人教B版（2019）高中数学必修第四册 11.1空间几何体 分层练习（原卷+解析卷）

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11.1空间几何体分层练习题型一 斜二测画法1．（2024高一下·全国·专题练习）如图，一个水平放置的正方形ABCD，它在直角坐标系xOy中，点B的坐标为2,2，则在用斜二测画法画出的正方形ABCD的直观图A'B'C'D'中，顶点B'到x'轴的距离为 ．  2．（23-24高二上·上海·阶段练习）水平放置的△ABC的斜二测直观图是如图中的△A'B'C'，已知A'C'=3,B'C'=2，则AB边的实际长度是 .3．（22-23高一下·安徽芜湖·期中）（1）画出图中水平放置的四边形ABCD的直观图；（2）求出原图和直观图的面积．  4．（2024高一下·全国·专题练习）△ABC的直观图△A'B'C'如图所示，其中A'B'//x'轴，A'C'//y'轴，且A'B'=A'C'=1，则△ABC的面积为（    ）  A．22 B．1 C．8 D．24题型二 构成几何体的基本元素1．（20-21高二上·云南曲靖·期中）如图所示，用符号语言可表达为（    ）A．α∩β=m，n⊂α，m∩n=A B．α∩β=m，n∈α，m∩n=AC．α∩β=m，n⊂α，A⊂m，A⊂n D．α∩β=m，n∈α，A∈m，A∈n2．（22-23高一下·全国·课时练习）以下结论不正确的是（    ）A．平面上一定有直线 B．平面上一定有曲线C．曲面上一定无直线 D．曲面上一定有曲线3．（10-11高一下·福建厦门·阶段练习）“点M在直线a上，a在平面α内”可表示为（    ）A．M∈α，a∈α B．M∈a，a⊂αC．M⊂α，a∈α D．M⊂α，a⊂α4．（13-14高一下·湖南张家界·阶段练习）如图所示，用符号语言可表述为（    ）A．α∩β=m，n⊂α，m∩n=A B．α∩β=m，n∉α，m∩n=AC．α∩β=m，n⊂α，A⊂m，A⊂n D．α∩β=m，n∉α，A∈m，A∈n题型三 棱柱的有关计算1．（多选）（21-22高一·全国·课时练习）有一张长和宽分别为8和4的矩形硬纸板，以这张硬纸板为侧面，将它折成正四棱柱，则此正四棱柱的体对角线的长度为（    ）A．22 B．26 C．45 D．662．（2023·上海普陀·一模）若正四棱柱的底面周长为4、高为2，则该正四棱柱的体积为 ．3．（22-23高二上·湖北十堰·阶段练习）在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=a,AA1=2a，则点D1到直线AC的距离为 ．4．（20-21高一·全国·课时练习）如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长是2，D，E是CC1，BC的中点，AE=DE.求:(1)正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长；(2)正三棱柱ABC-A1B1C1的表面积.题型四 棱锥的有关计算1.（22-23高二上·湖南张家界·期末）已知正四面体ABCD的棱长为2，E，F分别为BC，AD的中点，则EF的长为 ．2．（21-22高二·全国·课时练习）正六棱锥高为1，侧棱长为2，则底面边长为 3．（21-22高二·全国·课时练习）正四棱锥的所有棱长均为2，则该棱锥的高为 .4．（20-21高一上·陕西宝鸡·期末）已知正四棱锥的侧面积为42，底面边长为2，则该正四棱锥的高为 ．题型五 棱台的有关计算1．（21-22高一下·广东珠海·期末）正四棱台的上､下底面边长分别为2cm,3cm，侧棱长为2cm，则棱台的侧面积为（    ）A．4cm2 B．57cm2 C．43cm2 D．83cm22．（2024高三·全国·专题练习）如果棱台的两底面积分别是S，S'，中截面的面积是S0，那么（    ）A．2S0=S+S' B．S0=S'SC．2S0=S+S' D．S02=2SS'3．（2024·江西·模拟预测）光岳楼位于山东聊城古城中央，主体结构建于明洪武七年（1374年），它是迄今为止全国现存古代建筑中最古老、最雄伟的木构楼阁之一，享有“虽黄鹤、岳阳亦当望拜”之誉.光岳楼的墩台为砖石砌成的正四棱台，如图所示，该墩台上底面边长约为32m，下底面边长约为34.5m，高约为9m，则该墩台的斜高约为（参考数据：1321≈36.35）（    ）A．9.1m B．10.9m C．11.2m D．12.1m4．（20-21高一·全国·课时练习）已知正六棱台的上、下底面边长分别为2、8，侧棱长等于9，求这个棱台的高和斜高．题型六 旋转体的有关计算1．（23-24高二上·四川南充·期末）若圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥的侧面展开图面积是（    ）．A．π B．3π C．4π D．6π2.（2023·重庆沙坪坝·模拟预测）若一个圆锥的母线长为l，且其侧面积与其轴截面面积的比为2π:1，则该圆锥的高为（   ）A．l2 B．l3 C．l4 D．l53．23-24高二上·上海青浦·期末）已知某圆台上底面和下底面的半径分别为1和2，母线长为3，则该圆台的高为 4．（2024高一下·全国·专题练习）已知在直角梯形ABCD中，AB=BC=2，∠D=45°，在直角梯形ABCD内挖去一个扇形，E恰好是梯形的下底边的中点，如图所示．