高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换测试题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换测试题，共34页。试卷主要包含了5 三角恒等变换等内容，欢迎下载使用。
知识点一 两角差的余弦公式
知识点二 两角和与差的余弦公式
知识点三 两角和与差的正弦公式
知识点四 两角和与差的正切公式
知识点五 二倍角公式
知识点六 半角公式
sin eq \f(α,2)＝±eq \r(\f(1－cs α,2))，
cs eq \f(α,2)＝±eq \r(\f(1＋cs α,2))，
tan eq \f(α,2)＝±eq \r(\f(1－cs α,1＋cs α))＝eq \f(sin α,1＋cs α)＝eq \f(1－cs α,sin α).
知识点七 辅助角公式
asin x＋bcs x＝eq \r(a2＋b2)sin(x＋θ).eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(其中tan θ＝\f(b,a)))
两角和差公式的简单应用
求下列各式的值：
（1）；
（2）；
（3）．
求下列各式的值．
（1）；
（2）；
（3）．

A．B．C．D．
求值：
A．B．C．D．

A．B．C．D．
计算
A．B．C．D．
若，，则
A．B．C．D．
已知，，，则
A．B．C．D．2
已知，，则等于
A．B．7C．D．
给值求值
已知为钝角，且，则的值为
A．B．C．D．
已知，，且，，则的值等于
A．B．C．D．
若，为锐角，，则等于
A．B．C．D．
已知，，，，，则
A．B．C．D．
已知，，则的值为 ．
给值求角
已知、均为锐角，且，，则 ．
已知，，，均为锐角，则
A．B．C．D．
已知，，且，那么
A．B．C．D．
正切公式的运用
在中，，则等于
A．B．C．D．
计算 ．
二倍角公式的正用、逆用
已知，且，，其中，则
A．1B．2C．3D．4
若，则
A．B．C．D．
若，，则
A．B．C．D．
若，则
A．B．C．D．
已知，则
A．B．C．D．
半角公式的应用
若，是第二象限的角，则
A．B．C．2D．
若为第三象限角，且，则
A．B．C．2D．
已知，且为第四象限角，则
A．B．C．D．
已知，在第二象限内，那么的值等于
A．B．C．D．以上都不对
三角恒等变换的简单运用
求解下列问题：
（1）已知，为第二象限角，求和的值；
（2）已知，，，为锐角，求的值．
如图，在平面直角坐标系中，锐角和钝角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于，两点，且．
（1）求的值；
（2）若点的横坐标为，求的值．
已知，，且，，．求：
（1）；
（2）．
已知、是方程的两根，且，求的值．
已知，，其中．
（1）求的值；
（2）求的值．
三角恒等变换的综合运用
设函数．
（1）若，求．
（2）在锐角中，为锐角，角、、的对边分别为、、，若，，．求．
已知函数．
（1）求的最小正周期和单调递减区间；
（2）若，且，求的值．
一．选择题（共9小题）
1．函数f(x)=sin(x+π6)+cs(x+π6)具有性质（ ）
A．最大值为2，图象关于(−π12，0)对称
B．最大值为2，图象关于(−π12，0)对称
C．最大值为2，图象关于直线x=π12对称
D．最大值为2，图象关于直线x=π12对称
2．已知sinα2=25，则csα＝（ ）
A．−1625B．1625C．−2125D．2125
3．若对所有实数x，均有sinkx•sinkx+cskx•cskx＝csk2x，则k＝（ ）
A．6B．5C．4D．3
4．设0＜α＜π2，a是大于0的常数，函数F（α）=1csα+a1−csα，若F（α）≥16恒成立，则a的取值范围是（ ）
A．[1，+∞）B．[4，+∞）C．（9，+∞）D．[9，+∞）
5．化简cs（45°﹣α）cs（α+15°）﹣sin（45°﹣α）sin（α+15°）的结果是（ ）
A．12B．−12C．32D．−32
6．已知sinα+csα=−62，则sin2α的值为（ ）
A．12B．−12C．32D．−32
