数学必修 第一册第五章 三角函数5.5 三角恒等变换精品复习练习题

简单的三角恒等变换（二 ）

一、选择题

1．函数f(x)＝cos2，x∈R，则f(x)(　　)

A．是奇函数B．是偶函数

C．既是奇函数，也是偶函数D．既不是奇函数，也不是偶函数

2．已知＝，则的值为(　　)

A.　　　　B．－　　　　C.　　　　D．－

3．在△ABC中，若cos A＝，则sin2＋cos 2A＝(　　)

A．－　B.   C．－  D.

4．已知tan 2α＝，α∈，函数f(x)＝sin(x＋α)－sin(x－α)－2sin α，且对任意的实数x，不等式f(x)≥0恒成立，则sin的值为(　　)

A．－  B．－  C．－  D．－

5．已知f(x)＝2sin2x＋2sin xcos x，则f(x)的最小正周期和一个单调减区间分别为(　　)

A．2π，   B．π，

C．2π，   D．π，

二、填空题

6．有以下四个关于三角函数的命题：

①∃x0∈R，sin2＋cos2＝；②∃x0，y0∈R，sin(x0－y0)＝sin x0－sin y0；③∀x∈[0，π]，＝sin x；④sin x＝cos y⇒x＋y＝.

其中假命题的序号为________．

7．化简下列各式：

(1)＜α＜，则＝________.

(2)α为第三象限角，则－＝________.

8．函数f(x)＝cos 2x＋4sin x的值域是________．

三、解答题

9．求证：tan－tan＝.

10．已知函数f(x)＝2cos2，g(x)＝2.

(1)求证：f＝g(x)；

(2)求函数h(x)＝f(x)－g(x)(x∈[0，π]的单调区间，并求使h(x)取到最小值时x的值．

参考答案

一、选择题

1．

D　[原式＝

＝(1－sin 2x)

＝－sin 2x，

此函数既不是奇函数也不是偶函数．]

2．

B　[∵·＝＝＝－1

且＝，∴＝－.]

3

A　[sin2＋cos 2A

＝＋2cos2A－1

＝＋2cos2A－1

＝－.]

4．

A　[由tan 2α＝，即＝，得tan α＝或tan α＝－3.又f(x)＝sin(x＋α)－sin(x－α)－2tan α＝2cos xsin α－2sin α≥0恒成立，所以sin α≤0，tan α＝－3，sin α＝－，cos α＝，所以sin＝sin αcos－cos αsin＝－，故选A.]

5．

B　[∵f(x)＝1－cos 2x＋sin 2x

＝1＋sin，

∴f(x)的最小正周期T＝＝π，

由＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，

得f(x)的单调减区间为

＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，

当k＝0时，得f(x)的一个单调减区间，故选B.]

二、填空题

6．

①④　[因为sin2＋cos2＝1≠，所以①为假命题；当x＝y＝0时，sin(x－y)＝sin x－sin y，所以②为真命题；因为＝＝|sin x|＝sin x，x∈[0，π]，所以③为真命题；当x＝，y＝2π时，sin x＝cos y，但x＋y≠，所以④为假命题．]

7．

(1)sin α－cos α　(2)0　[(1)∵α∈，∴sin α＞cos α，

∴＝

＝

＝＝sin α－cos α.

(2)∵α为第三象限角，∴cos α＜0，sin α＜0，

∴－＝－

＝－＝0.]

8．

[－5,3]　[f(x)＝cos 2x＋4sin x＝1－2sin2x＋4sin x＝－2(sin x－1)2＋3.

当sin x＝1时，f(x)取得最大值3，

当sin x＝－1时，f(x)取得最小值－5，

所以函数f(x)的值域为[－5,3]．]

三、解答题

9．

[证明]　法一：(由左推右)tan－tan

＝－

＝

＝

＝

＝

＝.

法二：(由右推左)

＝

＝

＝－＝tan－tan.

10．

[解]　(1)证明过程如下：f(x)＝2cos2＝1＋cos x，

g(x)＝2

＝1＋2sincos

＝1＋sin x，

∵f＝1＋cos＝1＋sin x，

∴f＝g(x)，命题得证．

(2)函数h(x)＝f(x)－g(x)＝cos x－sin x

＝

＝cos，

∵x∈[0，π]，

∴≤x＋≤，

当≤x＋≤π，即0≤x≤时，h(x)递减，

当π≤x＋≤，即≤x≤π时，h(x)递增．

∴函数h(x)的单调递减区间为，

单调递增区间为，

根据函数h(x)的单调性，可知当x＝时，函数h(x)取到最小值．