高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.3 诱导公式综合训练题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.3 诱导公式综合训练题，共22页。

知识点二 诱导公式五、六
给角求值
计算 ．
的值为 ．
的值为
A．B．C．D．
化简求值
化简下列各式：
（1）；
（2） 1 ．
（1）计算：；
（2）化简：．
已知，则
A．B．C．D．
已知，则
A．B．C．D．
已知，则
A．B．C．D．
已知点是角终边上的一点，则
A．B．C．D．
已知，则
A．B．C．D．
已知，则等于
A．B．C．D．
已知，则的值为
A．B．C．D．
已知，则
A．B．C．D．
诱导公式的综合应用
设、、是三角形的三个内角，下列关系恒成立的是
A．B．
C．D．
点位于
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
若，则等于
A．B．C．D．
黄金三角形有两种，其中底和腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是顶角为的等腰三角形（另一种是顶角为的等腰三角形），例如，正五角星由5个黄金三角形和一个正五边形组成，如图所示，在一个黄金三角形中，，根据这些信息，可得
A．B．C．D．
已知是锐角，且．
（1）化简；
（2）若，求的值．
已知角是第三象限角，且．
（1）化简；
（2）若，求的值；
（3）若，求的值．
已知．
（1）化简；
（2）若是第四象限角，且，求的值．
（1）已知，先化简，再求的值．
（2）若已知，且，求的值．
一．选择题（共8小题）
1．已知sin(α+π3)=45，则cs(α−π6)=（ ）
A．−45B．−35C．45D．35
2．已知cs（π﹣α）=−45，则sin（α+π2）＝（ ）
A．35B．45C．−35D．−45
3．sin(−13π6)的值是（ ）
A．−12B．12C．32D．−32
4．若已知sin(π−α)=−2sin(π2+α)，则sinαcsα等于（ ）
A．25B．−25C．25或−25D．−15
5．若α＝945°，则sinα的值为（ ）
A．−22B．22C．−32D．32
6．已知sin（π2+α）=12，α∈（−π2，0），则tanα等于（ ）
A．−3B．3C．−33D．33
7．已知sin（π﹣α）﹣cs（π+α）=23，且π2＜α＜π，则sinα﹣csα＝（ ）
A．149B．−149C．143D．−143
8．已知sin（π+α）=35且α是第三象限的角，则cs（α﹣2π）的值是（ ）
A．−45B．45C．±45D．35
二．填空题（共4小题）
9．cs（﹣300°）＝ ．
10．已知函数f（x）＝ax﹣2+2（a＞0且a≠1）的图像过定点P，且角α的始边与x轴的正半轴重合，终边过点P，则cs(11π2−α)sin(9π2+α)+sin2αcs(π2+α)sin(−π−α)等于 ．
11．sin25π6= ．
12．tan300°的值是 ．
三．解答题（共3小题）
13．已知f(α)=sin(α−π2)cs(3π2−α)tan(2π−α)tan(−α−π)sin(π+α)．
（1）若α是第三象限角，sinα=−15，求f（α）的值；
（2）若α=−34π3，求f（α）的值．
14．在平面直角坐标系xy中，角α的始边为x轴的非负半轴，终边经过点P（2，﹣1），求下列各式的值：
（1）tanα；
（2）3sin2α+sinαcsα；
（3）sin(α+3π2)cs(−α)tan(π−α)sin(π+α)cs(π2+α)．
15．已知角θ的终边过点P（﹣1，﹣3），求4cs(θ−π2)+2sin(3π2−θ)5cs(−θ)+3sin(π−θ)．
终边关系
图示
公式
公式二
角π＋α与角α的终边关于原点对称
sin(π＋α)＝－sin α，
cs(π＋α)＝－cs α，
tan(π＋α)＝tan α
公式三
角－α与角α的终边关于x轴对称
sin(－α)＝－sin α，
cs(－α)＝cs α，
tan(－α)＝－tan α
公式四
角π－α与角α的终边关于y轴对称
sin(π－α)＝sin α，
cs(π－α)＝－cs α，
tan(π－α)＝－tan α
专题5.3 诱导公式
知识点一 公式二～四
知识点二 诱导公式五、六
给角求值
计算 ．
