(人教A版必修第一册)高一数学知识梳理与题型分层精练第五章三角函数章节复习(原卷版+解析)

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第五章 三角函数 知识点一 任意角正角、负角、零角、象限角的概念.正角：一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角；负角：按顺时针方向旋转形成的角叫做负角；零角：一条射线没有任何旋转，就称它形成了一个零角。旋转与运算：（1）角的加法：角的终边旋转角后所得的终边对应的角是.（2）角的减法：。3. 与角终边相同的角的集合： .知识点二 弧度制1. 1弧度角：把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.2. 弧度公式： （为圆的半径，弧长为 的弧所对的圆心角为）。弧长公式：.角度与弧度换算： ；。扇形面积公式：.（为圆的半径，扇形弧长为，圆心角为）知识点三 三角函数的概念三角函数定义1：设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点，则：把点的纵坐标叫做的正弦函数，记作.即；把点的横坐标叫做的余弦函数，记作.即；把点的纵坐标与横坐标的比值叫做的正切函数，记作.即。正弦函数、余弦函数、和正切函数统称为三角函数，通常记为：正弦函数：余弦函数：正切函数：2. 三角函数定义2：设点（不与原点重合）为角终边上任意一点，点P与原点的距离为：，则： ，，. 3.、、在四个象限的符号: 一全正，二正弦，三正切，四余弦.知识点四 同角三角函数的基本关系式1. 平方关系：. 2. 商数关系：.知识点五 诱导公式1. 诱导公式一： 2. 诱导公式二： （其中：）3.诱导公式三： 4.诱导公式四： 5.诱导公式五： 6.诱导公式六：, 知识点六 正弦、余弦函数的图象与性质正弦.余弦函数图象：2.会用五点法作图.在上的五个关键点为： 在上的五个关键点为： 3.周期函数定义：函数定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个，都有，且，那么函数就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.最小正周期：如果周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那这个最小正数叫的最小正周期.4.正余弦函数的周期：正弦函数是周期函数，（且）都是它的周期，最小正周期是；余弦函数是周期函数，（且）都是它的周期，最小正周期是；5.正切函数的图象：5.正弦.余弦.正切函数的图像及其性质：知识点七 两角和与差的正弦.余弦.正切公式1.两角和与差的正弦：::2.两角和与差的余弦：::3.两角和与差的正切：:.:.4.倍角公式（1） 变形： .（2）.变形：降幂公式： （3）.5.辅助角公式 （其中, ).（其中, ).图象定义域值域[-1,1][-1,1]最值无周期性奇偶性奇偶奇单调性在上单调递增在上单调递减在上单调递增在上单调递减在每一个区间上单调递增对称性对称轴方程：对称中心，对称轴方程：对称中心，无对称轴对称中心，题型一．三角函数值的符号1．已知点在第三象限，则角的终边在第几象限　　A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限题型二．三角函数的周期性2．已知函数，．（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）求在，上的值域．题型三．运用诱导公式化简求值3．下列选项中正确的是　　A． B． C． D．4．已知．（1）求的值；（2）求的值．题型四．正弦函数的单调性5．已知．（1）求函数的单调递减区间：（2）若函数在区间上有唯一零点，求实数的取值范围．题型五．余弦函数的图象6．若函数，的两相邻对称轴之间的距离为，且时，有最大值，则下列结论成立的是　　A． B．函数的一个单调递减区间为 C．函数的图象关于点对称 D．函数的图象关于直线对称题型六．函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换7．将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若，的图象都经过点，则的值可以是　　A． B． C． D．8．函数，的最小正周期为，且其图象向右平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数的图象　　A．关于点，中心对称 B．关于直线对称 C．