将所得平面图形绕直线DE旋转一周，说明所得的几何体的结构特征．题型七 球的有关性质1．（22-23高一下·陕西西安·期中）两个球表面积的比为1:4，则体积的比为（    ）A．1:2 B．1:4C．1:8 D．不确定2．（2023高二上·上海·专题练习）求解多面体的外接球时，经常用到截面图.如图所示，设球O的半径为R，截面圆O′的半径为r，M为截面圆上任意一点，球心O到截面圆O′的距离为d，则R、r、d满足的关系式是 .3．（2024高三上·广东·学业考试）一个边长为2的正方体八个顶点都在一个球上，则球的半径为 4．（2024高一·江苏·专题练习）给出以下说法：①球的半径是球面上任意一点与球心所连线段的长；②球的直径是球面上任意两点间所连线段的长；③用一个平面截一个球，得到的截面可以是一个正方形；④过圆柱轴的平面截圆柱所得截面形状是矩形．其中正确的序号是 ．题型八 截面问题1．（22-23高一下·陕西渭南·期末）从长方体的一个顶点出发的三条棱上各取一点E、F、G，过此三点作长方体的截面，那么截去的几何体是（    ）A．三棱柱 B．三棱锥 C．四棱柱 D．四棱锥2．（2024高一下·全国·专题练习）如图，棱锥P−ABCD的高PO=3，截面A'B'C'D'平行于底面ABCD,PO与截面交于点O'，且OO'=2．若四边形ABCD的面积为36，则四边形A'B'C'D'的面积为（    ）A．12 B．16C．4 D．83．（23-24高二上·上海普陀·期中）已知一个球的半径为2，若用一个与球心距离为1的平面截球体，则所得的截面面积为 ．4．（20-21高一下·湖南株洲·期中）某斜棱柱的底面积为103，侧棱长为20，其直截面（垂直于侧棱的平面与棱柱的截面）面积为5，则该棱柱的高为 ．题型九 展开图最短距离问题1．（22-23高一下·贵州安顺·期末）已知正三棱柱ABC−A1B1C1的所有棱长都是2，点M在棱CC1上运动，则A1M+BM的最小值为（    ）A．22 B．4 C．25 D．2+222．（20-21高一下·广东揭阳·期中）如图，在正四棱锥O−ABCD中，侧棱长均为4，且相邻两条侧棱的夹角为30°，E，F分别是线段OB，OC上的一点，则AE+EF+FD的最小值为（    ）A．4 B．8 C．22 D．423．（2023高一·全国·专题练习）如图所示，在所有棱长均为1的直三棱柱上，有一只蚂蚁从点A出发，围着三棱柱的侧面爬行一周到达点A1，则爬行的最短路线长为 ．4．（17-18高二上·浙江·期中）正三棱锥P−ABC的侧棱长为2，∠APB=∠APC=∠BPC=30°．E，F分别是BP、CP上的点，△AEF周长的最小值 ．题型十 交线问题1．（22-23高一下·辽宁·阶段练习）如图，棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1，点E,F分别在棱AB,BC上，过点D1,E,F的截面将正方体分割成两部分．  (1)请画出经过点D1,E,F的平面与正方体表面的交线；（无需证明，保留作图痕迹）；(2)若点E,F分别为AB,BC中点，求过点D1,E,F的截面将正方体分割的较小部分几何体的体积.2．（21-22高一下·四川遂宁·期末）如图，正方体ABCD−A1B1C1D1，其外接球与内切球的表面积之和为16π，过点A1的平面α与正方体的面相交，交线围成一个正三角形.(1)在图中画出这个正三角形（不必说明画法和理由）；(2)平面α将该正方体截成两个几何体，求体积较大的几何体的体积和表面积.3．（21-22高一下·广西河池·阶段练习）如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，设E是CC1的中点.(1)过点A，C且与平面BD1E平行的平面α与此正方体的面相交，交线围成一个三角形，在图中画出这个三角形（说明画法，不用说明理由）；(2)求四棱锥E−ABC1D1的体积.4．（20-21高一·江苏·课时练习）如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝4，BB1＝22，点E，F，M分别为C1D1，A1D1，B1C1的中点，过点M的平面α与平面DEF平行，且与长方体的面相交，交线围成一个平面图形.在图中，画出这个平面图形，并求这个平面图形的面积(不必说明画法与理由).1．（2024高三·河南·专题练习）我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸，若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸）（ ）A．6寸 B．4寸 C．3寸 D．2寸2．（2024·内蒙古赤峰·一模）在直三棱柱ABC−A1B1C1中，各棱长均为2，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（   ）A．28π3 B．32327π C．163π D．1372327π3．（多选）（2024·浙江·模拟预测）已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，过棱CC1，A1D1，A1B1的中点作正方体的截面，则（    ）A．截面多边形的周长为2+210B．截面多边形的面积为7611C．截面多边形存在外接圆D．截面所在平面与平面ABCD所成角的正弦值为1111