【解答】解：，
故答案为．
的值为 1 ．
【解答】解：，
故答案为：
的值为
A．B．C．D．
【解答】解：．
故选：．
化简求值
化简下列各式：
（1）；
（2） 1 ．
【解答】解：（1）
．
（2） 1
．
（1）计算：；
（2）化简：．
【解答】解：（1）
；
（2）
．
已知，则
A．B．C．D．
【解答】解：，，
，
故选：．
已知，则
A．B．C．D．
【解答】解：因为，
所以．
故选：．
已知，则
A．B．C．D．
【解答】解：，
，
．
故选：．
已知点是角终边上的一点，则
A．B．C．D．
【解答】解：点是角终边上的一点，
，，，
，则，
故选：．
已知，则
A．B．C．D．
【解答】解：，即为
，
即有，
即．
故选：．
已知，则等于
A．B．C．D．
【解答】解：设，则，则，
则，
故选：．
已知，则的值为
A．B．C．D．
【解答】解：已知，
则，
故选：．
已知，则
A．B．C．D．
【解答】解：，
故选：．
诱导公式的综合应用
设、、是三角形的三个内角，下列关系恒成立的是
A．B．
C．D．
【解答】解：、、是三角形的三个内角
对于，，故错
对于，，故对
对于，，故错
对于，，故错
故选：．
点位于
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【解答】解：因为，
又，
可得，
可得，
所以，
又，
所以位于第一象限．
故选：．
若，则等于
A．B．C．D．
【解答】解：由题意知，，分子和分母同除以得，
，解得，
，
故选：．
黄金三角形有两种，其中底和腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是顶角为的等腰三角形（另一种是顶角为的等腰三角形），例如，正五角星由5个黄金三角形和一个正五边形组成，如图所示，在一个黄金三角形中，，根据这些信息，可得
A．B．C．D．
【解答】解：由图可知，，且．
．
则．
故选：．
已知是锐角，且．
（1）化简；
（2）若，求的值．
【解答】解：（1）．
（2），
，可得，
．
已知角是第三象限角，且．
（1）化简；
（2）若，求的值；
（3）若，求的值．
【解答】解：（1）；
（2），
，
又角是第三象限角，
，
则；
（3），
．
已知．
（1）化简；
（2）若是第四象限角，且，求的值．
【解答】解：（1）．
（2）由，可得，
因为是第四象限角，
所以，
所以．
（1）已知，先化简，再求的值．
（2）若已知，且，求的值．
【解答】解：（1）因为，
所以．
（2）因为，，且，
所以，
所以．
一．选择题（共8小题）
1．已知sin(α+π3)=45，则cs(α−π6)=（ ）
A．−45B．−35C．45D．35
【解答】解：cs(α−π6)=cs(π6−α)=sin[π2−(π6−α)]=sin(π3+α)=45，
故选：C．
2．已知cs（π﹣α）=−45，则sin（α+π2）＝（ ）
A．35B．45C．−35D．−45
【解答】解：∵cs（π﹣α）=−45，
∴csα=45，
∴sin（α+π2）＝csα=45．
故选：B．
3．sin(−13π6)的值是（ ）
A．−12B．12C．32D．−32
【解答】解：sin(−13π6)=−sin(2π+π6)=−sinπ6=−12．
故选：A．
4．若已知sin(π−α)=−2sin(π2+α)，则sinαcsα等于（ ）
A．25B．−25C．25或−25D．−15
【解答】解：∵已知sin（π﹣a）＝﹣2sin（π2+a），∴sina＝﹣2csa，即tana＝﹣2，
故a为第二或第四象限角，再由 sin2a+cs2a＝1，
可得 sina=255，csa=−55，或 sina=−255，csa=55，
∴sinacsa=−25，
故选：B．
5．若α＝945°，则sinα的值为（ ）
A．−22B．22C．−32D．32
【解答】解：因为α＝945°，
所以sinα＝sin（360°×2+180°+45°）＝﹣sin45°=−22．
故选：A．
6．已知sin（π2+α）=12，α∈（−π2，0），则tanα等于（ ）
A．−3B．3C．−33D．33
【解答】解：因为sin（π2+α）=12，所以csα=12，
因为α∈（−π2，0），所以α=−π3，
所以tanα=−3．
故选：A．
7．已知sin（π﹣α）﹣cs（π+α）=23，且π2＜α＜π，则sinα﹣csα＝（ ）