关于点，中心对称 D．关于直线对称题型七．由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式9．函数的部分图象如图所示，若，且，则　　A．1 B． C． D．10．如图是函数的部分图象，则　　A． B． C． D．题型八．三角函数的最值12．函数的最小值为 ．题型九．两角和与差的三角函数13．已知，则的值为　　A． B． C． D．14．已知，则　　A．1 B． C． D．015．设函数，则　　A．是偶函数 B．在区间上单调递增 C．最大值为2 D．其图象关于点对称16．已知锐角、满足，则的最小值为 ．17．已知，为锐角，，．（1）求的值；（2）求的值．题型一十．二倍角的三角函数18．若，，则 ．19．在平面直角坐标系中，角与角均以轴的非负半轴为始边，它们的终边关于轴对称．若，则 ， 20．若，则 ．题型一十一．三角函数的恒等变换及化简求值21．下列四个关系式中错误的是　　A． B． C． D．题型一十二．函数的零点与方程根的关系22．设函数为定义域为的奇函数，且，当，时，，则函数在区间，上的所有零点的和为 ．题型一十三．根据实际问题选择函数类型23．某班级欲在半径为1米的圆形展板上做班级宣传，设计方案如下：用四根不计宽度的铜条将圆形展板分成如图所示的形状，其中正方形的中心在展板圆心，正方形内部用宣传画装饰，若铜条价格为10元米，宣传画价格为20元平方米，展板所需总费用为铜条的费用与宣传画的费用之和．（1）设，将展板所需总费用表示成的函数；（2）若班级预算为100元，试问上述设计方案是否会超出班级预算？一、单选题1．已知函数（且）的图像经过定点，且点在角的终边上，则（    ）A． B．0 C．7 D．2．函数的一个对称中心的坐标是（    ）A． B． C． D．3．把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（    ）A． B．C． D．4．关于函数描述正确的是（    ）A．最小正周期是 B．最大值是C．一条对称轴是 D．一个对称中心是5．已知，（），若函数在区间内不存在对称轴，则的范围为（      ）A． B．C． D．6．将函数的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若对满足，有恒成立，且在区间上单调递减，则的取值范围是（       ）A． B．C． D．二、多选题7．已知，，其中，为锐角，以下判断正确的是（    ）A． B．C． D．8．函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ）A．点是的对称中心B．直线是的对称轴C．在区间上单调减D．的图象向右平移个单位得的图象三、填空题9．若角α的终边落在直线y＝－x上，则的值等于________.10．已知 =，则的值是____.11．函数是定义域为R的奇函数，满足，且当时，，给出下列四个结论：① ；② 是函数的周期；③ 函数在区间上单调递增；④ 函数所有零点之和为.其中，正确结论的序号是___________.12．某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四边形DEFG为矩形，BC⊥DG，垂足为C，tan∠ODC=，，EF=12 cm，DE=2 cm，A到直线DE和EF的距离均为7 cm，圆孔半径为1 cm，则图中阴影部分的面积为________cm2．四、解答题13．已知函数的部分图象如图所示.(1)求的解析式及对称中心坐标：(2)先把的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图象，若当时，关于的方程有实数根，求实数的取值范围.14．在股票市场上，投资者常根据股价（每股的价格）走势图来操作，股民老张在研究某只股票时，发现其在平面直角坐标系内的走势图有如下特点：每日股价y（元）与时间x（天）的关系在段可近似地用函数的图像从最高点A到最低点C的一段来描述（如图），并且从C点到今天的D点在底部横盘整理，今天也出现了明显的底部结束信号．老张预测这只股票未来一段时间的走势图会如图中虚线段所示，且段与段关于直线对称，点B、D的坐标分别是、．（1）请你帮老张确定的值，写出段的函数表达式，并指出此时x的取值范围；（2）请你帮老张确定虚线段的函数表达式，并指出此时x的取值范围；（3）如果老张预测准确，且在今天买入该只股票，那么最短买入多少天后，股价至少是买入价的两倍？15．已知，其中是第四象限角．(1)化简；(2)若，求，．16．已知函数，若对任意的，都有，且的最小值为．(1)求的值；(2)求的单调递减区间．