7．cs（﹣15°）的值为（ ）
A．2−64B．6−24C．2+64D．−2+64
8．计算1−cs270°•[2sin40°+sin20°(1+3tan20°)]＝（ ）
A．3B．2C．1D．2
9．cs75°cs15°+sin75°sin15°的值等于（ ）
A．14B．12C．22D．32
二．填空题（共3小题）
10．已知α+β=π3，sinαsinβ=3−36，则tanα+tanβ＝ ．
11．如果sinα=23，csβ=−14，α与β为同一象限角，则cs（α﹣β）＝ ．
12．已知cs2αcs(α+π4)=−2，则sin2α＝ ．
三．解答题（共3小题）
13．求证：1+sin4θ−cs4θ2tanθ=1+sin4θ+cs4θ1−tan2θ．
14．求证三角恒等式：tan52x﹣tan32x=2sinxcs4x+csx．
15．已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点P（35，45）．
（1）求cs（α+π）的值；
（2）若tanβ＝﹣2，求tan（α﹣β）的值．
公式
cs(α－β)＝cs αcs β＋sin αsin β
简记符号
C(α－β)
使用条件
α，β为任意角
名称
简记符号
公式
使用条件
两角差的余弦公式
C(α－β)
cs(α－β)＝cs αcs β＋sin αsin β
α，β∈R
两角和的余弦公式
C(α＋β)
cs(α＋β)＝cs αcs β－sin αsin β
α，β∈R
名称
简记符号
公式
使用条件
两角和的正弦公式
S(α＋β)
sin(α＋β)＝sin αcs β＋cs αsin β
α，β∈R
两角差的正弦公式
S(α－β)
sin(α－β)＝sin αcs β－cs αsin β
α，β∈R
名称
公式
简记符号
条件
两角和的正切公式
tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)
T(α＋β)
α，β，α＋β≠kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)
两角差的正切公式
tan(α－β) ＝eq \f(tan α－tan β,1＋tan αtan β)
T(α－β)
α，β，α－β≠kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)
三角函数
公式
简记
正弦
sin 2α＝2sin αcs α
S2α
余弦
cs 2α＝cs2α－sin2α＝2cs2α－1＝1－2sin2α
C2α
正切
tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α)
T2α
专题5.5 三角恒等变换
知识点一 两角差的余弦公式
知识点二 两角和与差的余弦公式
知识点三 两角和与差的正弦公式
知识点四 两角和与差的正切公式
知识点五 二倍角公式
知识点六 半角公式
sin eq \f(α,2)＝±eq \r(\f(1－cs α,2))，
cs eq \f(α,2)＝±eq \r(\f(1＋cs α,2))，
tan eq \f(α,2)＝±eq \r(\f(1－cs α,1＋cs α))＝eq \f(sin α,1＋cs α)＝eq \f(1－cs α,sin α).
知识点七 辅助角公式
asin x＋bcs x＝eq \r(a2＋b2)sin(x＋θ).eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(其中tan θ＝\f(b,a)))
两角和差公式的简单应用
求下列各式的值：
（1）；
（2）；
（3）．
【解答】解：（1）；
（2）；
（3）．
求下列各式的值．
（1）；
（2）；
（3）．
【解答】解：（1），
（2），
（3）．

A．B．C．D．
【解答】解：
．
故选：．
求值：
A．B．C．D．
【解答】解：
．
故选：．

A．B．C．D．
【解答】解：
．
故选：．
计算
A．B．C．D．
【解答】解：
．
故选：．
若，，则
A．B．C．D．
【解答】解：因为，，
可得，
则．
故选：．
已知，，，则
A．B．C．D．2
