＝.

7.【解析】　(1)由R＝1，所以S球＝4πR2＝4π，V＝πR3＝π.

(2)由V＝πR3＝π，

所以R＝3，所以S＝4πR2＝36π.