第五章 三角函数 知识点一 任意角正角、负角、零角、象限角的概念.正角：一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角；负角：按顺时针方向旋转形成的角叫做负角；零角：一条射线没有任何旋转，就称它形成了一个零角。旋转与运算：（1）角的加法：角的终边旋转角后所得的终边对应的角是.（2）角的减法：。3. 与角终边相同的角的集合： .知识点二 弧度制1. 1弧度角：把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.2. 弧度公式： （为圆的半径，弧长为 的弧所对的圆心角为）。弧长公式：.角度与弧度换算： ；。扇形面积公式：.（为圆的半径，扇形弧长为，圆心角为）知识点三 三角函数的概念三角函数定义1：设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点，则：把点的纵坐标叫做的正弦函数，记作.即；把点的横坐标叫做的余弦函数，记作.即；把点的纵坐标与横坐标的比值叫做的正切函数，记作.即。正弦函数、余弦函数、和正切函数统称为三角函数，通常记为：正弦函数：余弦函数：正切函数：2. 三角函数定义2：设点（不与原点重合）为角终边上任意一点，点P与原点的距离为：，则： ，，. 3.、、在四个象限的符号: 一全正，二正弦，三正切，四余弦.知识点四 同角三角函数的基本关系式1. 平方关系：. 2. 商数关系：.知识点五 诱导公式1. 诱导公式一： 2. 诱导公式二： （其中：）3.诱导公式三： 4.诱导公式四： 5.诱导公式五： 6.诱导公式六：, 知识点六 正弦、余弦函数的图象与性质正弦.余弦函数图象：2.会用五点法作图.在上的五个关键点为： 在上的五个关键点为： 3.周期函数定义：函数定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个，都有，且，那么函数就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.最小正周期：如果周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那这个最小正数叫的最小正周期.4.正余弦函数的周期：正弦函数是周期函数，（且）都是它的周期，最小正周期是；余弦函数是周期函数，（且）都是它的周期，最小正周期是；5.正切函数的图象：5.正弦.余弦.正切函数的图像及其性质：知识点七 两角和与差的正弦.余弦.正切公式1.两角和与差的正弦：::2.两角和与差的余弦：::3.两角和与差的正切：:.:.4.倍角公式（1） 变形： .（2）.变形：降幂公式： （3）.5.辅助角公式 （其中, ).（其中, ).图象定义域值域[-1,1][-1,1]最值无周期性奇偶性奇偶奇单调性在上单调递增在上单调递减在上单调递增在上单调递减在每一个区间上单调递增对称性对称轴方程：对称中心，对称轴方程：对称中心，无对称轴对称中心，题型一．三角函数值的符号1．已知点在第三象限，则角的终边在第几象限　　A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【解答】解：在第三象限，，由，得在第二、四象限，由，得在第二、三象限在第二象限．故选：．题型二．三角函数的周期性2．已知函数，．（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）求在，上的值域．【解答】解：（Ⅰ）由，故的最小正周期为．（Ⅱ）因为，，故，故，故在上的值域为．题型三．运用诱导公式化简求值3．下列选项中正确的是　　A． B． C． D．【解答】解：，故不正确；，故正确；，故正确；，故正确，故选：．4．已知．（1）求的值；（2）求的值．【解答】解：（1）因为．所以，解得；（2）题型四．正弦函数的单调性5．已知．（1）求函数的单调递减区间：（2）若函数在区间上有唯一零点，求实数的取值范围．【解答】解：因为，（1）令，解得，故函数的单调递减区间为；（2）函数在区间上有唯一零点，等价于方程即在上有唯一实数根，所以，设，，则，根据函数在上的图象，要满足与有唯一交点，只需或，解得或，故实数的取值范围为．题型五．余弦函数的图象6．若函数，的两相邻对称轴之间的距离为，且时，有最大值，则下列结论成立的是　　A． B．函数的一个单调递减区间为 C．函数的图象关于点对称 D．函数的图象关于直线对称【解答】解：函数，的两相邻对称轴之间的距离为，，时，有最大值，，求得，故函数．故，故正确；在区间，上，，，函数没有单调性，故错误；令，求得，为最小值，故函数的图象关于直线对称，故错误；令，求得，故函数的图象关于直线对称，故正确，故选：．