【解答】解：因为，，
所以，，
所以．
故选：．
已知，，则等于
A．B．7C．D．
【解答】解：由，得：
，故，
所以
．
故选：．
给值求值
已知为钝角，且，则的值为
A．B．C．D．
【解答】解：为钝角，且，，
．
故选：．
已知，，且，，则的值等于
A．B．C．D．
【解答】解：，．
，，，
而，，，
，
．
故选：．
若，为锐角，，则等于
A．B．C．D．
【解答】解：因为，为锐角，，
所以，，
则，
．
故选：．
已知，，，，，则
A．B．C．D．
【解答】解：，，，，
又，，
，，
又，，
则
．
故选：．
已知，，则的值为 ．
【解答】解：，，
，
故答案为：．
给值求角
已知、均为锐角，且，，则 ．
【解答】解：，均为锐角，
，，
．
．
故答案为．
已知，，，均为锐角，则
A．B．C．D．
【解答】解：
，
，
故选：．
已知，，且，那么
A．B．C．D．
【解答】解：由，得到，，
又，，
所以，，
则
，
所以．
故选：．
正切公式的运用
在中，，则等于
A．B．C．D．
【解答】解：由可得
因为，，是三角形内角，所以，所以
故选：．
计算 1 ．
【解答】解：因为，
则
即．
故答案为：1
二倍角公式的正用、逆用
已知，且，，其中，则
A．1B．2C．3D．4
【解答】解：，且，，其中，
即，
即，
即，
，
则，
故选：．
若，则
A．B．C．D．
【解答】解：
．
故选：．
若，，则
A．B．C．D．
【解答】解：．
故选：．
若，则
A．B．C．D．
【解答】解：．
故选：．
已知，则
A．B．C．D．
【解答】解：因为，
所以，解得，
则．
故选：．
半角公式的应用
若，是第二象限的角，则
A．B．C．2D．
【解答】解：，是第二象限的角，
，
，
，
解得或，
是第二象限的角，
，，
，，
当为偶数时，是第一象限角，
当为奇数时，是第三象限角，
，
，
．
故选：．
若为第三象限角，且，则
A．B．C．2D．
【解答】解：因为为第三象限角，且，
所以，
则．
故选：．
已知，且为第四象限角，则
A．B．C．D．
【解答】解：，且为第四象限角，，则，
故选：．
已知，在第二象限内，那么的值等于
A．B．C．D．以上都不对
【解答】解：，
，
在第二象限内，
．．
在第一或第三象限．根据二倍角余弦公式可得，
，
故选：．
三角恒等变换的简单运用
求解下列问题：
（1）已知，为第二象限角，求和的值；
（2）已知，，，为锐角，求的值．
【解答】解：（1）由于，为第二象限角，
所以，
所以．
（2）由于，为锐角，所以，
由于，，
所以，
所以．
如图，在平面直角坐标系中，锐角和钝角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于，两点，且．
（1）求的值；
（2）若点的横坐标为，求的值．
【解答】解：（1）由，知，
所以，，
所以．
（2）因为点的横坐标为，所以，，
所以，，
所以，，
所以．
已知，，且，，．求：
（1）；
（2）．
【解答】解：（1），且，，．，
．
，且，，．．
．
．
（2），，．，，
．
，
，
．
．
已知、是方程的两根，且，求的值．
【解答】解：依题意得，，
．
易知，，又，，，
，，，，
，
．
已知，，其中．
（1）求的值；
（2）求的值．
【解答】解：（1），，
，，
，
则；
（2），，，
，，
，，
．
三角恒等变换的综合运用
设函数．
（1）若，求．
（2）在锐角中，为锐角，角、、的对边分别为、、，若，，．求．
【解答】解：（1）由题意可得，，
由，得，，
故，
，；
（2）由（1）得，且，
得，，
又为锐角三角形，，
在由余弦定理可知，
故．
已知函数．
（1）求的最小正周期和单调递减区间；
（2）若，且，求的值．
【解答】解：（1）．
的最小正周期为．
令，，
整理得：．
的单调递减区间是．
（2），
，
，
，
．
一．选择题（共9小题）
1．函数f(x)=sin(x+π6)+cs(x+π6)具有性质（ ）
A．最大值为2，图象关于(−π12，0)对称
B．最大值为2，图象关于(−π12，0)对称
C．最大值为2，图象关于直线x=π12对称
D．最大值为2，图象关于直线x=π12对称