A．149B．−149C．143D．−143
【解答】解：因为sin（π﹣α）﹣cs（π+α）=23，且π2＜α＜π，
所以sinα+csα=23，sinα＞0，csα＜0，
方程两边平方，可得1+2sinαcsα=49，可得2sinαcsα=−59，
则sinα﹣csα=(sinα−csα)2=1−2sinαcsα=1−(−59)=143．
故选：C．
8．已知sin（π+α）=35且α是第三象限的角，则cs（α﹣2π）的值是（ ）
A．−45B．45C．±45D．35
【解答】解：∵sin（π+α）＝﹣sinα=35，∴sinα=−35，∵α是第三象限的角，则cs（α﹣2π）＝csα=−1−sin2α=−45，
故选：A．
二．填空题（共4小题）
9．cs（﹣300°）＝ 12 ．
【解答】解：∵cs（﹣300°）=cs300°=cs(360°−60°)=cs60°=12．
故答案为：12．
10．已知函数f（x）＝ax﹣2+2（a＞0且a≠1）的图像过定点P，且角α的始边与x轴的正半轴重合，终边过点P，则cs(11π2−α)sin(9π2+α)+sin2αcs(π2+α)sin(−π−α)等于 −23 ．
【解答】解：∵函数f（x）＝ax﹣2+2（a＞0且a≠1）的图像过定点P（2，3），
∴tanα=32，
则cs(11π2−α)sin(9π2+α)+sin2αcs(π2+α)sin(−π−α)=cs(3π2−α)sin(π2+α)+sin2αcs(π2+α)sinα=−sinαcsα+2sinαcsα−sinαsinα
=−csαsinα=−1tanα=−23，
故答案为：−23．
11．sin25π6= 12 ．
【解答】解：由诱导公式可得
sin25π6=sin（4π+π6）
＝sinπ6=12
故答案为12
12．tan300°的值是 −3 ．
【解答】解：tan300°＝tan（360°﹣60°）＝﹣tan60°=−3．
故答案为：−3
三．解答题（共3小题）
13．已知f(α)=sin(α−π2)cs(3π2−α)tan(2π−α)tan(−α−π)sin(π+α)．
（1）若α是第三象限角，sinα=−15，求f（α）的值；
（2）若α=−34π3，求f（α）的值．
【解答】解：f（α）=−csα⋅(−sinα)⋅(−tanα)−tanα⋅(−sinα)=−csα，
（1）∵α是第三象限角，sinα=−15＜0，
∴csα＜0，
∴csα=−1−sin2α=−265，
则f（α）＝﹣csα=265；
（2）将α=−34π3代入得：f（−34π3）＝﹣cs（−34π3）＝﹣cs（11π+π3）＝﹣cs（π+π3）＝csπ3=12．
14．在平面直角坐标系xy中，角α的始边为x轴的非负半轴，终边经过点P（2，﹣1），求下列各式的值：
（1）tanα；
（2）3sin2α+sinαcsα；
（3）sin(α+3π2)cs(−α)tan(π−α)sin(π+α)cs(π2+α)．
【解答】解：（1）因为在平面直角坐标系xy中，角α的始边为x轴的非负半轴，终边经过点P（2，﹣1），
所以tanα=−12=−12；
（2）3sin2α+sinαcsα=3sin2α+sinαcsαsin2α+cs2α=3tan2α+tanαtan2α+1=3×14+(−12)14+1=15；
（3）sin(α+3π2)cs(−α)tan(π−α)sin(π+α)cs(π2+α)=−csα⋅csα⋅(−tanα)−sinα⋅(−sinα)=1tanα=1−12=−2．
15．已知角θ的终边过点P（﹣1，﹣3），求4cs(θ−π2)+2sin(3π2−θ)5cs(−θ)+3sin(π−θ)．
【解答】解：因为角θ的终边过点P（﹣1，﹣3），
所以tanθ=−3−1=3，
所以4cs(θ−π2)+2sin(3π2−θ)5cs(−θ)+3sin(π−θ)=4sinθ−2csθ5csθ+3sinθ=4tanθ−25+3tanθ=4×3−25+3×3=57．
终边关系
图示
公式
公式二
角π＋α与角α的终边关于原点对称
sin(π＋α)＝－sin α，
cs(π＋α)＝－cs α，
tan(π＋α)＝tan α
公式三
角－α与角α的终边关于x轴对称
sin(－α)＝－sin α，
cs(－α)＝cs α，
tan(－α)＝－tan α
公式四
角π－α与角α的终边关于y轴对称
sin(π－α)＝sin α，
cs(π－α)＝－cs α，
tan(π－α)＝－tan α