题型六．函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换7．将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若，的图象都经过点，则的值可以是　　A． B． C． D．【解答】解：将函数 的图象向右平移个单位长度后，得到函数 的图象，若，的图象都经过点，，，或， 即，或，．令，可得，故选：．8．函数，的最小正周期为，且其图象向右平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数的图象　　A．关于点，中心对称 B．关于直线对称 C．关于点，中心对称 D．关于直线对称【解答】解：函数，的最小正周期为，，且其图象向右平移个单位后得到的函数为的图象，再根据所得函数为奇函数，可得，．当时，，则的图象关于点，中心对称，故成立；当时，，不是最值，故函数的图象不关于直线对称，故不成立；当时，，故函数的图象关于点，对称，故成立；当时，，是最大值，故函数的图象不关于直线对称，故成立，故选：．题型七．由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式9．函数的部分图象如图所示，若，且，则　　A．1 B． C． D．【解答】解：由图象可得，，解得，，代入点，可得，，又，，，，即图中点的坐标为，，又，且，，，故选：．10．如图是函数的部分图象，则　　A． B． C． D．【解答】解：由图象知函数的周期，即，即，当时，由五点作图法，得，所以，则，当时，由五点作图法，得，所以，所以．故选：．题型八．三角函数的最值12．函数的最小值为 　　．【解答】解：，，函数的最小值为，故答案为：．题型九．两角和与差的三角函数13．已知，则的值为　　A． B． C． D．【解答】解：因为，即，又所以，，则，所以．故选：．14．已知，则　　A．1 B． C． D．0【解答】解：，即，，，，则，故选：．15．设函数，则　　A．是偶函数 B．在区间上单调递增 C．最大值为2 D．其图象关于点对称【解答】解：函数，，，为偶函数，故正确；的单调递增区间为，即，函数在，单调递增，所以选项不符合题意．的最大值是，故选项不符合题意．由，，解得，，可得当时，其图象关于点对称，故正确；故选：．16．已知锐角、满足，则的最小值为　32　．【解答】解：，，设，，则，、均为锐角，，，，当且仅当，即，即，时，等号成立．的最小值为32．故答案为：32．17．已知，为锐角，，．（1）求的值；（2）求的值．【解答】解：（1）因为，所以；（2）因为，为锐角，所以，所以，，，所以．题型一十．二倍角的三角函数18．若，，则　　．【解答】解：，，，解可得，或（舍，所以，，，则，故答案为：19．在平面直角坐标系中，角与角均以轴的非负半轴为始边，它们的终边关于轴对称．若，则　　，　　【解答】解：角与角均以轴的非负半轴为始边，它们的终边关于轴对称，则，，则，，故答案为：；．20．若，则　　．【解答】解：，．故答案为：．题型一十一．三角函数的恒等变换及化简求值21．下列四个关系式中错误的是　　A． B． C． D．【解答】解：，，，，对于，，故正确，对于，，故错误，对于，，故错误，对于，，故错误．故选：．题型一十二．函数的零点与方程根的关系22．设函数为定义域为的奇函数，且，当，时，，则函数在区间，上的所有零点的和为　6　．【解答】解：因为为定义域为的奇函数，所以，又因为，所以，所以，所以，所以函数的周期，由还可得，关于直线对称，设，其周期为，其图象关于对称，函数在区间，上的所有零点，即函数与在区间，上的交点横坐标，在内有两个函数图象有六个交点，所以，上的所有零点的和为．故答案为：6．题型一十三．根据实际问题选择函数类型23．某班级欲在半径为1米的圆形展板上做班级宣传，设计方案如下：用四根不计宽度的铜条将圆形展板分成如图所示的形状，其中正方形的中心在展板圆心，正方形内部用宣传画装饰，若铜条价格为10元米，宣传画价格为20元平方米，展板所需总费用为铜条的费用与宣传画的费用之和．（1）设，将展板所需总费用表示成的函数；（2）若班级预算为100元，试问上述设计方案是否会超出班级预算？【解答】解：（1）过点作，垂足为，则，，正方形的中心在展板圆心，铜条长为相等，每根铜条长，，展板所需总费用为．（2）．上述设计方案是不会超出班级预算．一、单选题1．已知函数（且）的图像经过定点，且点在角的终边上，则（    ）A． B．0 C．7 D．【答案】D【分析】由题知,进而根据三角函数定义结合齐次式求解即可.【详解】解:令得,故定点为, 所以由三角函数定义得，所以故选：D2．