【解答】解：f（x）＝sin（x+π6）+cs（x+π6）=2sin（x+5π12），
所以f（x）的最大值为2，故AC均错误；
令x+5π12=kπ，k∈Z，
∴x=−5π12+kπ，k∈Z，函数f（x）的对称中心为：（−5π12+kπ，0），故选项B错误；
令x+5π12=π2+kπ，k∈Z，
∴x=π12+kπ，k∈Z，
所以函数f（x）的对称轴方程为：x=π12+kπ，k∈Z．
故选：D．
2．已知sinα2=25，则csα＝（ ）
A．−1625B．1625C．−2125D．2125
【解答】解：因为sinα2=25，
所以csα＝1﹣2sin2α2=1﹣2×（25）2=2125．
故选：D．
3．若对所有实数x，均有sinkx•sinkx+cskx•cskx＝csk2x，则k＝（ ）
A．6B．5C．4D．3
【解答】解：记f（x）＝sinkx•sinkx+cskx•cskx﹣csk2x，则由条件f（x）恒为0，取x=π2，得sinkπ2=(−1)k，
则k为奇数． 设k＝2n﹣1，上式成为sin(nπ−π2)=−1，因此n为偶数，
令n＝2m，则k＝4m﹣1，故选择支中只有k＝3满足题意，
故选：D．
4．设0＜α＜π2，a是大于0的常数，函数F（α）=1csα+a1−csα，若F（α）≥16恒成立，则a的取值范围是（ ）
A．[1，+∞）B．[4，+∞）C．（9，+∞）D．[9，+∞）
【解答】解：∵0＜α＜π2，
∴csα＞0，1﹣csα＞0；
又csα+（1﹣csα）＝1，a＞0，
∴F（α）=1csα+a1−csα=(1−csα)+csαcsα+a[(1−csα)+csα]1−csα=1+a+1−csαcsα+acsα1−csα≥1+a+21−csαcsα⋅acsα1−csα=1+a+2a，
∴F（α）min＝1+a+2a，又F（α）≥16恒成立，
∴1+a+2a≥16，
解得：a≥3或a≤−5（舍去），
∴a≥9．
故选：D．
5．化简cs（45°﹣α）cs（α+15°）﹣sin（45°﹣α）sin（α+15°）的结果是（ ）
A．12B．−12C．32D．−32
【解答】解：cs（45°﹣α）cs（α+15°）﹣sin（45°﹣α）sin（α+15°）
＝cs[（45°﹣α）+（α+15°）]
＝cs60°=12．
故选：A．
6．已知sinα+csα=−62，则sin2α的值为（ ）
A．12B．−12C．32D．−32
【解答】解：因为sinα+csα=−62，
所以（sinα+csα）2＝（−62）2，
所以sin2α+cs2α+2sinαcsα=32，
则sin2α=12．
故选：A．
7．cs（﹣15°）的值为（ ）
A．2−64B．6−24C．2+64D．−2+64
【解答】解：cs（﹣15°）＝cs15°=1+cs30°2=1+322=2+34=2+6+4316=2+64．
故选：C．
8．计算1−cs270°•[2sin40°+sin20°(1+3tan20°)]＝（ ）
A．3B．2C．1D．2
【解答】解：1−cs270°•[2sin40°+sin20°(1+3tan20°)]＝sin70°•[2sin40°+sin20°•cs20°+3sin20°cs20°]
＝sin70°•[2sin40°+sin20°•2sin(20°+30°)cs20°]＝sin70°•[2sin40°+sin20°•2cs40°cs20°]
＝sin70°•2sin40°cs20°+2cs40°sin20°cs20°=cs20°•2sin60°cs20°=3，
故选：A．
9．cs75°cs15°+sin75°sin15°的值等于（ ）
A．14B．12C．22D．32
【解答】解：cs75°cs15°+sin75°sin15°＝cs（75°﹣15°）＝cs60°=12．
故选：B．
二．填空题（共3小题）
10．已知α+β=π3，sinαsinβ=3−36，则tanα+tanβ＝ 3 ．
【解答】解：根据题意，α+β=π3，
则cs（α+β）＝csαcsβ﹣sinαsinβ=12，
又由sinαsinβ=3−36，
则csαcsβ=36，
则tanαtanβ=sinαsinβcsαcsβ=1−3，
则tan（α+β）=tanα+tanβ1−tanαtanβ=3，