函数的一个对称中心的坐标是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】解方程即得解.【详解】解：令，令，所以函数的一个对称中心的坐标是.故选：D3．把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】解法一：从函数的图象出发，按照已知的变换顺序，逐次变换，得到，即得，再利用换元思想求得的解析表达式；解法二：从函数出发，逆向实施各步变换，利用平移伸缩变换法则得到的解析表达式.【详解】解法一：函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到的图象，再把所得曲线向右平移个单位长度，应当得到的图象，根据已知得到了函数的图象，所以，令,则,所以,所以；解法二：由已知的函数逆向变换，第一步：向左平移个单位长度，得到的图象，第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象，即为的图象，所以.故选：B.4．关于函数描述正确的是（    ）A．最小正周期是 B．最大值是C．一条对称轴是 D．一个对称中心是【答案】D【分析】利用三角恒等变换化简得解析式，再利用正弦型函数的图像和性质得出结论.【详解】解：由题意得：选项A：函数的最小正周期为，故A错误；选项B：由于，函数的最大值为，故B错误；选项C：函数的对称轴满足，，当时，，故C错误；选项D：令，代入函数的，故为函数的一个对称中心，故D正确；故选：D5．已知，（），若函数在区间内不存在对称轴，则的范围为（      ）A． B．C． D．【答案】C【分析】先通过三角恒等变换将化简成正弦型函数，再结合正弦函数性质求解即可．【详解】函数化简得，由，可得函数的对称轴为，由题意知，且，即，，若使该不等式组有解，则需满足，即，又，故，即，所以，又，所以或，所以．6．将函数的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若对满足，有恒成立，且在区间上单调递减，则的取值范围是（       ）A． B．C． D．【答案】D【分析】可得，根据题意可求出最小正周期，得出，求出的单调递减区间，根据包含关系可求出.【详解】由题可得，若满足，则和必然一个极大值点，一个极小值点，又，则，即，所以，令，可得，即的单调递减区间为，因为在区间上单调递减，所以，则，解得，因为，所以可得.故选：D.二、多选题7．已知，，其中，为锐角，以下判断正确的是（    ）A． B．C． D．【答案】AC【分析】根据同角关系可求，根据配凑角的方式即可求解B,根据积化和差即可求解C，根据弦切互化即可求解D.【详解】因为，，其中，为锐角，故所以：，故A正确；因为，所以，故B错误；可得，故C正确；可得，所以，故D错误．故选:AC8．函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ）A．点是的对称中心B．直线是的对称轴C．在区间上单调减D．的图象向右平移个单位得的图象【答案】CD【分析】由图知且求，再由过求，将A、B中的点代入验证是否为对称中心、对称轴，根据正弦函数的性质判断给定区间是否为减区间，应用诱导公式化简，进而判断平移后解析式是否为.【详解】由图知：且，则，∴，可得，又过，∴，得，又，∴当时，.综上，.A：代入得：，故错误；B：代入得：，故错误；C：由，故在上单调递减，则上递减，而，故正确；D：，故正确；故选：CD【点睛】关键点点睛：利用函数部分图象确定的参数，写出解析式，进而根据各选项的描述，判断对称中心、对称轴、单调区间及平移后的解析式.三、填空题9．若角α的终边落在直线y＝－x上，则的值等于________.【答案】0【解析】先求出α＝2kπ＋或2kπ＋，k∈Z，再分类讨论得解.【详解】因为角α的终边落在直线y＝－x上，所以α＝2kπ＋或2kπ＋，k∈Z， 当α＝2kπ＋，,即角α的终边在第二象限时，sinα＞0，cosα＜0；所以当α＝2kπ＋，,即角α的终边在第四象限时，sinα＜0，cosα＞0.所以综合得的值等于0.故答案为：010．已知 =，则的值是____.【答案】【分析】直接按照两角和正弦公式展开，再平方即得结果.【详解】故答案为：【点睛】本题考查两角和正弦公式、二倍角正弦公式，考查基本分析求解能力，属基础题.11．函数是定义域为R的奇函数，满足，且当时，，给出下列四个结论：① ；② 是函数的周期；③ 函数在区间上单调递增；④ 函数所有零点之和为.其中，正确结论的序号是___________.【答案】① ③ ④【分析】由可得直接计算即可判断① ；根据函数的奇偶性和对称性即可求得周期，从而可判断② ；先判断在的单调性，再根据奇函数关于原点对称的区间单调性相同即可判断③ ；根据对称性以及函数图象交点的个数即可判断④.【详解】对于①：由可得，故①正确；对于② ：由可得关于直线对称，因为是定义域为R的奇函数，所以所以，所以函数的周期为，故② 不正确；对于③ ：当时，单调递增，且，在单调递减，且，所以在单调递增，因为是奇函数，所以函数在区间上单调递增；故③ 正确；对于④ ：由可得关于直线对称，作出示意图函数所有零点之和即为函数与两个函数图象交点的横坐标之和，当时，两图象交点关于对称，此时两根之和等于 ，当时两图象交点关于对称，此时两根之和等于，当时两图象交点关于对称，此时两根之和等于时两图象无交点 ，所以函数所有零点之和为.故④ 正确；故答案为：① ③ ④【点睛】求函数零点的方法：画出函数的图象，函数的图象与轴交点的个数就是函数的零点个数；将函数拆成两个函数，和的形式，根据，则函数的零点个数就是函数和的图象交点个数；零点之和即为两个函数图象交点的横坐标之和.12．某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四边形DEFG为矩形，BC⊥DG，垂足为C，tan∠ODC=，，EF=12 cm，DE=2 cm，A到直线DE和EF的距离均为7 cm，圆孔半径为1 cm，则图中阴影部分的面积为________cm2．【答案】【分析】利用求出圆弧所在圆的半径，结合扇形的面积公式求出扇形的面积，求出直角的面积，阴影部分的面积可通过两者的面积之和减去半个单位圆的面积求得.【详解】设，由题意，，所以，因为,所以，因为，所以，因为与圆弧相切于点，所以，即为等腰直角三角形；在直角中，，，因为，所以，解得；等腰直角的面积为；扇形的面积，所以阴影部分的面积为.故答案为：.【点睛】本题主要考查三角函数在实际中应用，把阴影部分合理分割是求解的关键，以劳动实习为背景，体现了五育并举的育人方针.四、解答题13．已知函数的部分图象如图所示.(1)求的解析式及对称中心坐标：(2)先把的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图象，若当时，关于的方程有实数根，求实数的取值范围.【答案】(1)，(2)【分析】（1）由最大值和最小值求得，的值，由以及可得的值，再由最高点可求得的值，即可得的解析式，由正弦函数的对称中心可得对称中心；（2）由图象的平移变换求得的解析式，由正弦函数的性质可得的值域，令的取值为的值域，解不等式即可求解.（1）由题意可得：，可得，所以，因为，所以，可得，所以，由可得，因为，所以，，所以.令可得，所以对称中心为.（2）由题意可得：，当时，，，若关于的方程有实数根，则有实根，所以，可得：.所以实数的取值范围为.14．在股票市场上，投资者常根据股价（每股的价格）走势图来操作，股民老张在研究某只股票时，发现其在平面直角坐标系内的走势图有如下特点：每日股价y（元）与时间x（天）的关系在段可近似地用函数的图像从最高点A到最低点C的一段来描述（如图），并且从C点到今天的D点在底部横盘整理，今天也出现了明显的底部结束信号．老张预测这只股票未来一段时间的走势图会如图中虚线段所示，且段与段关于直线对称，点B、D的坐标分别是、．（1）请你帮老张确定的值，写出段的函数表达式，并指出此时x的取值范围；（2）请你帮老张确定虚线段的函数表达式，并指出此时x的取值范围；（3）如果老张预测准确，且在今天买入该只股票，那么最短买入多少天后，股价至少是买入价的两倍？【答案】（1），，，，（2），（3）天.【分析】（1）由已知图中两点的坐标求得与，进而可得的值，再由五点法作图的第三个点求解，即可得函数的解析式，并求得的范围；（2）由对称性求解段的函数表达式，以及x的取值范围；（3）由解得：，减去即得答案.【详解】（1）由图以及两点的纵坐标可知：，，可得：，则，由解得：，所以，，所以段的函数表达式为，（2）由题意结合对称性可知：段的函数解析式为：，（3）由解得：，所以买入天后，股票至少是买入价的两倍.15．已知，其中是第四象限角．(1)化简；(2)若，求，．【答案】(1)(2)，【分析】（1）因为是第四象限角，即可得到，，再根据平方关系化简可得；（2）依题意可得，再根据同角三角函数的基本关系求出；【详解】（1）解：∵是第四象限角，∴，，所以、，∴．即；（2）解：∵，∴，∴．16．已知函数，若对任意的，都有，且的最小值为．(1)求的值；(2)求的单调递减区间．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用三角恒等变换化简解析式，根据的半周期求得.（2）利用整体代入法求得的单调递减区间.(1)，依题意对任意的，都有，且的最小值为，，所以.(2)由（1）得，由，解得，所以的单调递减区间为.