则tanα+tanβ＝（1﹣tanαtanβ）×3=3；
故答案为：3
11．如果sinα=23，csβ=−14，α与β为同一象限角，则cs（α﹣β）＝ 5+21512 ．
【解答】解：∵sinα=23，csβ=−14，α与β为同一象限角，
∴α与β为同为第二象限角，
∴csα=−53，sinβ=154，
∴cs（α﹣β）＝csαcsβ+sinαsinβ=−53×（−14）+23×154=5+21512，
故答案为：5+21512．
12．已知cs2αcs(α+π4)=−2，则sin2α＝ 0 ．
【解答】解：因为cs2αcs(α+π4)=−2，
所以(csα−sinα)(csα+sinα)22(csα−sinα)=csα+sinα22=−2，可得csα+sinα＝﹣1，
两边平方，可得1+sin2α＝1，
则sin2α＝0．
故答案为：0．
三．解答题（共3小题）
13．求证：1+sin4θ−cs4θ2tanθ=1+sin4θ+cs4θ1−tan2θ．
【解答】解：要证1+sin4θ−cs4θ2tanθ=1+sin4θ+cs4θ1−tan2θ，
只需证1+2sin2θcs2θ−(1−2sin22θ)2tanθ=1+2sin2θcs2θ+2cs22θ−11−tan2θ，
即证2sin2θ(sin2θ+cs2θ)2tanθ=2cs2θ(sin2θ+cs2θ)1−tan2θ，
即证sin2θ2tanθ=cs2θ1−tan2θ，即证sin2θcs2θ=2tanθ1−tan2θ，
只需证tan2θ=2tanθ1−tan2θ，
由二倍角的正切公式可知上式正确，
故原命题得证．
14．求证三角恒等式：tan52x﹣tan32x=2sinxcs4x+csx．
【解答】证明：右边=sinxcs(5x2+3x2)+cs(5x2−3x2)=2sinx2cs52xcs32x=sinxcs52xcs32x，
左边=sin52xcs52x−sin32xcs32x=sin52xcs32x−cs52xsin32xcs52xcs32x=sinxcs52xcs32x=右边．
得证．
15．已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点P（35，45）．
（1）求cs（α+π）的值；
（2）若tanβ＝﹣2，求tan（α﹣β）的值．
【解答】解：角α的终边过点P（35，45）．
∴csα=35，tanα=4535=43，
（1）cs（α+π）＝﹣csα=−35；
（2）tan（α﹣β）=tanα−tanβ1+tanαtanβ=43−(−2)1+43(−2)=−2．
公式
cs(α－β)＝cs αcs β＋sin αsin β
简记符号
C(α－β)
使用条件
α，β为任意角
名称
简记符号
公式
使用条件
两角差的余弦公式
C(α－β)
cs(α－β)＝cs αcs β＋sin αsin β
α，β∈R
两角和的余弦公式
C(α＋β)
cs(α＋β)＝cs αcs β－sin αsin β
α，β∈R
名称
简记符号
公式
使用条件
两角和的正弦公式
S(α＋β)
sin(α＋β)＝sin αcs β＋cs αsin β
α，β∈R
两角差的正弦公式
S(α－β)
sin(α－β)＝sin αcs β－cs αsin β
α，β∈R
名称
公式
简记符号
条件
两角和的正切公式
tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)
T(α＋β)
α，β，α＋β≠kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)
两角差的正切公式
tan(α－β) ＝eq \f(tan α－tan β,1＋tan αtan β)
T(α－β)
α，β，α－β≠kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)
三角函数
公式
简记
正弦
sin 2α＝2sin αcs α
S2α
余弦
cs 2α＝cs2α－sin2α＝2cs2α－1＝1－2sin2α
C2α
正切
tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α)
T2α